COMTE È
K à Ne x) sin(/, — w;).
Dans les autres cas, lorsque #? est beaucoup plus petit que 6?, on peut appliquer les formules (35), en y remplaçant 2? — 6°? par — 6°; il est inutile de récrire les formules.
14. Compléments des équations (A). — Dans les seconds membres de ces équations, nous attribuerons aux arguments w et w les accroissements
du — 2 dp' — dp, du'— 2 dp! — dp’,
de, dp' et 0” étant déterminés par les équations (21) de façon à tenir compte des grandes inégalités des longitudes moyennes. Nous trouverons aisément, en remplaçant w’ par u + 180°, dans les seconds membres,
dp — — im(——) (Eu + F6M') sin(u— gt—fGB)—...,
DO ee D — £
ee —) [m(aur . EM) 24) molle ns (4/ — Em (FM + 2 G'M') ]sin(u — 56 — 6) +...,
2 1/4 gp" = 3 m'( ) (eur SprM) sin(a— ge 8) —...
an —n—g AM + M + CM’ (22'— re +) L'M + W/M'+c'M/
ou —
sin(u— gt—fB)+..., (37) DT
sin(u—gt—GB)+...,
où l’on a fait
3 [ 2 / a’ 12 PU %— -{[m'r°+4—mn2}F, aù a 3 a A V — 3m"'n°?F'+ - = {mnr+4 mn?) 2 4 a ; a! :
Sr 3 m6:
(38) ; db 15 - mn'?E,
= + 3mn?2G + (min? 4k—m'n"2)F", 2 a 3. a" S'=+- = (mnt mn )c.
Il faudra ensuite remplacer sin, cosu, sinu’ et cosu’ respectivement par
Sin & + COS u du, COS u — sin u du,
— sin uw — cosu du, — COSu + sin u du’.
34 CHAPITRE Il.
Les produits tels que cosu êu contiennent l’expression 3 Le IS cosusin(u— gt—BG)—— ;sin(gt + 8) + ;sin(2u — gt—6).
Nous conserverons les termes en gt + $; nous trouverons FERRER que les équations (A) deviennent
dh . 5 D TE —[ol4 + [o,114+[o,214"+ [o, 314
I &WM+VWwM'+cM" mnF- : É RIT cos(gt+ GB) +..
+Trolk+[r, 2]4"+ [r, 314"
7 mG(XM + 1W%M'+eM") cos(gt +6)
ea on à ©
+ jt (AUM + M'+ em") | n'
ANS à de MARNE EM nd n"G Ra eh. CR Hem) cos(gt+B),
| . ho) ut 10, o]k + [3, 1]£'+ T3, Di 0.
Nous n’avons pas écrit les équations en ee,
dt dt duiraient au même résultat, celui que nous allons obtenir. Pour intégrer les équations (A’), nous faisons comme précédemment
..., parce qu’elles nous con-
h=Msin(gt+B), h'—M'sin(gt+6), k—=Mcos(gt+8B), k'= M' cos(gt + 6),
En substituant et égalant, dans les deux membres de chaque équation, les coefficients de cos (gt + B), nous trouverons les équations
(Lo, es )m+ + (fo re Ra)Mr+ Lo, 31M°—o, M + (Le, Je ae) + (Lu, Fee nr Cr, 3]M"— 0, M” + (e, 0] — A — M + + (02, 1] — 2) 5 [2,2]M"—0,
M"+ [3,0] We Du M'+ [3, 2]M"—0,
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 35 où nous avons fait, pour abréger,
LIN —n—$, 4A0—=mnEFX, 4A,,:1 = m'nFb, &As2=mnEFe, 4A0=m'nr" Gi, HAsi—=m'n/ Gb", Hs <= niGN@r,
AAo=(nmG%+m'E X')n,
BA = (mGU + m'F'')n,
hA;s=(mGe + m'F'€C'})n".
L’équation en g que l’on déduirait des équations (39), par l'élimination de M, M’, M” et M”, serait d’un degré élevé; on la résoudra par des approximations successives qui seront faciles parce que les quantités complémentaires A, contiennent deux masses dans chacune de leurs parties, et parce que g diffère sensiblement de 27° — n, de sorte que le diviseur x? n’est pas trop petit.
15. Compléments de M. Souillart. — M. Souillart a apporté aux formules données par Laplace, pour représenter les longitudes des satellites, des compléments notables portant principalement sur les grandes inégalités en 2/ — 2/, l'— let !’— l'; ces corrections sont — 91”, + 186” et — 36” pour les trois premiers satellites, en laissant de côté d’autres corrections moins importantes; on voit donc qu’elles sont très sensibles et qu’il est indispensable d’y avoir égard.
