BG+ BG —C
c'est l’intégrale des aires. Si l’on pose Bb, B'G=—C—H,
F deviendra une fonction de L, L’, H et des arguments /, let »; on aura ainsi ces équations différentielles, qui correspondent au problème actuel,
disL) of d 0F die 01 di, Oh) d(B'L') 0F Re:
M, 00. dt JL) dH OF dh OF
dt. 0h. dE 0h
Nous avons à présenter une remarque importante au sujet de développements qui se rapportent au problème des trois corps. Reprenons les douze variables qui figurent dans les équations (5), et posons
2 — DL, Di 1, Li 0 =" QG; ÿ
LS HS oyr Se FD M Pat Ve Ce DA ER
Les équations (5) pourront être représentées par
: dx; 0F dy F Fe (15) | eo Don PEN, 22600 La fonction F est d’ailleurs représentée par la formule (3), et l’on a, en série convergente, F=R+pE, +pF,+..., pi
Re nat DS PT ee
la fonction F, ne dépend donc que des variables +, et x.
Lorsque u = o, les équations (15) donnent
= 10 ES -0 oies , SEE 0 die), Ni=mt+y, Ya = Not + y, Vite = Vis) 0F, OF,
GE ; dz;
en désignant par æ° et y; douze constantes arbitraires; les trajectoires des deux planètes sont alors des ellipses képlériennes. Supposons maintenant 470, et supposons que, pour £ — 0, on ait
— 7% te DEC VAL Ti Xj + Gis Yi=ÿi +
et demandons-nous quelles seront les valeurs de ces quantités x; et y; pour t — 7. M. Poincaré a montré (t. [, p. 63) que ces valeurs sont développables en séries convergentes suivant les puissances des &;, n;, de + et de u, pourvu que les modules des quantités £;, n; et u soient assez petits.
Nous pouvons maintenant aborder la recherche des solutions périodiques du problème des trois corps, en nous limitant à celles du premier genre (vour
290. Recherche des solutions périodiques du problème des trois corps. — M. Poincaré avait démontré (Bulleun astron., t. X, p. 65) qu’il existe trois sortes de ces solutions périodiques de premier genre : pour celles de la première sorte, les inclinaisons sont nulles, et les excentricités très petites (de l’ordre des rapports des masses des deux planètes à la masse du troisième corps qui est le Soleil); pour celles de la seconde sorte, les inclinaisons sont encore nulles, mais les excentricités finies; enfin, pour celles de la troisième sorte, les inclinaisons ne sont plus nulles. L'auteur est revenu avec plus de détail sur ce sujet dans son Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste: nous allons chercher à donner une idée de ces nouvelles recherches, et nous reproduirons souvent, presque textuellement, l'exposé de M. Poincaré.
Pour les unes comme pour les autres de ces solutions périodiques, les distances mutuelles des trois corps sont des fonctions périodiques du temps; au bout d’une période, les trois corps se retrouvent donc dans la même position relative, tout le système ayant seulement tourné d’un certain angle. Il faut donc, pour que les coordonnées des trois corps soient des fonctions périodiques du temps, qu’on les rapporte à un système d’axes mobiles, animés d’un mouvement de rotation uniforme.
Occupons-nous d’abord des solutions de première sorte. Soient $S le Soleil (m, sa masse), M et M’ les deux planètes (aum, et «um, leurs masses); nous rapportons comme ci-dessus la planète M à des axes se coupant en $, et
la planète M’ à des axes parallèles se coupant au centre de gravité G de S et T. — IV. Gr
de M. Le mouvement est supposé avoir lieu dans un plan que nous prendrons comme plan de référence.
Si l’on suppose u = o, les masses des deux planètes sont nulles, le Soleil est fixe, et les deux planètes décrivent autour de lui des ellipses képlériennes. Admettons que ces orbites soient circulaires; soient x et n° les moyens mouvements,etrn>n.
Placçons l’origine du temps au moment d’une conjonction; à ce moment les
longitudes de M et de M’ pourront être supposées nulles, en choisissant l’origine
des longitudes. Au bout du temps , ces longitudes seront devenues res-
2Tn 2Tn' * ps , x .
; et ——,; leur différence sera égale à 27. Les deux petites
ent 1 NU
masses se retrouveront en conjonction; les trois corps seront de nouveau dans
la même position relative, tout le système ayant seulement tourné de l’angle
pectivement
7" Si donc on rapporte le système à des axes mobiles tournant d’un mou-
vement uniforme, avec la vitesse angulaire », les coordonnées des trois corps, par rapport à ces axes mobiles, seront des fonctions périodiques du temps, et
la durée de la période sera T = — UT à.
Ainsi, dans le cas limite de u — 0, le problème admet des solutions périodiques, quand on choisit convenablement les circonstances initiales du mouvement. Avons-nous le droit d’en conclure qu'il en sera de même pour de petites valeurs de p.?
Nous prendrons les variables (8) que nous pouvons réduire à huit,
puisque, le mouvement ayant lieu dans un plan, il est permis de faire
pP=g=p=qg—0,
ACL Phe, à AZ BL KB V a, À.
