F 06; OF

ES (ee)

Il faudra donc calculer ces déterminants, y faire ensuite

DD ee Mn à le — 0

et voir si aucun d’eux n’est nul. Or, en se reportant aux formules (19), (22) et (23), on trouve aisément

6T 6? K CGR).

(Do d “ > R'+ es n |»

n—n'\AÿA, AS A

quantité négative essentiellement différente de zéro;

(II), = (1 — cos)? + sin?h, (IE), = (1—cosÀ,) + sin°À;.

Ces quantités ne peuvent s’annuler que si l’on a ds = 2ÙT, 1 — 91,

v et v' désignant deux nombres entiers. En remplaçant À, et À, par leurs valeurs (21), après y avoir fait 6, — B, = o, il vient

n n ; —— mr RU Nm: < han. ï

d’où n y DH ei , ou == ; n den y

La solution périodique dont on vient de démontrer l’existence ne peut donc cesser d'exister que si le rapport des deux moyens mouvements est exactement commensurable, et si, en outre, le numérateur et le dénominateur de la fraction qui représente alors ce rapport diffèrent d’une unité.

Remarque. — La solution dont il s’agit est la suite d’un développement de Laplace (voir notre T. I, Chap. XXII); en supposant e— € — 0, les formules citées peuvent s’écrire

| je) + D Ascosi(à — 7),

Cu — 7) +Y B; sin C(À SR DE

r'= a+ > A:cosi(À — À),

p'— À + B; sinë(À — À);

1488 CHAPITRE XXVIT.

À;, B;, A; et B; sont des fonctions connues de a et 4’, qui contiennent »' ou m en facteur; À et À’ désignent les longitudes moyennes. La démonstration de M. Poincaré montre que les formules conservent la même forme dans les approximations successives où l’on tient compte des carrés, des cubes, ..., des masses; les quantités A;, ... sont alors développées suivant les puissances de 1. Les équations (24) représentent alors une solution du problème des trois corps, quand les conditions initiales sont convenablement choisies et que le mouvement a lieu dans un plan. On a

p — \—= ZEB;sint(À—À), pl— = —X1+2EB;sini(À — 1);

ce qui montre que, par rapport à un système d’axes mobiles tournant uniformé- . d # «

ment avec la vitesse D = les coordonnées des deux planètes sont des fonc-

Ê ES . rie 5 2T

tions périodiques du temps; la période est T — 5" Nous allons donner

maintenant quelques indications sur les solutions de la seconde sorte, trouvées par M. Poincaré.

221. Solutions périodiques de la seconde sorte. — Supposons que les corps se meuvent dans le même plan. Les variables canoniques sont

A=6E, A —06L;:. 1 [ Las h.

Une solution sera périodique si, au bout d’une période, À, A’ et H ont repris leurs valeurs primitives, et si /, l’ et » ont augmenté de 27. On a d’ailleurs

F =F+uF; +WrF, F1 FO

on voit que F, ne dépend que de À et de A’. On a les équations

2 D A SL Date dt 10 AR RON di Dé din 0 dis DA PR à moe ie

di dr

Si l’on suppose & — o, ces équations donnent

hi DOS LR LE

di OR

RS) ie

d’où, en désignant par À,, À,, H,, k,, /, et 4 des constantes,

MAS, NE, H="H,, RER, nb EN RUE,

Donc, pour a — 0, si A, et À, ont été choisis de manière que

nT—=20r, RDV 'T;:

d’où n v FL TA

où vet y’ sont des entiers, les équations du mouvement admettront une solution périodique, de période T, quelles que soient d’ailleurs les constantes H,, FH, let.

Voici la question que nous posons :

Est-il possible de choisir les constantes H,, /,, 4 et k, de façon que, pour les petites valeurs de x, les équations du mouvement admettent une solution périodique de période T, et qui soit telle que les valeurs initiales des six variables soient respectivement

No Br: NE Ba 16 6

lo + GB, D + Bs, Ro + B6,

les 6; étant des fonctions de pe s’annulant avec u.? Remarquons pour cela que, la fonction F, étant périodique en /, l’et À, on

peut écrire F,= ZA cos(m;l+ mil'+ m;h+x),

m,, m, et m, étant des nombres entiers, et les quantités À et x des fonctions de À, A’ et de H. Remplaçons dans F, les six variables

NN EX 1 Piel A par NN, Cu entiere ET RG Il viendra F,= ZA cos(Gt+G'), en faisant G=mnr mn, G=mil + mal, + mih +.

