À, AE+&T, AE+2€T

de la constante d'intégration correspondent à une seule et même orbite asymptotique. Il est donc toujours permis, s’il ne s’agit que de définir cette orbite, de choisir la constante A entre r et E**.

» Cela posé, considérons » orbites doublement asymptotiques quelconques ; pour des valeurs de # suffisamment grandes, les équations de ces orbites peuvent se mettre sous la forme (3). A ces n orbites correspondront » valeurs de la constante À, que j'appelle

Mi As, À,

et que je puis toujours supposer comprises entre 1 et E*. Pour les valeurs de négatives et très grandes, Les équations de ces mêmes orbites (en changeant au besoin l’origine du temps) pourront se mettre sous la forme (3 bis). À ces n orbites correspondront alors » valeurs de la constante B, que j’appellerai

B:,B;,..., Dr

et que je pourrai toujours supposer comprises entre 1 et HF. » Eh bien, ce qu’il importe de remarquer et ce qui met bien en évidence la complication du problème des trois corps, c’est que, si A,, À, ..., À, sont rangés

par ordre de grandeur croissante, les constantes B,, B,, …, B, seront, en général, rangées dans un ordre tout différent. »

215. « Invariants intégraux. — Une notion nouvelle, celle des invariants intégraux, m'a été très utile pour démontrer les résultats qui précèdent. Je me bornerai ici à énoncer quelques propositions saillantes relatives à cette théorie.

» Considérons le problème des trois corps; pour définir la situation du système, nous nous donnerons dix-huit variables : ce seront d’abord les trois coordonnées &,, æ,, æ, du premier corps, les projections y,, y:, y, de la quantité de mouvement de ce corps sur les trois axes. Ensuiteæ,, æ,, x, Yi Ys et Y, Seront les quantités analogues pour le deuxième COTDS: 5%, dos Vie VerCli)e LE quantités analogues pour le troisième corps.

» Nous envisagerons alors, dans un plan, neuf points que j’appellerai M,, M,,..…, M,, et dont les coordonnées seront respectivement

(Zi, Ya); (Las Ya) tr: (Lo Yo):

Cela posé, considérons une solution des équations différentielles du mouvement, dépendant de deux constantes arbitraires « et B. Alors les x; et les y, seront des fonctions du temps #, de « et de B. Soit N le point dont les coordonnées sont « et B; si le point N reste intérieur à une certaine aire o, les points M,, M,, ..., M, resteront intérieurs à certaines aires S,, S,, …, S,. Ces neuf aires se déformeront et se déplaceront, puisque les coordonnées du point M; dépendent non seulement de « et de B, mais encore du temps #; mais a somme algébrique de ces neuf aires demeurera constante. Il est à peine utile de faire observer que certaines de ces aires pourront avoir des parties positives et des parties négatives; c’est ainsi que, au point de vue analytique, l'aire totale de la lemniscate est nulle, parce qu’une des boucles doit être considérée comme positive et l’autre comme négative.

» Supposons maintenant que l’on envisage une solution ne contenant plus qu'une seule constante arbitraire &. Si cette constante varie de «, jusqu’à &,, les neuf points M,,M,,..., M, vont décrire certains arcs À in A es 25 Don CUBE déplaceront et se déformeront avec le temps, puisque les coordonnées de M, dépendent non seulement de «, mais encore de #. Soit U; l'intégrale

J'E@æidyi+ yidæi)

prise le long de l'arc À;; U;, sera une fonction du temps, puisque l’are À, se

déplace. Soit C, la valeur de la constante des forces vives correspondant à « — «,, P 0 I

et C, la valeur correspondant à &,; on aura

U, + U+...+U +3(CG —C)it=K,

K étant une constante indépendante du temps.

» Stabilité. — Revenons au cas particulier dont nous nous sommes occupé presque exclusivement dans ce travail. Dans ce cas, MM. Hill et Bohlin ont démontré que le rayon vecteur AC ne peut croître au delà de toute limite; mais il reste, pour établir complètement la stabilité, un dernier point à démontrer. Il faut faire voir que les trois corps se retrouveront une infinité de fois aussi près qu’on voudra de leurs positions initiales.

» L'existence même des solutions asymptotiques montre suffisamment qu’il existe une infinité de solutions particulières qui ne satisfont pas à cette condition. Mais, d'autre part, j'ai démontré, par la méthode des invariants intégraux, qu’il y en a aussi une infinité qui y satisfont, On peut donc dire, à ce point de vue, qu'il y a une infinité de solutions particulières instables, et une infinité de solutions particulières stables.

