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Le terme (C) qui figure dans (36) est une fonction de A, , À’, L'; dans a on devra remplacer L, …., 2’ par leurs valeurs (35)
On voit qu’on est ramené à une question toute semblable à celle qu’on avait résolu d’abord ; seulement le terme A cos (al + Bg + a l'+ B'g) a disparu.
Considérant un autre terme périodique de &’, on pourra le faire disparaitre à son tour. Les quantités À, .., x’ seront remplacées par de nouvelles, AR qui dépendent d'équations semblables aux équations (37), &’ étant remplacé par &;. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on ait enlevé tous les termes périodiques sensibles.
Soient A ;, .…., x. les dernières variables employées; les termes périodiques de &; étant supposés insensibles, on aura
dA; de OR; te
AE Tr ie
Donc À; est constant; il en sera de même de F';, A; et [". On aura ensuite
di; __ On dt É 0À ;’
ce qui se réduit à une simple fonction de A;, l,, A;etT, c’est-à-dire à une dh; dx; dh , da;
constante. Donc —#; —2; 7 et — seront constants. dt dt di 4 É
On aura donc finalement
| À; = », a +40, Wu, bee bit
(38) | de , Ep Na al "de",
Der HD Eu T,
L, 1, L’, 1’, a, b, a’, b' désignant huit constantes absolues, d’ailleurs arbitraires; a,, b,, a et b' seront des fonctions connues de &, 15, 4’ et w’.
En remontant, on exprimera À;,, .., #; en fonction de &, ..., W’ et de o, 1,6 vb, G,L,G,.4, 2,1het #,se; trouveront, inst exprimés à l’aide des quatre arguments 5, 7, 5’ et 7’, lesquels varient proportionnellement au temps. Les formules (c) montrent qu’il en sera de même de R — r, de R’et de A. On a donc ainsi ce théorème important, découvert par M. Lindstedt, et démontré par
lui en suivant une voie différente :
Dans 1e problème des trois corps, les distances mutuelles de ces corps s'expriment en général sous la forme de séries périodiques; sous les signes Sin et COS, il n'entre que des multiples entiers, positifs ou négalÿfs, de quatre arguments qui varient chacun proportionnellement au temps.
Il reste maintenant, pour compléter la solution du problème, à déterminer la quantité À en fonction du temps. Il faut recourir pour cela à l’équation (d); en y remplaçant G, G', A, R',r sin # etr’ sine’ par leurs valeurs obtenues précé-
: dh . : ae demment, on voit que — se composera d’une partie constante hi, etd'une série
de termes périodiques dépendant des quatre arguments 5, %, o° et 7”. On aura donc, en désignant par À, une constante arbitraire, et par Q une fonction périodique des quatre arguments,
(39) h=h+hut+Q—=v+Q, ce qui introduit un nouvel argument de même forme que les quatre premiers, vu —= hs + hit.
Les formules (c) donnent d’ailleurs cosi, cosŸ', sinc et sin z’ exprimés à l’aide
des quatre premiers arguments. En remplaçant dans les équations (f), par sa valeur (39), on en tire aisément
| æ COSv + y Sinv — r Cos? COS Q — r sin? sinQ cosé, (40) | — æ Sinv + y Ccosv — r cos? sinQ + r sins CosQ cosi,
== 1" Sp SIT:
(41) — x" sin y + y'cosv ——7r'cose! sin Q — r'sinr’ cos cos’,
TN PR SIND En 70
| æ'cosv + y' siny —— 7" cos? cos Q + r'sine’ sinQ cosi,
Les seconds membres de ces équations (40) et (4r) sont des fonctions périodiques des quatre premiers arguments. On a donc le théorème suivant :
Par rapport à deux axes rectangulaires mobiles, situes dans le plan invariable
dv “7 A, el
par rapport à l’axe du plan invartable, les coordonnées des points M et M’ sont des fonctions périodiques des quatre arguments 6,7, s’ et 7’.
et animes d’un mouvement de rotation uniforme, de vitesse angulaire
La méthode que nous avons suivie nous a servi à établir la forme des expressions analytiques des coordonnées. Dans la pratique, elle conduirait à des calculs extrêmement laborieux; si nous la comparons, en effet, à la méthode de Delaunay pour la Lune, qui, dans ce cas relativement simple, a exigé des déve-
loppements considérables, nous voyons qu’au lieu d’avoir partout six équations
tr . . . . . (#/ différentielles canoniques, nous en aurions huit. En second lieu, le rapport
qui est très petit dans le cas de la Lune, environ +, ne l’est plus dans le cas de deux planètes, de Jupiter et de Saturne, par exemple. Nous allons du reste parler des travaux remarquables de M. Poincaré, qui a démontré que les séries
périodiques employées ci-dessus ne sont pas absolument convergentes.