F, est une fonction périodique de #; soit R sa valeur moyenne, on aura

R=2AcosG, =. 6

la sommation étant étendue à tous les termes tels que (26) G—0 ou bien mn + Man — 0.

D’après les principes exposés précédemment par M. Poincaré (t. I, n° 46), on trouvera les valeurs cherchées de H,, /,, 4 et h,, en les déterminant par la condition que la fonction R de ces quantités soit un maximum ou un minimum, c’est-à-dire, en résolvant le système

ok: 0h :t0hB 0h

a, 0 So

On a d’ailleurs 0R 0G' no Ain in G’ ire AsinG on m, À sin G', 0R SU Ro LCE à A RS ee OU v dE ZAsinG on Em, A sin G,

d’où, en ayant égard à la condition (26),

OR D —— SGA sinG/— 0.

jr = — 2GAsinG'— 0

On peut d’ailleurs choisir l’origine du temps de façon que 4, — 0; donc Ji. = 93

il reste ainsi seulement les trois équations

(an) 0RvroR io 7 M D

M. Poincaré établit ensuite que la fonction R a un maximum. Il trouve que l’on a ho;

et qu'il existe toujours au moins deux solutions de cette sorte. Ici, on arrive à des excentricités finies.

M. Poincaré cherche ensuite les solutions périodiques de la troisième sorte,

; % . . . n dans lesquelles les inclinaisons ne sont pas nulles; on doit avoir encore = 5

il montre qu'il existe de telles solutions, et c’est encore par la considération du maximum où du minimum de R qu’il y arrive ; mais nous ne pouvons pas entrer dans les détails de la démonstration. |

222. Application des solutions périodiques. — M. Poincaré fait remarquer, à ce point de vue, qu'il est infiniment peu probable que, dans aucune application pratique, les conditions initiales du mouvement se trouvent être

précisément celles qui correspondent à une solution périodique. Cependant, 1l montre comment on peut prendre une solution périodique comme point de départ d’une série d’approximations successives, et étudier ainsi les solutions qui en diffèrent fort peu. Si l’on suppose que, dans le mouvement d’une planète, il se présente une inégalité considérable, 1l pourra se faire que le mouvement véritable de cette planète diffère fort peu de celui d’un astre idéal, dont l'orbite correspondrait à une solution périodique. Il arrivera alors souvent que l'inégalité dont on vient de parler aura sensiblement le même coefficient pour les deux astres; mais ce coefficient pourra se calculer beaucoup plus facilement pour l’astre idéal, dont le mouvement est plus simple, et l'orbite périodique.

La plus belle application qui ait été faite est celle de M. Hill pour le cas de la Lune; en supposant nulles les excentricités de la Lune et du Soleil, ainsi que les inclinaisons, on a une Lune idéale dont la longitude est affectée de l'inégalité connue sous le nom de variation. On a alors une orbite périodique de la première sorte.

On peut calculer ainsi avec une grande précision le coefficient de la variation et le mouvement du périgée, comme nous l’avons montré dans le Tome III, Chapitre XIV ; on obtient ainsi, pour la Lune réelle, et avec une approximation presque indéfinie, les parties du coefficient de la variation et du mouvement du périgée, qui sont indépendantes des excentricités, de l’inclinaison de l’orbite de la Lune, et de sa parallaxe ; et ces parties sont de beaucoup les plus considérables.

Voici un autre cas important : on a vu plus haut que les solutions périodiques de la première sorte cessent d’exister quand le rapport des moyens mouvements DS ne

Re À ; : n ; x: 2 :

— —, j étant entier. Mais, si le rapport ——; au lieu d’être égal à un nm J LA nn 4)

entier 7, en est très voisin, la solution périodique existe et présente alors une inégalité considérable. On conçoit donc que, si les conditions initiales véritables du mouvement diffèrent peu de celles qui correspondent à une telle solution périodique, cette grande inégalité existera encore, et que le coeflicient en sera sensiblement le même. Or, tel paraît être Le cas des satellites Titan et Hypérion, et, dans le Chapitre VII de ce Volume, j'ai calculé la solution périodique au lieu de la vraie. Toutefois, on conçoit que, comme on est voisin d’un point critique, il sera nécessaire de pousser assez loin le calcul de la solution périodique, en tenant compte des puissances successives de la masse de Titan.