» Mais il y a plus : on peut dire que les premières sont l’exception, et que les secondes sont la règle, au même titre que les nombres rationnels sont l’exception et que les nombres incommensurables sont la règle. Je démontre, en effet, que la probabilité pour que les circonstances initiales du mouvement soient celles qui correspondent à une solution instable, que cette probabilité, dis-je, est nulle. Ce mot n’a par lui-même aucun sens; j’en donne dans mon Mémoire une définition précise, que je ne crois pas utile de reproduire ici; mais je dois ajouter que le même résultat subsisterait, quelle que soit la définition adoptée, pourvu qu’il n'entre dans cette définition que des fonctions continues. »

216. L'analyse précédente donne une idée de la profondeur et de l’originalité des recherches de M. Poincaré, contenues dans son Mémoire de Stockholm. Parlant de ce beau travail, l’auteur dit (Préface du 1. I des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste) : « Je m’y suis surtout efforcé de mettre en évidence les rares résultats relatifs au problème des trois corps, qui peuvent être établis avec la rigueur absolue qu'exigent les Mathématiques. C’est cette rigueur qui seule donne quelque prix à mes théorèmes sur les solutions périodiques asymptotiques et doublement asymptotiques. On pourra y trouver, en effet, un terrain solide sur lequel on pourra s'appuyer avec confiance, et ce sera [à un avantage précieux dans toutes les recherches, même dans celles où l’on ne sera pas astreint à la même rigueur. I] m'a semblé, d'autre part, que mes résultats me permettaient de réunir dans une sorte de synthèse la plupart des méthodes nouvelles proposées récemment, et c’est ce qui m'a déterminé à entreprendre le présent Ouvrage. »

Ces dernières lignes montrent nettement le but que s’est proposé M. Poincaré dans l’Ouvrage en question. On a déjà dit d’ailleurs, page 46%, qu'il s'agissait aussi d'étendre au problème des trois corps, envisagé dans toute sa généralité, les résultats qui avaient été obtenus dans le Mémoire de Stockholm, seulement

pour un cas particulier. Citons de suite, sans nous astreindre à suivre l’ordre T. — EV. 6o

des matières dans les deux volumes du nouvel Ouvrage, ce beau théorème démontré par l’auteur :

Le problème des trois corps n'admet pas d'autres intégrales uniformes que celles ds aires et des forces vives.

Ce théorème, démontré cette fois sans restriction, est plus général que celui de M. Bruns, énoncé à la page 463, puisqu'on prouve non seulement qu'il n°y a pas d’intégrale nouvelle algébrique, mais qu’il n’existe pas d’intégrale transcendante uniforme, lors même que les variables se meuvent dans un domaine restreint.

M. Poincaré a consacré le Chapitre VI de son Ouvrage au développement approché de la fonction perturbatrice, c’est-à-dire au calcul approché d’un terme qui contient des multiples élevés des anomalies moyennes de la planète troublée et de la planète perturbatrice. M. Flamme, dans une thèse remarquée dont nous avons déjà parlé (I, p. 269), avait obtenu déjà d'importants résultats en prenant pour point de départ un beau Mémoire de M. Darboux, concernant la valeur approchée des fonctions de très grands nombres (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1878). Cette méthode de M. Darboux s’est montrée très féconde. Grâce à un artifice ingénieux, M. Poincaré a montré qu'on peut l'appliquer directement à la recherche des coefficients de termes éloignés dans le développement des fonctions de deux variables, et il en a déduit la solution du problème lorsque l’inclinaison mutuelle des orbites est nulle, ainsi que l’une des excentricités, l’autre étant supposée très petite. M. Hamy a examiné (Bulletin astronomique, t. X) le cas où, l’inclinaison étant quelconque, les excentricités sont nulles, et (Journal de Mathématiques, 1894) celui où, l’inelinaison étant petite, l’une des excentricités est nulle et l’autre quelconque. Enfin, M. Coculesco a traité récemment (Journal de Mathématiques, 1895) le cas où, l’inclinaison mutuelle étant nulle, les excentricités sont très petites, les longitudes des périhélies étant en outre les mêmes.

M. Hamy a appliqué ses formules à l'inégalité lunaire produite par l’action de Vénus, et ayant pour argument

dont nous nous sommes occupé nous-mêmes (IL, p. 396), et il a trouvé, par des calculs très simples, en partant de ses formules approchées, à -: près la valeur du coefficient de cette inégalité, qui a été regardée pendant longtemps comme très difficile à déterminer.

M. Poincaré, dans les premiers Chapitres du Tome II de son Ouvrage, s’occupe de la forme des expressions qui donnent les coordonnées de deux planètes en fonction explicite du temps. Il y parvient en partant des méthodes de M. Lindstedt, qu’il modifie avantageusement. M. Newcomb était arrivé au même but

par la méthode de la variation des constantes arbitraires, et l'on a vu, dans le Chapitre précédent, que je m'étais servi, de mon côté, de la méthode de Delaunay: mais mes résultats étaient loin de présenter la rigueur de ceux de M. Poincaré. Vient ensuite l’étude des séries finales considérées en elles-mêmes, et la démonstration de leur divergence. Mais, malgré mon désir, Je renonce à donner en quelques pages une idée de ces belles théories, et je vais me borner à présenter des indications assez complètes sur les solutions périodiques. Il est bon de commencer par des considérations préliminaires sur la forme des équations différentielles du problème des trois corps.

217. Considérations préliminaires. — Occupons-nous encore une fois des équations différentielles du mouvement de deux planètes autour du Soleil. Rapportons la première, M, directement au Soleil, et soient x, y, z ses coordonnées, mym sa masse; la seconde, M’, sera rapportée au centre de gravité G du Soleil et de M: soient x’, y’, z', mçm’ ses coordonnées et sa masse; 72, désigne la masse du Soleil. On peut conclure des formules du Chapitre précédent, ou de celles de notre Tome I, page 84, les équations suivantes :

m3 de OÙ a 172 der OÙ 1m dE 0x lemme di 0e où l’on a posé

Ü=/’fr a —— à + W, “

ie . I I W = fmom — a — = cn INC

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