N RER 2 A
ne sr et y Sin H,
= fond — — à en? t? Ÿ sin H.
L'inégalité est de l’ordre de celle à laquelle conduit la méthode de Laplace, cette dernière étant multipliée par e, car », est de l’ordre de v, dans le cas de la Terre. On serait donc encore conduit à une vitesse de l’attraction beaucoup plus grande que celle de la lumière, bien que moins forte, à cause du facteur e.
Nous citerons encore un Mémoire de M. v. Hepperger (Sizungsberichte de Vienne, 1888), fondé sur les mêmes principes que celui de M. Lehmann-Filhès, mais dans lequel l’auteur a tenu compte d’un certain nombre de termes complémentaires.
995. Loi d'attraction conforme à la loi électrodynamique de Weber. — Nous passons maintenant à un ordre d'idées entièrement différent, concer-nant les phénomènes électrodynamiques. Gauss avait cherché une formule faisant connaître l'attraction mutuelle de deux éléments de courants, quand on suppose que ces éléments, au lieu d'être en repos, sont animés d’un mouvement relatif connu. Il avait obtenu, dans ce but, une formule qui n’a été publiée qu'après sa mort, et sur laquelle nous donnons plus loin quelques indications. Weber, de son côté, en a proposé une autre qui est bien connue; l'action mutuelle de deux éléments serait dirigée suivant la droite qui les joint, et son intensité serait représentée, à un facteur constant près, par l'expression
I É AT. > dr 1 b LE Vr 6 LAN ND AR ELA Re de + En Me (6) 1 de Ce mn) 1 Tor an:
le terme = de cette formule représente l’effet statique, et les autres tiennent
compte de l'effet dynamique; c est une vitesse qu’il faudra déterminer par les observations. Si l'on suppose que les deux éléments de courant soient animés d’un mouvement relatif uniforme, suivant la direction de la droite qui les joint,
dr dt la formule précédente donnera 8 — 0: cela peut être considéré comme une
définition de c. La formule (6) embrasse à la fois les phénomènes d'électricité Statique qui sont régis par la loi de Coulomb et les phénomènes électrodynamiques qui sont compris dans la loi d'Ampère. Il ne semble pas que la formule (6) ait été démontrée; on s’est borné à vérifier quelques-unes de ses conséquences.
Züllner à été conduit à penser que la loi de Weber pouvait être employée, non seulement en Électrodynamique, mais encore en Astronomie: ses idées sur ce sujet ont été exposées ensuite dans l’Ouvrage intitulé : Préncipien einer electrodynamischen Theorie der Materie, Leipzig, 1896. S'il en était ainsi, deux éléments de masses m et mn’, séparés par la distance r, exerceraient l’un sur
l’autre une attraction qui, au lieu d’être représentée par la loi de Newton
fmm' . !
» serait donnée par la formule de Weber,
mm 1 dr? 2 dr (7) RH ARE liés I re + — 1° = à TÉ CAL: Cr di:
et si cette vitesse — est égale à c, l’effet dynamique détruira l'effet statique, et
La question se posait, dès lors, de savoir quelles perturbations apporterait dans les mouvements des planètes l'introduction de la loi de Weber. On peut se borner à considérer une planète et le Soleil; les équations différentielles du mouvement sont alors
dy
Ta —
4° (LUE ie
Dans une thèse soutenue à Gôttingue, en 1864, M. Seegers a montré que l’on pouvait intégrer rigoureusement les équations (8) à l’aide des fonctions elliptiques, mais son travail est purement analytique et l’on ne voit pas bien les modifications cherchées. M. J. Bertrand ayant bien voulu attirer mon attention sur ce sujet, j'ai considéré les équations (8) comme étant celles d’un mouvement elliptique troublé par une force dont les composantes seraient
dr key {dr? Le La AN D Le OT —— s- p » 27 2 ? 7258 2 c2r8 \ dû? dt? Car N at
VITESSE DE PROPAGATION DE L'ATTRACTION. Soi
J'ai employé la méthode de la variation des constantes arbitraires ; Les résultats de mes calculs ont été présentés à l’Académie des Sciences (Comptes rendus, 30 septembre 1872). Mais il me semble préférable ici de les conclure de l'intégration rigoureuse des équations (8).
