TL
466 CHAPITRE XXWVII.
» Les fonctions ©,, #,, ©, et o, sont des fonctions périodiques, de période T, et sont, par conséquent, développables suivant les sinus et cosinus des multiples
de de plus, z,T et x,T sont des multiples de 27.
» Je distingue les solutions périodiques du premier genre, pour lesquelles les fonctions ®,, ©, ®, et ©, sont développables suivant les puissances de . A chaque système de valeurs de x, et de r, commensurables entre eux correspondent au moins deux solutions périodiques du premier genre. J’enseigne à former les coefficients des séries © qui sont absolument convergentes.
» Solutions périodiques du deuxième genre. — I] existe également des solutions périodiques pour lesquelles les séries © ne sont pas développables suivant les puissances de &, et que j'appellerai solutions du deuxième genre. Voici sous quelle forme elles se présentent d’ordinaire :
» Soit Xi —=i(t), La Pa(t), Yi = rit + ps(t), J2=Nit+ pi(t)
une solution périodique du premier genre, c’est-à-dire développable suivant les puissances de a; soit T la période. Soit
ICE), dat), pr mt+Wi(), Ya nat + (te)
ce que devient cette solution quand on y donne à x une certaine valeur u,;
alors les fonctions 4° sont développables suivant les sinus et cosinus des mul- 2T É
y Il existera, dans certains cas, une solution périodique de la forme
uiples de suivante :
1 3 DCE) + Cu — po) DCE) + (Be — Bo) PP CE) + Cp — Bo) DCE) +. — DE CE) + Cu — pre) QD (0) + Qu pro) Ya? (8) + (— Bo) VS (0) +. Jia UFR pa) Qu CE) ++ up) D (8) ue — po) ULO(E) + Pa Pat + QE) + (he pa) A (2) (pe po) DCE) + (po) DE) + » Les fonctions di" (4), L?(4), L?(4), ... sont périodiques par rapport à s; mais la période n’est pas égale à T, comme pour les fonctions Y?(#), mais à AT,
& étant un nombre entier. Par conséquent, æ,, æ,, y, — n,t et y: — nt sont développables suivant les puissances de y — 1, et suivant les sinus et cosinus
. ST des multiples de FT
» Pour =>, on a deux solutions périodiques du deuxième genre (‘),
(1) Suivant le signe de (4 — Bo).
réelles et distinctes; pour nu — u, elles se confondent entre elles et avec la solution du premier genre,
— (6), Vi= mt+ 4, (6);
pour & << t, elles deviennent imaginaires.
» Dans certains cas, le contraire peut avoir lieu, et il peut arriver que les deux solutions soient réelles pour 4 << 1, et imaginaires pour >,»
911. « Exposants caractéristiques. — Les solutions périodiques semblent d’abord sans aucun intérêt pour la pratique. La probabilité pour que les circonstances initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une pareille solution est évidemment nulle. Mais il peut très bien arriver qu’elles en diffèrent fort peu; la solution périodique pourra jouer alors le rôle de première approximation, d’orbite intermédiaire ('). 11 peut donc y avoir intérêt à étudier les solutions qui diffèrent peu d’une solution périodique. Voici comment on opérera :
» Considérons une solution peu différente et posons
æ = Pit) + Es, Vi it Gia(t) En:
» Si les £; et n, sont des quantités assez petites pour qu’on puisse en négliger les carrés, les équations différentielles (1) deviendront
2F DE ep à = D. dy Le NX (2) à (kr a).
Rs et OF Te at +. DE aie 0x;0 AL
» Dans les dérivées secondes de F qui figurent dans les équations (2), on doit remplacer x; par ®,(6) et y; par nt + dite les coefficients de &; et de dans les seconds membres de ces équations (2) sont donc des fonctions périodiques données de £.
» L'intégrale générale des équations (2) s'écrit (?)
E, — AEUS, + BE-#S; + (C+4D)S;+ DS, | .
HN F5 4); n= AEXT,; + BE-#T;+-(C+(D)T+ DT, }
A, B, C, D sont quatre constantes d'intégration; « est une constante non arbi-
(1) Pour employer le langage de M. Gyldén.
(2) En vertu des théories connues concernant l'intégration d'un système d'équations différentielles linéaires sans seconds membres, à coefficients périodiques.
traire. S;, S;, S7,S;, T,, T,, T'et T; sont des fonctions périodiques de #, déve-
: 2Tt loppables suivant les sinus et les cosinus des multiples de ss
» La constante « et les coefficients deS,, S;, T; et T; sont développables suivant les puissances de ÿu; ceux de S;, S?, T; et T} suivant les puissances de x. J’enseigne à former toutes ces séries qui sont absolument convergentes.
