PE ARE

Au bout d’une révolution, 9 augmente de 7, et 0 de 2% V1 + 5. On à

dar (Vie —1)=ar(2 +...)

On peut donc prendre, au bout du temps ?,

ou bien

(27) OY a]

508 CHAPITRE XXVIIT.

On voit, par comparaison avec la formule (13), que, st c a la méme valeur que dans la loi de Weber, la loi de Riemann a pour effet de faire tourner le périhélie deux fois plus vite. Le périhélie de Mercure tournerait de 13”,30 en un siècle, avec la valeur de c trouvée par Weber, et de 28”,44 en supposant c égal à la vitesse de la lumière. Il suffirait de prendre c = 260000!", pour avoir, au bout d’un siècle, ds — 38”.

C'est M. Maurice Lévy qui a considéré d’abord (Comptes rendus, t. CX, p. 545) la loi de Riemann, et a calculé le às correspondant par la méthode de la variation des constantes arbitraires. Il à fait remarquer aussi que l’on peut faire une combinaison linéaire des valeurs de D qui correspondent aux lois de Weber et de Riemann, et prendre, en désignant par x une constante,

D =; on St Dao) Fnn

Pour x — 1, on a la loi de Weber, et celle de Riemann pour x — o. La valeur de w sera la somme de celles qui correspondent aux deux parties de D: on aura donc

x) ne — | né, c'a(i — e?)

2 4 £ 5 La valeur x — — = donnerait à& — 38” au bout d’un siècle.

228. Loi de Gauss ('). — Cette loi, à laquelle nous avons fait allusion plus haut, donne pour la force qui s'exerce entre deux particules en mouvement, et suivant leur distance,

an) (au 5%)»

u désignant la vitesse relative. J'ai montré (Comptes rendus, t. CX, p. 313) que, si on l’applique à l’Astronomie, il en résulte

c'est la même valeur qu'avec la loi de Riemann. Mais la loi de Gauss ne correspond pas à un potentiel, et l’on a fait des objections contre son introduction dans la Physique mathématique.

(1) Voir les Lecons sur la Théorie mathématique de l'électricité, par M. J. Bertrand, DeT83:

Dans ma dernière Communication, citée quelques lignes plus haut, j'avais rappelé mon travail de 1872 et donné la formule

relative à la loi de Weber. M. Harzer, directeur de l’observatoire de Gotha, qui avait intégré rigoureusement les équations du mouvement et avait obtenu

k2 nt,

ÙD == —— c'a(i1 — €?)

a fait remarquer que j'avais dû commettre une petite erreur en écrivant ae ; cu 1+ 5e; jaurais dû trouver 1 + e? + ..….. Il avait raison, et l'erreur provenait

., Q , de ce que j'avais remplacé la formule

dm Vi—e oR

di imac de par la suivante, qui est incorrecte quand on veut conserver les termes en e*,

do 1 .:.dR:

dt Trade de ?

il en résulte que j'aurais dû trouver

229. Loi de Clausius. — Clausius a proposé une loi qui assigne à la force appliquée à un élément M et provenant de l’action d’un élément M’ les composantes suivantes (!) :

dé 144" 2dnidn") 1046 dc 114 d {1 dé!

(5 dt | dt ut dt F)| er (; }

dé dt dt dt atat

À - JE! A Le £ dt!

ve fi-(SS ee +8) ke GG

de del: dman da 6 ( Hd ‘a +) ne

(1) Voir un Mémoire de Clausius, Sur la déduction d'un nouveau principe d'Électrodynamique [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3° série, t. IV, p. 116, formule (82)].

5ro CHAPITRE XXVIINI.

6, n, GC, Ë, n', C désignent les coordonnées des deux éléments, rapportées à des axes fixes, r leur distance,

= (£—E a+ (EE PY.

Appliquons cette loi à la détermination du mouvement d’une planète autour du Soleil; soient x, y, z les coordonnées relatives de la planète par rapport au Soleil, £’, n’, C’ les coordonnées absolues du Soleil. On aura

de ER NN +,

nous supposerons que le mouvement du Soleil est rectiligne et uniforme, et nous poserons

Il viendra

dx Fa

En modifiant # et négligeant o?, on peut écrire ainsi les équations différentielles du mouvement de la planète,

dy 1% de ck?a ÈS +1%)

t 8 Live a)

di l d rè

. dz ok?