Sans reprendre tous les calculs, nécessairement longs et délicats, de M. Souillart, je me propose d’en exposer les principaux résultats par une méthode qui me paraît assez simple, et qui apportera un contrôle utile dans une question importante. Disons d’abord que M. Souillart a considéré les termes des fonctions perturbatrices qui dépendent des arguments
&l'— 21 — 2%, hl—2l—5 —%w!, El —2l—2%!,
sn 25, Ge aie mt, Hal a et
que Laplace avait laissés de côté. Nous avons donné à la page 13 les expressions des fonctions perturbatrices R,, R,, R; qui contiennent les arguments précédents. Nous en déduisons immédiatement, par l'application des formules (4) du Chapitre précédent,
— = — djjje Sin(4l—2l— 25) + be! sin(4{l'—2l—5—5'),
ee — ajyecos(4l'—2l— 25) — b,,e cos(4l'—2l—5 —5') ;
—— = d&jjyeCOS(4l—ol— 5) —b,,e' cos(4l —2l— w'),
—— —=— djje Sin(4l'—2l—5) + be! sin(4{l'—2l— x),
on bien, en remplaçant 47 — 27 par 2u,
dh : < :
TH — doi(kcosau + hsin2u) — b,,(k'cos2u + k'sinau),
= — dj1(hcos2au — ksinau) — b,,,(k'cos2u — k'sinau). dh\ ai, AR UNdE
(14 n 1 ê Le e g On introduira, de même, dans nn et TH des termes en
sin sin e. BP AT 0); en CP Et)
on pourra remplacer 4/’— 2/, ou au’ par 2(u + 180°) — au. On trouvera ainsi que les équations (A) de la page 19 doivent être remplacées par les suivantes :
D Lolk+lo, 118 +[o,21#"+ Co, 314"
—=—-mn%cosu + &1(kcosau + hsinau) — b,,(k'cos2u + h'sinau),
dk [//4 “Met Le [h—To,1]k'—To,2]k"—To,3]%
=+> m'nE sinu+a,,(hcos2u— ksinau) — b,,(h'cos2u — k'sin2u), LE Ci [A +frolk+fi,21k"+[1,314" I ï “4. sn'(mG — m'F') cosu +(&,0+ @,2)(k'cos2u +h'sinau)
— b,,,(kcosau + hsinau) — b,,(k"cosau + }"sina2u),
dk!
= + [rh [r,o]h—[1,2]k"—[1,31%" I : :
=+> n'(mG— m'F) sinu + (@,9+ @,2) (h'cosau — k'sinau) — b,,(hkcos2u — ksin2u) — b;,,(k"cos2u — K”sin2u),
dt
— - mn"G'cosu + a; ,(k" cos2u + k'sinau) — b,,(k' cos2u + h'sinau),
AI = + h'—[2.o]h—T[2,1]k'—[2,31h”
——-mn'G'sinu+a(h"cosau— k"sinau)—b;,,(h'cos2u — k'sin2u),
//4 To ARE ENT EMÉTILEC
f : + Ë ; é d Voyons maintenant ce qu’il faut ajouter aux équations donnant TE ...
Nous trouverons sans peine
| s … De 7 OU [nest 21 20) 30e sintil 2150) ET + metal star | (6) m Va pe | DE ps Te
Cela posé, nous allons chercher une solution particulière des équations (a), sous la forme
k =D; sn2, k =D; cosu, Go) kb; sine, HR cosu, () h°—=bDismt, AR cos, h" — le) k"— O — 0. 0,
Cette forme est possible parce que l’on aura
kcos2u+ hsin2u— B,cosu,
hcos2u — ksin2u — — B, sinw,
de sorte qu’en substituant les expressions (40) dans les équations (a), on aura, dans tous les termes de chacune d’elles, sinz ou cosu en facteur. On trouvera,
en égalant à zéro ces coefficients de sinu et de cosu, et tenant compte de la du
aleur 272 — n de —valeu Dre
(r — an! +| 0 + &,1 )B2 — ([o,1] + Do,1) B, — [o,2] B° — : m'nF,
(n = D NE Br —+ di,0 F dj 3)B! FR ([r,0] Le D,0) B2
— ([1,2] + bi2)B; — ! n'(mG— m'F'),
“ia " ' I (nr == 2 n'+ | 2 | + a)B; — [2,0]B, — ([2,1] + bi) B, Pr 2 m'n"G.
