EE

Mob Me) nl )M ee mal, Mes]. ME,

[mo], M+. [au] M+e-[a1)M+ [281 Mo, [3,0] M + (3,1) M'—+— É9,2 | M'—+ (= (Re ) M" —o.

Les rapports is Ex” re. Be de, re) Me, LE .

M, M, M, M, M; M; équations analogues que l’on déduit de (16) en mettant aux lettres g, M, ... les indices 1,2et3;il y aura huit constantes arbitraires, savoir d, Dis Dir, DE, M,,M, etM,. Il reste maintenant à trouver une solution particulière des équa-

tions (A); on la cherchera sous la forme

. seront déterminés par des

h —B sinu +B,sinu/ h”— BD" simu 8" sinu h! — B" sinu + B" sinw/’, 1 9 1 , 1

k=—B cosu +B, cosu/, k!—Bl'cosu LB cod, kt— B'cosu + B° cos u'; 1 ! 1

en substituant dans les équations (A), égalant dans les deux membres les coefficients de sinu, cosu, sinu’ et cosu', après avoir tenu compte des valeurs (13)

PER 1 n ae T let de : ee » On trouvera

an HoT)B= [o,1]B/—[o,2]B"= =m'»F,

B'—[1,0]B —[1,2]B"— 7 »en'G,

MR Lea DB rie — ee . B;—[o,1]B! — [o,2]B° —0,

J(n—ant+ Ci ])B,—[r,o]B; —[1,2]B! =

) (n—at+ [r]) | 5) )

(ak sn )B—[2, oJB1—[2,11B,=— > m' n"G',

Le calcul montre que les quantités [o,1], [o,2],..., qui contiennent toutes en facteur la masse d’un satellite, sont petites par rapport aux quantités

n—2n+|o Et Fe et l’on a ces solutions très approchées

mnF

[ I mn LES B ee pi

non. 1] 0 1 a ; a.

m' 'n' Dé m'n!G'

Dee 7 D , B,—o.

nan ts n'—on"+| |

On pourra, du reste, si l’on veut, obtenir très facilement les petites corrections de B, B’, ... en remontant aux équations (17) et (18).

On aura . ainsi l'intégrale particulière cherchée, et en l’ajoutant à l’intégrale générale (14), on obtiendra, pour les intégrales des équations (A ) :

m nr : :

h = ——— ——— sinu +Msin(gt+6)+ n—on +| 0 m'nF — —— Cosu + Mcos(gt + B) + non | 0 rm

mn'G \ I m' n'F"

- sinu'+M'sin(gt+8)+

mn'G I m'n!KF' — COS u + - cos u/ + M'cos (gé SE B)+

han 2 Er] 2n—on+[: ]

——— sin u+ M"sin(gt +86) + n'—9n! + L I m n"G' eue cosu'+ M" cos(gt + 68) + Pin on al

h"— M" sin(g4 Pre 8) HSE | "= M cos(gt + B) +..

En portant ces expressions dans les formules (2), on aura les inégalités correspondantes des rayons vecteurs et des longitudes, savoir,

Ô1' L m'nEF

LUN — —— cos(2/— 21) — Mecos(l—gt—GB)—..., a 2n—aon+| 0 | à mnF : j ue OP Sin (2 a MO ee 2 BE...

n—2n + | 0 | dr! 1 mn'G — ——- — - cCos(l — 7) a Pins ant fi m'n'F'! à | — — — ere COS(20 21), M COSP SL).

Dome = | mn G À d0! —— 7 sin(/ — !) (19) ne LA m'n!'KF' ae :

me ———— — sin(2/"— 21") +2M'sin(l'— gt —6B)+.. n'—on"+ | 1 | DE I m'n"G' Hu lee lee A or lus Sir Po et

S m' ne Fe ce 1/4 lé Al! &: {4 ñ nur sin({”— 1) +2M'sin(l"— gt —B)+..., n'—9on"+ | 2 |

| dr" | —=— M'cos(l"— gt—fB)—..., | a

de" — 2M”"sin({"—gt—B)+....