Indiquons encore une dernière application :

L'Académie des Sciences de Copenhague avait mis au concours, pour 1892, une question concernant la recherche des solutions périodiques du problème des trois corps, dans le cas d’une masse infiniment petite C attirée par deux masses

égales A et B; ces deux dernières sont supposées décrire un même cercle autour de leur centre de gravité O, situé au milieu de AB et regardé comme fixe; la petite masse C est supposée se mouvoir dans le plan de ce cercle. M. Carl Burrau, par des calculs numériques habilement conduits(Astron. Nachr., n°3230, 3251), a trouvé une classe de solutions périodiques, quand le point Cest placé d’abord près du point de Lagrange, sur le prolongement de AB, et qu'il est animé d’une vitesse convenable; s’il était placé au point de Lagrange lui-même, dans des conditions déterminées, il n’en bougerait pas, et la trajectoire relative, par rapport à deux axes rectangulaires OÙ et On, dont le premier coïncide avec AB, serait un point; pour des conditions voisines des précédentes, cette trajectoire relative sera une petite courbe fermée. MM. Perchot et Mascart (Bull. astron., t. XII, août 1895) ont étudié analytiquement ces solutions périodiques, d’après les méthodes de M. Poincaré, et leurs résultats viennent à l’appui des calculs de M. Burrau. Ce dernier astronome avait aussi considéré le cas où la position initiale de C forme un triangle équilatéral avec A et B, ce qui correspond au second cas de Lagrange, et 1l avait trouvé, par ses calculs, qu'il n’y a pas de solution périodique dans le voisinage; MM. Perchot et Mascart ont démontré qu'il en devait bien être ainsi. Il arrive, en effet, que les expressions des composantes du déplacement relatif du point C, ou de sa vitesse, contiennent toujours en facteur une exponentielle réelle, parce que les exposants caractéristiques

sont de la forme & + $ ÿ— 1 ; tandisque, dans l’autre cas, il en est bien de même

pour deux des exposants, mais les deux autres sont de la forme BY— 1; Ë, M; .

7, Ont des expressions telles que

A, Et + A E%t + A,sin(a;é + c);

si l’on s'arrange de manière à avoir A, — A, — o, l'orbite est périodique. Nous avons déja dit un mot de ce sujet (t. I, p. 157), à propos d’un Mémoire de Liouville.

Nous croyons devoir terminer ce Chapitre par la citation du passage suivant de l’Ouvrage de M. Poincaré (t. I, p. 156) :

« Les solutions périodiques dont il a été question jusqu'ici ne sont pas les seules dont 11 soit possible de démontrer l'existence. Ainsi le problème des trois corps comporte des solutions périodiques de la nature suivante : les deux petits corps décrivent autour du grand des orbites très peu différentes de deux ellipses képlériennes EetE’; à un certain moment, ces deux petits corps passent très près l’un de l’autre et exercent l’un sur l’autre des perturbations considérables ; puis ils s’éloignent de nouveau et décrivent alors des orbites qui se rapprochent beaucoup de deux nouvelles ellipses képlériennes E, et E, très différentes de E et E’. Les deux petits corps s’écartent très peu des ellipses E,

et E jusqu’à ce qu’ils se retrouvent encore une fois très près l’un de l’autre. Ainsi le mouvement est presque képlérien, sauf à certains moments où la distance des deux corps devient très petite et où il se produit des perturbations considérables, mais de très courte durée. Il peut arriver que ces sortes de collisions se reproduisent périodiquement et de telle sorte qu’au bout d’un certain temps les deux corps se retrouvent sur les ellipses E et EF’. La solution est alors périodique. Je reviendrai plus tard sur cette sorte de solutions périodiques, qui diffèrent complètement de celles que nous avons étudiées dans ce Chapitre. »

Il est bien à désirer que M. Poincaré développe cette nouvelle espèce de solutions périodiques, qui trouverait peut-être son application dans l’étude des transformations que fait subir Jupiter aux orbites des comètes périodiques. Dans ce cas, la masse de l’un des corps (de la comète) devrait être supposée nulle.

Nous bornerons là ce que nous voulions dire de l’Ouvrage si remarquable de M. Poincaré; il abonde en résultats féconds, et, dans les conditions, quelquefois plus simples que celles de la pratique, où s’est placé l’auteur, la rigueur des démonstrations ne laisse rien à désirer.