296. Intégration rigoureuse des équations (8). — Ces équations admettent les intégrales des aires; donc l'orbite est plane. Prenons son plan pour plan des xy; nous pourrons nous borner aux deux premières équations (8). Nous en déduirons sans peine
dy di dr (9) er Jon = *VP; CA CR NE 1 SE É 1 Gr DCE Aout d é Var AE AS 0 pe dN ed am) ile oran) dut di T2 Te À I de Fo - ne ei
a et p désignant des constantes arbitraires. Nous mettrons p sous la forme p—a(r— er)
En introduisant les coordonnées polaires 7 et 0, les équations (9) et (10) deviennent
dr? + r° d0? À É I D) a) RER EN ET ONE == ke? — = — —— 0 di?
On en conclut
: dE GENS (tr) Edi=
Soit posé
on aura
; Fe ï
(12) A0 Pas = d GR /6
5o2 CHAPITRE XXVIII.
On voit que les limites a(1 — e) et a(1 + e), entre lesquelles varie r, restent les mêmes que dans le mouvement elliptique. Mais le périhélie ne reste plus immobile. Soit, en effet, © l’angle décrit par le rayon vecteur quand 1l passe de la valeur 7’ à la valeur maxima 7” qui la suit immédiatement.
Nous aurons
Posons
! I ü CAN — — gi cos" o == = Sin”,
et nous trouverons
| DA LES LE O — 2 f — ue COS OR. sine) do.
FAR à : RU ne REA Î La quantité —— est très petite vis-à-vis de l'unité; on peut négliger son carré, Cia
et 1l vient
O — re s 20 2 sinte) d =2f 177 - 0 er 1 9 P»
Donc, quand la planète a fait un tour, le périhélie s’est déplacé dans le sens
: ATH en direct de ————. En général, au bout du temps £, on a c'a(i — ei)
(13) dm —
Il est aisé de voir. en se reportant aux formules (11) et (12), que la longitude moyenne de l’époque contiendra aussi un terme en z21; mais on sait qu'il n’y a pas à se préoccuper de ce terme; enfin il y aura des inégalités périodiques, mais elles sont insensibles. L’inégalité séculaire (13) n’arrivera à produire un effet sensible qu’en raison du facteur £ qui croît sans cesse.
Mercure est la planète pour laquelle, en un temps donné, ê& sera le plus sensible, et cela en raison du facteur
a @Vÿa
qui sera d'autant plus grand que la planète sera supposée plus voisine du Soleil. Soit #, la vitesse de la Terre dans son orbite, en négligeant son excentricité ; on
Le se aura 0 PL et la formule (13) pourra s’écrire
ñ 2 (14) im) ae Le c } a(i—e)
Proposons-nous de calculer ès pour Mercure, au bout d’un siècle. Dans cet intervalle de temps, le moyen mouvement de la planète est
nt = 538 107 000”;
d’ailleurs
d’où
log as ne — 910709:
On peut prendre #,— 30,0. D'autre part, Weber a trouvé par ses expériences électrodynamiques (voir Züllner, loc. cit., p.112), c = 439 450%, En admettant que c ait la même valeur dans le cas de l'attraction du Soleil, on trouve
ñ 2 e log (=)
Il en résulte 0 = 0/77.
Ainsi, en un siècle, en vertu de la loi de Weber, le périhélie de Mercure tournerait dans le sens direct de 6”,77; cette quantité est appréciable à cause de la grande excentricité de l'orbite de Mercure. En un siècle, le périhélie de Vénus se déplacerait seulement de 1”,36, ce qui produirait un effet presque insensible, en vertu de la très petite excentricité de Vénus.
Concluons donc que la substitution de la loi de Weber à celle de Newton ne produirait aucun changement sensible dans les mouvements des planètes, si ce n’est un petit déplacement proportionnel au temps dans Île périhélie de Mercure, à raison de 6”,77, par siècle.
Si l’on supposait c égal à la vitesse de la lumière, 300 000%", on trouverait, pour Mercure, et en un siècle, ès = 14,52. Si l’on demandait enfin quelle devrait être la valeur de c pour que, en un siècle, le périhélie de Mercure tourne de 38”, on trouverait c — 180 000!", soit les ? de la vitesse de la lumière. Ces données numériques trouveront leur application dans Île Chapitre suivant.