VA Va (i— Vie) coss,
VA V2 V1 e*)cose!,
n =—VA NETC —/1—e) sins,
er
Les distances mutuelles des trois corps et les dérivées de ces distances par rapport au temps dépendent seulement des sept quantités suivantes
À, EcosÀ —nsinÀ, ÉsinÀA+ncosÀ, .
L AG E'cos}'— n'sinl', E’sin? + n'cos}',
on a, en effet, en désignant par / et /’ les anomalies moyennes,
ES gt.
r=a(i—ecost+ re! écosal+...), :
TARN bp —À+2esin{+-esin2l+...;
I [I = (ie COS L' + — ee 0ços2 ll +... 7 £ 2
à Din pl =)\'+2esinl//+ -#e?sin2/ +...
un zx'+ yy'=rr'cos(e — +!)
: croare ét sinal— + e" sina l +...):
I Or
= pr :COS C AS nesinr rie sine
E cosà — n sinà — WA Va (1 Vi —e) cosi,
E sin + n cos? VA Va (Gi — Vie) sin’, On en conclut AR A?
Te ae
__ (ËcosÀ — nsinA)? + (£sinÀ + n cos}?
1 [Er — nsinÀ) +(ËsinÀ+n | = Tr RE EST TE 5 2
E sinÀ — n cos À ON PTT LE Di Ne EcosÀ + n sinÀ
SI
tang / —
et des formules analogues pour a’,e’ et /’. On voit ainsi que r et r’ dépendent de À, EcosÀ—nsinÀ, Esin\+mncosÀ, A', E'cos\'—n'sind', &'sin?'+n'cos\';
æx'+ yy' introduit l'angle À — À.
Pour que la solution soit périodique, il faut donc qu'au bout d’une période les variables (16) reprennent leurs valeurs primitives, et que À — À’ augmente tea.
Si l’on fait u — o, le mouvement est képlérien ; supposons de plus que, pour t;=—.0, on'a1t
k Æ ski gran sn ac ! fr 2 Â —— À, — 1 >} AN —— À, — 1 n> ne
Les mouvements des deux planètes seront circulaires et uniformes, avec les
moyens mouvements » et x’; la solution sera périodique, et de période Ce LE
484 CHAPITRE XXVIL.
Ne supposons plus maintenant & — 0, et considérons une solution quelconque; nous pourrons choisir l’origine du temps au moment d’une conjonction moyenne, et prendre pour origine des longitudes la longitude de cette conjonction.
Les valeurs initiales de À et de À’ seront nulles; soient À, + 6, et A, +6, les valeurs initiales de À et de A’. Soient encore &,, %, €,, n, les valeurs initiales de 6, n, £ et n'; ce seront aussi les valeurs initiales des quatre quantités
EcosÀ—nsinÀ, Esin\+ncosÀ, E'cos}'—n'sinX', E'sinÀ' + n'cosi'
qui figurent au nombre des variables (16).
: = HER 2T Soit maintenant 27 + , la valeur de À — À’ au bout de la période = (QUE nous supposons la même que dans le cas de x = 0). Soient, au bout de cette période, A+ GB: + di, À, + 6, + ds, les valeurs de À et À’, et
bo + Potbn +de M6 +
les valeurs des quatre dernières variables (16). Pour que la solution soit périodique, il faut que l’on ait
=== ho.
S'il en est ainsi, les valeurs de a, e, ©, a’, e’, &' et À — \’ seront les mêmes, en effet, au commencement et à la fin de la période; il en sera de même des distances mutuelles des trois corps et de leurs dérivées par rapport au temps.
Ces équations ne sont pas toutes distinctes; les équations différentielles du mouvement admettent, en effet, deux intégrales, celle des aires et celle des forces vives.
En écrivant que les premiers membres de ces intégrales prennent les mêmes valeurs au commencement et à la fin de la période, et supposant que les conditions
(19) se ddr d=S
soient vérifiées, ce qui entraine l'égalité de e, æ, e’, æ’ et de À — \’, on trouvera que a et a’ doivent reprendre aussi les mêmes valeurs : done on doit avoir
Ÿ, = Ÿ, = 0. Nous aurons donc seulement à résoudre les cinq équations (17), auxquelles nous adjoindrons l'équation des forces vives F— C, où nous regarderons la constante C comme une donnée de la question; ces six équations contiennent les six inconnues
(18) B:; Ba, Éos os … et Th
Les Ÿ, sont des fonctions holomorphes de 4, et des six variables (18), que nous ne chercherons pas à former; elles s’annulent avec ces sept variables. D'après un théorème démontré par M. Poincaré (t.1, n° 30), on pourra résoudre les équations (17) et F = C par rapportaux inconnues (18), pourvu que le déterminant fonctionnel des quantités F et ; par rapport aux inconnues ne soit pas nul pour
pi pi B2 = M0 En — Ma = d
Rappelons que le déterminant fonctionnel, ou Jjacobien, de fonctions yi, as +. y: par rapport aux variables æ,, æ,, ..., æ; est le déterminant
EE 02 : 0%: ÔT; A db: 0 OX, OL dZ:; do 10 Dr, O2 Ôx;
Or, pour =0o,0ona
LR ques de CN VAE ab? k* F GORE RME De 2 L’/? 2(A5+6:}° 2 (A + Ba )??