Multiplions ces équations respectivement par 2dx, 2dy, 24dz, et ajoutons; il viendra dx? + dy? + dz? de dx

À 2 o K? dz «. de — + nur = (œdx + ydy —- zdz) ) (25 sr = si -1S)

dx dy dt Yu

ue («dx + Pdy + ydz) (2

La force perturbatrice est normale à l’orbite; on a ainsi l'intégrale des forces vives dx? + dy? + de?

de?

on voit que la quantité a est une constante absolue, qui n’est modifiée en rien par les termes additionnels de Clausius. Tous les autres éléments, même le nœud et l’inclinaison, ont des inégalités séculaires. Nous renverrons, pour leur calcul, à une brochure de M. Oppenheim : Zur Frage nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation, Vienne, 1895, qui contient de nombreux renseignements et documents bibliographiques sur les matières traitées dans ce Chapitre.

On pourra consulter avec fruit les Ouvrages suivants : Isewkraue, Das Räthsel von der Schwerkraft. Braunschweig, 1879 ;

Bock, Die Theorie der Gravitation von Isenkrahe in threr Anwendung auf die Anziehung und Bewegung der Himmelskôrper. Munich, 1891;

Tarr, Conférences sur quelques-uns des progres récents de la Physique (Traduction de M. Krouchkoll). Paris, Gauthier-Villars, 1887;

M. BriLouIN, Essai sur les lois d’élasticité d’un milieu capable de transmettre des actions en raison inverse du carré de la distance. (Annales de l’École Normale, 1885.) SRELIGER, Ueber das Newton’sche Gravitationsgeselz (Astron. Nachr., N° 3273). L'auteur examine la loi d’attraction représentée par SE», loi déjà considérée par Laplace (Mécanique céleste, Livre XVI), et qui tient compte de l'influence qu’une diminution de l’attraction par l'interposition des corps ou par l'absorption d’un milieu aurait sur les phénomènes célestes. On peut déterminer la très petite quantité À de manière à obtenir pour Mercure, et en un siècle, un déplacement du périhélie de 38”, dans le sens direct ; mais alors on aurait, pour

Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne, des déplacements correspondants de : ; : & : + see NE, Kk?à me

28”, 19”, 10” et 8”. Ici la fonction perturbatrice = (1 — E7) = — est dirigée

vers le Soleil, et l’on a

da k e— — — }cosw(r+ecosw);

dt 1 VP

si l'on ne s'occupe que des inégalités séculaires, on peut prendre

ds k ë CL GÀ = =" À, OGD = — — pl.

dt 2VP 2 Vi —e?

Re e——

CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. LE VERRIER ET NEWCOMB.

229. Confrontation de la loi de Newton avec les observations. — Quand il s’agit de la Lune, les observations des éclipses anciennes, rapportées par l’Almageste, et celles des Arabes sont précieuses pour la détermination de l’accélération séculaire. Mais, pour les planètes, les observations anciennes qui nous ont été transmises par Ptolémée ne sont d'aucun secours; elles ne sont pas assez précises, et tout ce que l’on peut faire, c’est de montrer que la théorie, fondée exelusivement sur les observations modernes, représente les observations anciennes dans les limites, très larges d’ailleurs, de leur précision.

On ne dispose donc que des observations méridiennes, c’est-à-dire d'environ un siècle et demi d'observations, en commençant à Bradley (on n’a pas intérêt à employer les observations antérieures, faites depuis la découverte des lunettes astronomiques; le recul que l’on gagnerait ainsi dans le temps ne serait pas suffisant pour compenser l’infériorité de la précision).

Le Verrier a entrepris (!}) et mené à bonne fin la construction des Tables des grosses planètes, Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Pour Neptune, la découverte est encore trop récente pour que l’accord entre les Tables et les observations puisse conduire à des conclusions positives sur la façon dont la loi de Newton représente les observations. Il en est presque de même d’'Uranus:; d’ailleurs, les perturbations de cette planète comprennent certains éléments de Neptune, qui ne sont peut-être pas encore assez bien connus.