227. Loi de Riemann. — Riemann a proposé une autre foi électrodynamique (voir les Leçons de Riemann, Schwere, Elektricität und Magnetismus, publiées par Hattendorff). Mais, avant d’arriver à cette loi, il convient d'indiquer une extension de la notion du potentiel. Supposons que, dans les phénomènes
/ Q e 1 . < : 2 4 électrodynamiques, le potentiel ait pour expression, non plus = mails
: ar dy ds \ & PRE BEA FAT ARS À :
où D est une fonction de x, y, z et de æ' — H'Y = 5 = 7; NOUS supposons D homogène et du second degré en +’, y’, z'. Soient X, Y, Z les composantes de la force ; si l’on veut avoir encore l'équation du travail ou des forces vives,
fax de +Ydy+Lds)= [(Xa'+ Yy'+Zz')dt—k? ( — a) il faudra prendre (!) [x
k2 | OD
ko
Sera -SS
Nous pouvons vérifier aisément ce théorème. On tire, en effet, des formules (16), en supposant z = 0, Z — o, pour simplifier l’écriture,
nl AA EEE: a LE + YY | k° | 9D Dr ai , & oD : Fe Ë " “ dx! Ya dy’
; tite one 08 PER 0x Y 9y dx!
RULES di dx!
æ! + y’ = DD
Lee RO) 0 0 6h
Op QU D are
(1) Voir E. MATHIEU, Réflexions sur les principes mathématiques de l'Électrod lyrnamique( Annales de l'Ecole Normale, 2° série, t. IX).
VITESSE DE PROPAGATION DE L'ATTRACTION. oi
il en résulte donc
r k? dD
dt ed
d KB RE y —4#?
(17) fixée +van=8e( - =) + const. CQ. FD.
On voit que, dans ce cas, on peut calculer le travail total entre deux époques
quelconques, connaissant seulement les valeurs des coordonnées et des compo-
santes de la vitesse à ces deux époques, sans qu’il soit nécessaire de connaître
les valeurs intermédiaires. L'intégrale des forces vives s’appliquera encore. Supposons, par exemple,
,12 LR ,1\2 (18) De Re
Il viendra, en appliquant les formules (16),
c’est le second membre de la première des équations (8); on retrouve donc ainsi la loi de Weber.
Supposons, en second lieu, z'? + 12 (19) Dr.
L'application des formules (16) donnera
kx k2 Lg y'2 d {x Xe - |æ — + 2 =) |; 7 el 7 LAS 2
2 1-2 me 12 DEN | Y— Ë / ë = 3 + 2 4 (2 )|
rè c? 7 Fat
Les formules (19) et (20) expriment la loi proposée par Riemann en Électrodynamique; l'attraction n’est pas dirigée suivant le rayon r. Supposons que la loi s'applique ausst aux attractions des corps célestes; les équations différentielles du mouvement d’une planète seront donc
(2 6 2 kx &k: : æ'? + y'? u d /{x!
si ——. É E: RUES à 3) EE —.
dt? Fr? ct | 1 CTAUT L 4 dy l'E k x'?+ y'? d'y J = 3 ET .) 3 = + 2 LUE xt Ge 1 G r AW.
Nous allons montrer que l’on peut intégrer rigoureusement ces équations. En effet, on en tire d’abord
Pi pr ue: A DR nes a À ui VO 0 il A
On peut intégrer et, en désignant par P une constante arbitraire, il vient
oR(, dy de can Hi
Les formules (17) et (19) donnent ensuite, en désignant par A une nouvelle constante arbitraire, HAS ARE Re d'or e = g NT PU
de? HR A c? r
2 2 2 en dx? + dy (1 2 k ei
dt? cr
Introduisons les coordonnées polaires dans les équations (21) et (22); nous trouverons
do 2 k? *2 — > er (i+ = Avr,
dr? + r? d0? | de? 6
On en déduit
VE ranee Er ER 0 cr r? on est ainsi ramené aux quadratures. Égalons à zéro la quantité placée sous le radical; nous aurons
he ie nr = je 1 )+ rec
Cette équation a ses racines réelles lorsque c —; elle les aura encore si nous supposons c très grand. Représentons les deux racines par
Fame, Prence
nous aurons
k2 ne CE c?A 2 9} = ae Al aa) 2. m3 I I
On en tire 2 HART 2 (25) FÉES c? k? Ce 1+ —— CA
: se . I , r variera entre les limites a(1—e) et a(1+e). Si l’on pose; —p, l’équation (24) donne
M d0 di A dp V:+ tb (+2) VCp —p'}(p"—p) eat 6") ca On fait ë 4 k? k?
FE a à 2 1/4 2 pr p—p Sin p+p COS ?, (o] ati — 5 a) et il vient eu = 200 10 Les Vi+o Vi+o
0, désignant une constante arbitraire. On a ensuite
2p—=p"+p'+(p"—p')cos29,