» L’exposant à s'appelle exposant caractéristique. Il est réel ou purement imaginaire. Dans le premier cas, la solution périodique sera dite énstable, et stable dans le second cas. Cette dénomination se justifie aisément, bien qu’elle ne doive pas être prise dans un sens absolu, puisque nous avons négligé les carrés des & et des n.
» Nous avons vu qu'il y aura au moins deux solutions périodiques du premier genre, correspondant à chaque système de valeurs de 2, et de n,, commensurables entre elles. J’ajouterai qu'il y en aura toujours un nombre pair et précisément autant de stables que d’instables. »
212. « Solutions asymptotiques. — Soit Ti = Gi(t), Yi =mil+Qiro(é) (i= 1, 2),
une solution périodique quelconque enstable. I existe deux séries de solutions particulières remarquables, que j’appellerai solutions asymptotiques. Les solutions asymptotiques de la première série seront de la forme suivante :
Lie Œi(t) + AE-%010 (4) + AE 240%) nu AR Pari) Re (3) { Yi= nmit+ qie(t) + AE-00/0 (6) + A2E—?æ0{2) (5) + ASE—Sar 08) (4) +.
Cite 12)
À est une constante arbitraire d'intégration, « est l'exposant caractéristique (que je suppose positif); les fonctions 0!" (4), 0e), . ., G— 71,2, 3,4) sont
périodiques, de période T, et développables, par conséquent, comme les o,(+#) 2TL
loppement sont eux-mêmes des séries dont les termes sont rationnels en VITE
» Inutile de faire remarquer que, si l’on reprend les notations du paragraphe précédent, on a
par rapport aux sinus et cosinus des multiples de + Les coefficients du déve-
BRNDees, 017:
» Les séries (3) sont convergentes pour les valeurs de z suffisamment grandes. On voit que, quand z croît indéfiniment, les solutions représentées par les équations (3) se rapprochent indéfiniment de la solution périodique.
» Les solutions asymptotiques de la seconde sorte seront de la forme suivante
a qi(é) +BEttof (tr) + BE oi (4) +...
(3 bis) Ji hit + qia(t) + BE of, (4) + B'E%oit, (4) +...;
B est une nouvelle constante d'intégration, « est encore l’exposant caractéristique ; les fonctions w sont de même forme que les fonctions 0 qui entrent dans les équations (3 ). On obtient d’ailleurs les fonctions w si, dans les fonctions 0, on change Vu en — Vu. Les séries (3 bis) convergent pour les valeurs de & négalives et suffisamment grandes; quand £ tend vers —, les solutions qu’elles représentent se rapprochent asymptotiquement de la solution périodique.
» Solutions doublement asymptotiques. — Il existe une infinité de solutions qui appartiennent à la fois aux deux séries, et qui sont, par conséquent, représentées par les équations (3) pour les valeurs de £ positives et très grandes, et par les équations (3 bis) pour les valeurs de # négatives et très grandes.
» L’orbite, d’abord très peu différente de celle qui correspond à une solution périodique, s’en éloigne peu à peu, et, après s’en être écartée beaucoup, finit par s’en rapprocher asymptotiquement.
» L'existence des solutions doublement asymptotiques est un point d’une démonstration très délicate et qui m’a donné beaucoup de peine. En effet, les séries (3) ne convergent que pour des valeurs de £ positives et très grandes, les séries (3 bis) pour des valeurs de # négatives et très grandes. Il y a, généralement, un intervalle où aucune des deux séries ne converge. »
213. « Divergence des séries. — Les considérations qui précèdent peuvent permettre d’établir que les séries habituelles de la Mécanique céleste sont divergentes : ce n’est pas qu’elles ne puissent néanmoins être utilement employées; en effet, il peut arriver que les termes d’une série décroissent d’abord très rapidement pour croître ensuite indéfiniment, et, par conséquent, que cette série, quoique divergente, puisse servir à représenter une fonction avec une approximation très grande, mais non indéfinie. Tel est le cas de la série célèbre de Stirling et de quelques développements usités en Physique mathématique. Tel est aussi celui des séries de la Mécanique céleste, et l’approximation qu’elles fournissent est très suffisante pour les besoins de la pratique. Ce que je veux dire de leur divergence n’est donc pas une raison pour en proscrire l’usage.