Les petites planètes sont aussi dans le même cas; il n’en est d’ailleurs qu’un nombre très restreint dont la théorie complète ait été élaborée et confrontée avec

(1) Avaut Le Verrier, des Tables avaient été construites, pour les diverses planètes, par Delambre, Bouvard, Lindenau, Bessel, etc., en partant des formules de la Mécanique céleste.

les observations. Nous citerons cependant Vesta; les Tables construites par M. Leveau (Annales de l'Observatoire, Mémoires, t. XXI) représentent fidèlement Les observations faites durant quatre-vingt-sept années.

La loi de Newton a été vérifiée par le calcul des perturbations des comètes: elle a suffi à l’explication des mouvements observés ; toutefois, les observations de ces astres ne présentent pas la même précision que celles des planètes, et ce n’est peut-être pas de ce côté que l’on peut obtenir les preuves les plus fines de l'exactitude rigoureuse de la loi de la gravitation.

Nous avons donc à montrer comment les Tables de Le Verrier représentent les positions observées des planètes Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne.

I convient de donner quelques indications sur les inconnues qui figurent dans cet ensemble de théories. Il y a d’abord, pour chaque planète, six constantes correspondant aux six éléments du mouvement elliptique, puis la masse de cette planète. Quelques-unes des masses peuvent être déterminées directement par les observations de leurs satellites ; tel est le cas de Mars, de Jupiter, de Saturne, d’Uranus et de Neptune. Mais les masses de Mercure et de Vénus, qui n’ont pas de satellites, doivent être considérées comme des inconnues distinctes; il en est de même de la masse de la Terre, si l’on ne veut pas avoir recours à la valeur de la parallaxe du Soleil, qui peut être déterminée par d’autres procédés. Pour toutes les planètes, Le Verrier part des valeurs des masses qu’il pouvait supposer les plus précises. Soient m,, m,, my, ... ces masses (rapportées à celle du Soleil prise pour unité), en commençant par Mercure et suivant par Vénus, la Terre, etc. Il pose

M Mu), | m'=m,(1+v'),

Les calculs de perturbation sont faits avec les valeurs m,, m°, ...:; les coefficients des diverses inégalités sont des fonctions de v, y’, ..., que l’on pourra réduire au premier degré.

Il s’agit donc, en somme, de déterminer sept inconnues pour chaque planète. Cette détermination résultera d’un nombre considérable d'équations qui contiendront les diverses inconnues, toutes au premier degré.

Dans la théorie de Mercure figureront les inconnues +’, v”, v”, ...: dans celle de Vénus, v, v”, v”, ...; dans celle de la Terre, v, v’, v”, ... Il faudra que la discussion des observations de chaque planète conduise aux mêmes valeurs pour les inconnues v, v’, v”, ... Ainsi, en particulier, v’, ou la correction relative de la masse de Vénus, devra avoir la même valeur, qu'on la déduise des observations de Mercure ou de celles de la Terre. De même, les observations de Vénus et de Mars devront conduire à des valeurs égales pour la masse de la Terre. Enfin, si l’on détermine ainsi les masses des planètes à satellites, on devra

retrouver, dans la limite des erreurs des observations, les nombres auxquels T. — IV. 65

btA CHAPITRE XXIX.

conduit la détermination des mêmes masses à l’aide des mouvements observés pour les satellites.

Il importait tout d’abord d’établir sur des bases solides la théorie du mouvement de la Terre, car les coordonnées des autres planètes ne peuvent être déterminées que quand on connaît les positions occupées par la Terre aux moments où sont faites les observations des diverses planètes.

930. Théorie du mouvement de la Terre (1). — On dit aussi : Théorie du mouvement du Soleil, parce que ce sont les observations du Soleil qui permettent de déterminer les positions de la Terre. Il ne sera peut-être pas inutile de donner ici les principales inégalités du mouvement de la Terre, afin que l’on puisse se faire une idée du montant des perturbations. Reproduisons d’abord les inégalités séculaires de l’excentricité et du périhélie, ou plutôt les variations annuelles de ces éléments :

de"— — 0!,0895 — 0/,0029 v + 0/,0136 v'— 0",0182 v”— 0”",0816 v",

e"dæ" — + 0", 1930 — 0/,0046 v + 0”,0589 v' + 0",0189 v” + 0”, 1165 v".

