INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARÉ SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

208. La solution rigoureuse du problème des trois corps n’est pas plus avancée aujourd’hui qu’à l’époque de Lagrange (vor le Chapitre VIII de notre Tome I), et l’on peut dire qu’elle est manifestement impossible. On ne l’a obtenue jusqu'ici que dans le cas particulier où les distances mutuelles conservent des rapports constants pendant toute la durée du mouvement, les trois Corps restant toujours en ligne droite, ou formant les sommets d’un triangle équilatéral. Dans le cas général, on connaît quatre intégrales, celles des aires et des forces vives : ilen reste huit à trouver; Lagrange a montré que, si l’on était arrivé à en obtenir sept, on achèverait la solution par une simple quadrature. M. Bruns à cependant découvert un théorème important, en prouvant (Société Royale des Sciences de Saxe, 1887) que le problème des trois corps n’admet pas d'intégrales algébriques en dehors des intégrales déjà connues.

On doit à M. H. Poincaré des travaux importants qui ont renouvelé la face de la question :

En premier lieu, la connaissance des solutions périodiques, dont nous avons déjà dit quelques mots (t. [, p. 158);

Et en second lieu, la démonstration rigoureuse de ce fait capital, que les séries auxquelles conduisent les méthodes d’approximation les plus perfection nées (*) pour les coordonnées des trois corps ne jouissent pas de la convergence absolue, ce qui n'empêche pas ces séries d’être utilisées par Îles astronomes, mais s'oppose dans une certaine mesure aux prédictions à longue échéance auxquelles on s’était habitué.

Ces découvertes, accompagnées d’autres résultats importants, ont été présentées par M. Poincaré dans un Mémoire Sur le Problème des trois corps et les équations de la Dynamique, qui à été couronné par le roi de Suède le 27 janvier 1889.

(1) Par exemple, la méthode exposée dans le Chapitre précédent.

et a paru depuis dans le Tome XIII des Acta mathematica. L'auteur a développé et étendu ses conclusions dans son Ouvrage intitulé : Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, dont deux Volumes ont paru en 1892 et 18093; le Tome troisième et dernier est attendu prochainement. J'avais conçu un moment l’espoir de donner ici un résumé substantiel de ces publications; mais j'ai dû comprendre bientôt que je ne pourrais pas le faire dans un espace restreint, et j'ai préféré reproduire d'abord une analyse du Mémoire de Stockholm, faite par l’auteur lui-même, et insérée dans le Bulletin astronomique, janvier 1891; voici cette analyse textuelle.

209. « J'ai publié dansle Tome XIII des Acta mathematica un Mémoire où j obtiens quelques résultats relatifs à un cas particulier du problème des trois corps et à divers problèmes de Dynamique; je crois qu'il ne sera pas inutile de reproduire ici, sans démonstration, quelques-uns de ces résultats pour les lecteurs qui n'auraient pas le temps de lire ën extenso le Mémoire original qui est assez volumineux.

» Je ne parlerai ici que de ce cas particulier du problème des trois corps que je viens de mentionner et qui est le suivant :

» Supposons trois masses À, B, C se mouvant dans un même plan. Je suppose que la masse A soit très grande, la masse B très petite, la masse C infiniment petite et incapable, par conséquent, de troubler les deux autres. Alors À et B se mouvront suivant les lois de Képler. Je suppose de pins que Les excentricités de A et de B sont nulles, de telle sorte que ces deux masses À et B décrivent des circonférences concentriques (‘), et je me propose d'étudier le mouvement de A et de B dans le plan de ces deux circonférences. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d’une petite planète, si l’on négligeait l’excentricité de Jupiter et l'inclinaison des orbites.

» Tous les résultats que je vais énoncer se rapportent à ce cas particulier. Depuis, j'ai cherché à les étendre au cas général du problème des trois corps : tel a été le principal objet des Leçons que j'ai professées à la Sorbonne, de novembre 1889 à mars 1890, et qui seront publiées prochainement chez MM. Gauthier-Villars et fils (?); mais je ne m’occuperai pas pour le moment de cette extension.

» Voici d’abord les notations que je compte employer: je définirai la position du point C par ses éléments osculateurs. Je désignerai par 24, e et n le grand axe, l’excentricité et le moyen mouvement, par y: l’anomalie moyenne et par g la longitude du périhélie. Je désignerai par 1 la masse de A et par w celle de B:

©) Autour du centre de gravité du système.

?) Cette publication a été faite dans l'Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique celeste, dont il a été question plus haut.

p sera donc une quantité très petite. Je choisirai les unités et l’origine du temps de façon que la constante de Gauss soit égale à 1; que le moyen mouvement de B soit égal à 1, et la longitude de B égale à s. Je poserai

Gi =Nati et) DEN, Via et.

à à b I ; : Sn?

F sera la fonction perturbatrice augmentée de x, + 553; les équations différen-

tielles du mouvement prendront alors la forme symétrique (*)

l'ami: oF arr dF

G) | dE di db ôte

CUS PER DR ya 08

AE de. Hi TUE,

» La fonction F sera susceptible d’être développée suivant les puissances entières de 4, et nous écrirons

F=F,+pFi+pF, +...; on aura d’ailleurs d

Dr, 8 M QE

» Enfin, F sera fonction de æ,, æ,, y, et y, seulement, et sera périodique de période 27 par rapport à y, et y.. Les équations (1) admettent comme intégrale

cette intégrale, connue sous le nom d’intégrale de Jacobi, peut être obtenue en combinant celle des forces vives avec celle des aires. On peut aussi la regarder comme l'intégrale des forces vives dans le mouvement relatif du point C par rapport à deux axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme : à savoir la droite AB et une perpendiculaire à AB menée par le centre de gravité du svstème, supposé fixe. C'est pourquoi je conserverai à la constante C le nom de constante des forces vives. »

210. « Solutions périodiques. — Les premiers résultats su lesquells je veux appeler l’attention sont relatifs à certaines solutions particulières des équatons (1). Je citerai d’abord les solutions de la forme suivante, que j’appellerai

solutions périodiques,

Piaf) dt) Jimi +qé), Ya =nit+ qe).

(1) On reconnaît aisément l'identité de ces équations avec les équations (17) de notre Chapitre XXV.