» Les séries de M. Lindstedt ne peuvent pas converger uniformément pour toutes les valeurs de la constante d’intégration qui y entre; on démontre, en effet, que, s’il en était ainsi, il n’y aurait pas de solutions asymptotiques.
» Je prendrai comme second exemple certaines séries dérivées des séries (3) et (3 bis). La série (3) converge; mais nous avons vu que ses coefficients peuvent eux-mêmes se développer en séries convergentes dont les termes sont ra-
tionnels en ÿu; quand on a fait ce développement, la série (3) reste encore
convergente.
» Supposons maintenant que l’on développe ces fonctions rationnelles de V4
suivant les puissances de Vu; ce développement sera possible pour chacune d'elles. Mais, si l’on ordonne ensuite la série (3) suivant les puissances croissantes de Vu, la série ainsi obtenue devient divergente; on démontre, en effet, que, si elle convergeait, toute solution asymptotique deviendrait doublement asymptotique, ce qui n’a pas lieu.
» Le développement auquel on parvient de la sorte et qui, bien que divergent, peut rendre des services au même titre que ceux de M. Lindstedt, se met sous forme élégante, si l’on élimine et A entre les quatre équations (3) par les règles ordinaires du calcul. On trouve, en effet, que x, et x, s'expriment en
séries ordonnées suivant les puissances de Vu et suivant les sinus et cosinus
des multiples de et de 22.
» Non-existence des intégrales uniformes. — Les équations (1) admettent une intégrale qui s'écrit FT: æ, Ya
C'est l'intégrale des forces vives : le premier membre est uniforme par rapport À T4, Do, V1 et 7», périodique et de période 27 par rapport à y, et y,, développable suivant les puissances de 1.
» Je dis qu’il n’y a pas d’autre intégrale de même forme, c’est-à-dire que les équations (1) ne peuvent admettre une intégrale
DL, La, Vas V2) = CO
distincte de la première, et où ® soit périodique en y, et y,, développable suivant les puissances de y, et uniforme pour toutes les valeurs réelles de y, et y;, pour les valeurs suffisamment petites de & et pour les valeurs de x, et de x, comprises dans un certain domaine.
» On démontre en effet que, s’il en était ainsi, les séries de M. Lindstedt convergeraient. Ce résultat est d’ailleurs susceptible d’être généralisé de plusieurs manières. »
214. « Forme des orbites. — On peut se proposer de dessiner les courbes correspondant aux diverses solutions particulières dont je viens de parler, et j'ai l'intention de revenir sur ce point dans un autre article. Pour cela, le mieux est de considérer deux axes mobiles, à savoir : la droite AB et une perpendiculaire à AB, menée par le centre de gravité du système, et de chercher à dessiner la trajectoire relative du corps C par rapport à des axes mobiles.
» Dans le cas des solutions périodiques, cette orbite relative est une courbe fermée; dans le cas des solutions asymptotiques, c’est une courbe en spirale se rapprochant asymptotiquement d’une courbe fermée. 11 convient d’ajouter que les diverses spires se recoupent mutuellement.
» Considérons une orbite fermée correspondant à une solution périodique et les deux séries d’orbites asymptotiques afférentes à cette même solution. Par un point M du plan passeront, en général, une ou plusieurs orbites asymptotiques de la première série, ainsi qu’une ou plusieurs orbites de la deuxième série. Soit T, une orbite de la première série, passant par M; soit 6 l’angle sous lequel elle coupe une orbite T, de la deuxième série, passant par M. Si $ est nul, les deux orbites se confondent en une seule et deviennent ainsi doublement asymptotiques; il y a une infinité de points pour lesquels il en est aïnsi. Mais, en général, B n’est pas nul; cependant, si la masse {4 est regardée comme un infiniment petit du premier ordre, on démontre que, parmi les angles 6 (sous lesquels T, coupe les diverses orbites asymptotiques de la deuxième série qui passent par M), il y en à un qui est infiniment petit d'ordre infini; je veux
dire qu’il est du même ordre de grandeur que l’exponentielle E v#, a étant une constante positive.
» Il est encore un point sur lequel je désire attirer l'attention.
» Les séries (3) ne changent pas si l’on y change À en AE*ettent+T; si donc l’on change À en AE°*", l'orbite asymptotique correspondante ne change pas; la seule différence est que le mobile C passe en un même point de cette orbite à des époques différentes. Ainsi les valeurs suivantes