Il faut multiplier ces expressions par le temps écoulé depuis 1850,0, et exprimé en années juliennes et fractions d’année. On a ainsi, pour une époque quelconque 1850 + 4, les petites quantités qu’il faudra ajouter aux constantes e” et &” convenablement déterminées (cette valeur e” est supposée exprimée en secondes ; elle sera employée ainsi dans le calcul de l'équation du centre, tandis qu’on devra employer e” sin 1” dans le calcul du rayon vecteur). Les formules du mouvement elliptique auront ensuite des coefficients de la forme & + &’£, où &' sera très petit. On a deux formules analogues pour calculer les variations séculaires du nœud et de l’inclinaison de l'orbite. Nous ne les reproduirons pas; nous nous contenterons d'écrire l’expression de l'obliquité moyenne © de l'écliptique à l’époque 1850 + 1 :

On aura l’obliquité vraie en ajoutant au second membre la nutation Q. Voici maintenant les principales inégalités périodiques de la longitude &” de (Ferre

Action de Vénus.

de" — 4,9 sin({’—{')+5",6 sin(2/— 21!) +o",7 sin (3/"— 31) 1,1 Sin(30/’—2l—5')+o",7 sin(4l"—3l'— æ')—3",4 sin(3/"—92l!—- >" 2",1 sin(4l"—3l'— x") —0",7 sin(5/’—3l!— 2w1) 1”,3 sin (13/"—8l') + 1/,4 cos(13/"—8l');

(1) Annales de l'Observatoire, 1. IV.

Action de Mars.

de — +2/",4 sin(2/"— 90") —0",7 sin(2/—l"— 5") ra 135 sin (2 QT LEE w") pa 0",5 sin (4 psp w")

+ 0/,6 sin (4{"—2l"— 25");

Action de Jupiter.

dp"— +7,92 sin (/V— 2") — 2/,7 sin (2/%— 27) — 1,5 sin(24%— 7%")

— 2",6 sin ({*—w") + 0”,6 sin (22— l"— 5") — 0,6 sin(32"— 2/7" 5").

l, 0", let l" sont les longitudes moyennes de Vénus, la Terre, Mars et Jupiter; nous n'avons relevé que les inégalités dont le coefficient est supérieur à 0”,5; dans ces conditions, les perturbations causées par Mercure, Saturne et Uranus devaient être laissées de côté.

Le Verrier n’a pas discuté moins de 8911 observations du Soleil, faites de 1750 à 1846 dans les Observatoires de Greenwich, Kôünigsberg et Paris. Cette discussion a présenté des difficultés sérieuses, provenant surtout de l’équation personnelle, variable d’un astronome à l’autre, dans les observations des bords du Soleil. La conclusion de cette discussion à montré que les observations étaient bien représentées par la théorie, à la condition d’astreindre les inconnues y, v’, ... à vérifier certaines relations. Nous nous arrêterons seulement à l’une de ces relations, la plus importante, et qui résulte des déterminations de l’obliquité de l’écliptique. Ces valeurs, quand on en défalque la nutation, sont reproduites dans la troisième colonne du Tableau suivant :

Obliquité moyenne A —

Années. N. observée. calculée. Résidus.

à 015 SMS 15 23.28.15,92 15,30 — 6.08 AS uit 20 » 27.57,66 57,00 + 0,66 (DÉnereTer 19 31112708, 09 55,63 — 0,58 Aer a 27.47,48 47,85 — 0,37 D LS és | 27.43,78 43,27 + 0,51 à Le: 1 FERA 12 » 72749050 35,95 — 0,39 18402350. 26 D 107-8890 33,66 + 0,22

N désigne le nombre de solstices employés. On peut relier les valeurs observées par la formule

où £ désigne le nombre d’années, après 1850,0. Les nombres de la quatrième colonne du Tableau ci-dessus désignent les valeurs de w, calculées par la for-

mule (2), pour chacune des époques considérées. On voit que les résidus sont assez faibles, et que leur allure ne présente rien de systématique.

Mais alors, en remplaçant dans la formule (1) w par sa valeur (2), et multipliant le résultat par 100, il vient, en laissant de côté vw" et vw", qui peuvent être supposés bien connus,

cette équation de condition est importante à cause de la grandeur du coefficient de y’; il paraît impossible que le terme tout connu soit en erreur de 1”.

231. Théorie de Mercure (!). — Le Verrier a trouvé, pour les inégalités séculaires des éléments e et &, les formules suivantes :

{ de — +o"”,o41gt + 0”,0282v'£ + o",o106v"t + ...,

L dm — + 5/,2714t + 2/, 8064 v' 4 + 0", 8361 v"6 + .