Les valeurs de B,, B, et B°' différeront peu des suivantes
lB Hp m'nF 2 — = 2 inhantlolte, ; I n'(mG— m'F') (42) B, — 2 ; = ) n—on+| 1 |+a,s+a : I m'n"!G!
Bi:
; ! c n—an+ [2 J+as
les petites corrections à apporter aux valeurs (42) de B,, B, et B; se déduiront aisément des formules (41) par la méthode des approximations successives.
Arrivons maintenant au calcul du complément de p d’après l'équation (b ). Nous avons, d’après ce qui précède,
h—e sinw—B; sin(2/—/)+M sin(gt+6)+M,sin(git+6B:)+..., k —e cosw& —B;, cos(2l!—l)+M cos(gt+B)+..., h'— e' sinw'—B, sin(2/—!1)+M'sin(gt+B)+..., K'=— e'cosw'— B;, cos(2l!— 7) + M'cos(gt+B)+...….
On en déduit sans peine, en négligeant les carrés et Les produits des quantités M, M,, ... M’, .…..,
e Sin(2l’—7l—ù) —M sin(2l—l—gt—5)+...,
e"sin(2/ —l—w)—M'sin(2l/—1—gt—B)+..., esin(4{l'—2l—05%) —2B,Msin(2l—l—gt—565) +...,
ee" sin(4{l'—2l—ù—s')—(B,M'+B,M)sin(2/—/—gt—6B)+..., e" sin(4l'—2l—0où) —2B,M'sin(2l—!—gt—8)...,
et, en substituant dans l’équation (b), il viendra
dp , ; TE — 6n |@o1 B2M — b,,(B,M' + B,M)
RCE de F. m8 | nl #0).
mVa
pe (on — n —p} &
EE bo1(B:M'+B,M)
Po + ” mob] sin(a/— 126) —....
Les termes non écrits se rapportent aux racines g,, g,, g,, autres que g.
On trouvera de même Ap' etAp”; mais nous n’insisterons pas sur ce point qui ne présente plus de difficulté.
M. Souillart, à qui j'avais communiqué la solution précédente, m'a fait observer que la même méthode permettrait de tenir compte des termes des
fonctions perturbatrices qui ont pour arguments
On trouve, en effet, que, pour avoir égard à ces nouveaux termes, il faut com-
pléter les équations (a) comme il suit,
=. — Po ]4 +[o,r]#'+[o,2]#" =. [CCR hi) = ak hi) SOCKET R2)lcoS à — [6Ckh—2$(kh + hk')+2Gk'h']sin3u, . — [ii ]&+fr,o]k+[r,214" —+[3C'(48— ht) —a$t(k'k— RR) + G'(k— RM )] cos3u + [64h — a $(k R'+Rk") +aG'k'h'|sin3u
m Va ;
+ — { [É(Æ—R)—2aG(kk — hh)+35(k2—Rh?2)]cos3u m'V/a!
Ee [2$ 4h — 2G(kh'+hk)+6$k'h]sin3u }, dh"
7 [44 [2,014 +[2,1]4 NE — — m va’ { [F'CE — h72) RER 2G'(k!k"— hk'h") = 35'(k"2— h'?] COS 3 4 m' Va +[2$4k'h —2oG'(khk'+Rk)+65'k'h"]sin3u)}; les quantités €, #, .. sont des fonctions des masses et des grands axes, que
nous n’écrivons pas pour abréger.
En cherchant la solution particulière des équations (a) complétées ainsi,
sous la forme (40), on trouve que les quantités B,, B, et B, seront déterminées par les équations suivantes
on —on'+| 0 | + oi) B2 — ([o,1] + b51)B,— [0,2] Bi—=mnF — (3CB?—2$B,B, +6GB?),
Of== (n S DIE ss = Arai ([1,0] + b,,0) B2
(ol abe = n'(m'F'—mG)
+ Ne (FB2 — 2GB,B!, + 3$B2) + 3C'B? — 2$#/B,B! + GB”, m'V/a' ; : “ À HÉTRE 7 , f o=(n—an+[ 2 ]+a,)B;—[20]B:—([211+ 0:1)B;+-m'r"G AG. .
#03 Cd ae > ! P/ £/R’72 mr Var (3'B?— 20'B,B; +35'B>).
Résolvant la première de ces équations par rapport à B,, la seconde par rap-
4o CHAPITRE Il.
,, et posant
port à B,, la troisième par rapport à B
] m'nEF