Les termes qui contiennent en facteur l’une des quantités F, G, F’, G’ sont les inégalités à longues périodes, qui ont des valeurs considérables, à cause de la

pélilesse des dviseursm 27) 0 .),.

9. Grandes inégalités des longitudes moyennes. — Nous allons porter les expressions (C) de 2, #, ... dans les formules (B); nous trouverons d’abord

k sinu — h cosu —Msin(2l/—[/— gi—6B)—...,

DR sin(uw—u)+M'sin(2l —[1 — gt—6)+.….,

none FE 1

RSI A ACOSA

D ji =

mn! G

k'sinu'— h' cosu!'—- - sin(uw—u)+M'sin(20/"— l'— gt — GB) +...

DU NE Enr |

k'sinu'— h”cosu'— M'sin(2/"— l'— 9t— 86),

Il viendra ensuite

3 Tee (a a 7) OM 10 Ha | (FM + 5 GM')sin(ae l— gt—6) |

— - m'm'n? — - —— F'Gsin(u'— u), f Sono

-—=—3mn? [Car + FM) sin(2/ —{— gt—6)+.. 1

a do :

+ -m'n"? | (FM a G'M') sin(20—l— gt—6B)+..

) n mm n°? — + F'Gsin(u'— u) n'—on l n —2n + \

(1 ne LINEAR SM RE (a+ a F'M') sin(20"—l'— gta

El D ICO

n Ë mm n" — — - F'Gsin(u'— u).

2 os

Cr ont

En ne considérant que les premières parties de ces expressions et intégrant deux fois, il vient, pour les grandes inégalités des longitudes moyennes,

| de : LC: —— =) (EM+ € — Ga’) sin(2/'— 1

3m < Cire sin(2l— l— gt DR EN — «a

Fo W k e/ A IM"' \si 1! ! ; FE F'M+S G'! M) sin(a/ ll — ot +...

9 ! L . IAT/ 2 PI . + eo) JA AS œ 3 m a. n —) (G G'M" + “1 À M) sin(2/ l— gt —6) |.

Mais il nous reste à considérer, dans les équations (20), des termes qui, tout en étant de l’ordre du produit de deux masses, jouent un rôle important; dans ces termes qui contiennent sin(u’ — u), nous prendrons na —2n—n-—2n" dans les diviseurs, et 2 — 2n', n' — 2n” dans les coefficients. Nous trouverons ainsi

a Le ; MM <> A — nim'm" — HS Nine, a a Ë ee po

Æl. à 3m"'m

Je = n n mm" — Se TK sin, “ se n—2on+{| F1

{ dl DA. n SRE SNL CE =. — n°mm' —— F'Gsins — —;- Ksin3, de 64 a = An A | a

le A A

10. De la libration. Théorèmes de Laplace, — On tire aisément des équations (22)

ŒS m'm' om'm Popei\ ee ue 2e : nS

On trouve par le calcul numérique, F'> 0, G<o; d’ailleurs n — 2n’ est positif; donc l'expression (22) de K est > 0; en posant

m'm" om" m &mm' (23) 6 K ( A D on ) , 6 sera réel: il viendra es À de —— 6? Sin S

On en déduit, en désignant par C une constante arbitraire,

dS>

(24) dt= = — | VC — 26? cosS”

on est ainsi conduit à une intégrale elliptique. Dans la discussion, il y a deux cas à considérer :

1° CZ 26*;S varie toujours dans le même sens, passe par les valeurs + +,

29 — 962€ C <26?:0on peut faire

I de Caercoss di = — — 3 V26? VcosS' — coss

Le premier cas doit être exclu ; soit en effet C — 26? + =?, on aurait, pour le

temps T que mettrait l’angle S pour croître de + à 3

T = d3> ue dx — = æ 9 x Vri+26—261c0s5 J V1? + 267 + 261co5x

T 1 ee 2Vr?+267 2/26?

avec la valeur numérique connue de 6?, on trouve T < 4or jours.

Or, les observations ont montré que l’on a, à fort peu près,

DE San 8 00