Nous ne reproduirons pas ici les inégalités séculaires du nœud et de l’inclinaison, non plus que les inégalités périodiques de la longitude héliocentrique de Mercure.

Les observations anciennes rapportées dans l’A/mageste ne peuvent pas être employées utilement. Heureusement on possède des observations des passages

de Mercure sur le disque du Soleil, et l’observation de chacun de ces phénomènes permet d’en déduire, avec une grande précision, la position de la planète.

Le premier qui ait été observé est celui du 7 novembre 1631. Les passages ont lieu, soit quand la planète passe par son nœud ascendant, au mois de novembre, ou au mois de mai, près du nœud descendant. Après discussion et rejet des observations défectueuses, Le Verrier a conservé neuf passages de novembre, s'étendant de 1677 à 1848, et cinq passages de mai, de 1753 à 1845. Il a joint à ce matériel 397 observations méridiennes faites à Paris de r8or à 1842.

Donnons quelques indications sur la manière d’utiliser les observations des contacts dans les passages. Au moment d’un contact, la distance angulaire des centres du Soleil et de Mercure est égale à la somme ou à la différence des demidiamètres apparents des deux astres, le tout étant vu du point où se trouve l'observateur. Soient £' et X la longitude et la latitude du centre de Mercure, O’ et A’ les mêmes coordonnées pour le centre du Soleil, les deux astres étant vus du lieu d'observation; soit enfin D la distance apparente de leurs centres. On aura la formule

cos D — sin)’ sin A’+ cos?’cos A’ cos(£/ — 0"),

(1) Annales de l'Observatoire, 1. Y.

CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. DT d’où

la latitude A’ du Soleil est extrêmement petite; est seulement petit. On peut écrire D? CAS nn

ae 2 2 2

et se borner à D? — (£'— (C1BE ra (A — A'}.

Cette formule simple permettra de calculer la distance apparente des centres pendant toute la durée du phénomène. Soit #, le moment de l'observation (supposée exacte) d’un contact; soient £, À, O et À les valeurs des coordonnées tirées des Tables pour l’époque £,, et transportées du centre de la Terre au lieu d'observation.

Ces valeurs ne sont pas exactes, mais elles nt besoin de corrections ot, où, 30 et SA; de même, si c désigne, par exemple, la différence des demi-diamètres apparents, la quantité c aura besoin de la correction dc.

Done, à l'instant 4,, on doit avoir

D?—(£ — 6 + 08 — 90} + (A — À + 01 — DA) —(c + dc}.

Soit maintenant #, le temps du contact, calculé avec les valeurs tabulaires inexactes; la valeur de £ à l'instant 4 sera égale à

On aura donc

ni l(L — 0 é d(i— A :

Rae ep Leonepe ete

En retranchant cette équation de la précédente, et négligeant de très petites quantités, 1l vient

cde —(£ — @)(È£ — 88) + (A — A) (0À — 0A)

. d(£ — 0) : . d(A— A) 2 Cm

(5) Soient maintenant r, # et s les coordonnées héliocentriques de Mercure, A sa distance au centre de la Terre, R la distance de la Terre au Soleil. On a

les formules A cosAcos£ = r coss cosv + R cosO,

(6) { AcosAsin£ = rcosssine +R sin0,

A sin À — r sin $ +R sinA.

Supposons que les quantités tabulaires r, », s, R et O aient besoin des corrections Ôr, à, ds, ÔR et 20, on pourra admettre que êe est la correction de la longitude dans l'orbite. En différentiant la dernière des équations (6) et négligeant les quantités très petites, on a d’abord

AËù — rès, D x ds.

Les deux premières équations donnent ensuite

— À cos}sin£Ô£ + cos£ d(A cos À) — — r cosssin rdv + cospd(r coss) — R sin900 + cos O0R, + À cosÀcos£ 08 + sin £ d(AcosÀ) — + rcosscos vde

+ sinpd(r coss) +R cos 809 + sinO0R:

d’où, par l'élimination de à (A cos),

A COSAÔL — r coss cos(rv — £ )dv +sin(s— {)0(rcoss) +R cos(® — £)90 + sin(8 — £)9R.

Or, les différences £ — @ et — £ sont voisines, la première de zéro, la seconde de 180°; on peut écrire simplement

ADR — — rdv + Rd@; d’où