223. Sur la propagation de l'attraction. — On ne sait rien à ce sujet, et force est de recourir aux hypothèses. Laplace considère le mouvement relatif d’une planète P par rapport au Soleil S; 1l dit que, si l’attraction est produite par l'impulsion d’un fluide sur le centre du corps attiré, et si V désigne la vitesse de propagation de cette impulsion, on peut appliquer à l’ensemble du fluide et de la planète une vitesse # égale et contraire à celle de la planète; cette dernière se trouvera ainsi réduite au repos. Si donc on porte sur la direction PS une longueur PA — V, et sur la tangente à l'orbite en P, mais en sens contraire du mouvement, une longueur PB—», la diagonale PC du parallélogramme construit sur PA et PB représentera la direction apparente de l'attraction.

Soit o l’angle CPA, et n l’angle BPA, on aura

sing Re sin(n—co) V’ ou plus simplement à (GS SINC — = SInn.

V Î Ce qui précède est analogue à ce que l’on fait pour l’aberration de la lumière. Laplace considère ensuite l’attraction PC dirigée suivant PC, et la décompose

en deux autres PA’ et PB’ dirigées suivant PS et PB. On peut prendre

Par Poe te pe

à cause de la petitesse de l’angle o; on aura ensuite

PB'— fm(m+m;) #

On voit donc que les choses se passeront comme si la planète éprouvait une résistance proportionnelle à la simple vitesse, de La part d’un milieu dont la

densité serait inversement proportionnelle au carré de la distance au Soleil. Cette question a été examinée dans Île Chapitre XIII de ce Volume; mais il convient de la reprendre directement. Soient R et S les composantes de la force perturbatrice, suivant le rayon vecteur et la perpendiculaire au rayon vecteur; on trouve

ro, Sete 7 D LUE

La formule

dæ 30 P TRE Ne (Re sinæw + S =)

donnera, en négligeant l’excentricité, et faisant r — p = 4, n — 90°, sus S

et (; j \ÉÈRES Van On en conclut dn 3kn o i de <a Vo iv «a

PAL de RL A à dn— 3 & n°0, o1= fndr = (nt}':

la longitude contiendrait donc un terme proportionnel au carré du temps. Supposons V égal à la vitesse de la lumière, v,, et caleulons Ô/ dans le cas de la Terre; nous aurons ?, = 10000 v; au bout de & années,

ue ; Qé—= —— = 1220" X L?.

10000 Sin1

Ainsi, au bout d’un an, la longitude aurait une inégalité dépassant 20'; c’est impossible. On pourrait écrire qu'au bout d’un siècle l'inégalité de la longitude doit être inférieure à 2”, ce qui est peut-être ce que l’on peut conclure des observations. En faisant : — 100, il viendra

Ainsi, la vitesse de propagation de l’attraction devrait être au moins égale à six millions de fois celle de la lumière.

Dans le cas de la Lune et de la Terre, l’inégalité dl aurait pour valeur, au bout d’un siècle, (2)

en écrivant que cette quantité est inférieure à 2”, on trouve que la vitesse V devrait être au moins égale à trente millions de fois la vitesse de la lumière.

Mais 1l faut reconnaître que cette conclusion relative à la vitesse énorme, et pour ainsi dire infinie, de la vitesse de l'attraction, n’est pas démontrée rigoureusement. La manière dont Laplace introduit la force perturbatrice considérée plus haut laisse à désirer. Il y a une double considération de vitesses et de forces, qui est beaucoup moins satisfaisante que quand il s’agit d'obtenir l'angle d’aberration.

224. M. Lehmann-Filhès (Astron. Nachr., n° 2630; 1884) a cherché à tenir compte autrement de la vitesse de propagation de l'attraction. Nous allons présenter rapidement ses calculs. Soient, à l’époque £, Ë,, ns, Q les coordonnées rectangulaires du Soleil O, rapportées à des axes fixes; £, n, ( les coordonnées d’une planète P ; x, y, : ses coordonnées relatives par rapport au Soleil. On aura

Éd Meet) C2,

D pen, ie + ne

L'auteur suppose que l’action que subit la planète à l’époque z est partie de la position S, qu'occupait le Soleil à l’époque & — . —t— }r, en faisant À — ç

On aura donc, en désignant par £!", n!’ et {!" les coordonnées de S,, nie

[CE en EDR (n — NU) + (E eo or,

On aura donc