Transformation des formules. — La période du terme en

cos (SsÉ + Ge — bit),

qui figure dans les expressions (25) et (27) de dN,siny, et ôN, siny,, est d’environ 30 millions d'années. On ne peut avoir la prétention d’étendre la théorie des satellites de Jupiter à des époques aussi éloignées. Les formules trigonométriques qui donnent, dans @ et 9, les inégalités séculaires du nœud et de l’inclinaison de l'orbite de Jupiter, cesseraient d’être exactes au point de vue numérique parce que les racines s; dépendent des masses des planètes qui ne sont pas encore connues avec assez de précision; et aussi au point de vue analytique, parce que, dans ces conditions, il faudrait tenir compte des carrés des masses des planètes. Il faut se borner aux besoins de la pratique, pendant trois ou quatre siècles par exemple, et tenir compte du déplacement de l’orbite de Jupiter en ajoutant aux quantités p® et g° des corrections de la forme

to + tl+oaltt+...s

on pourra, en toute sécurité, laisser de côté les termes en #?. On aurait plus vite fait de déterminer directement les dp® et èg" sous la forme indiquée; mais je préfère me servir des calculs de M. Souillart, comme Je l’ai fait déjà (Bulletin astronomique, t. XI, p. 159).

Je pars des expressions (25),

— J0, > [cos(st + s — b,t) — cos(s — b,t) |.

Je développe le second membre suivant les puissances de z, en négligeant £*; il vient

dN, aN, sinys a | — rt D Sssins;

de même

dN, cosy, are Re D Sscosc.

Or, si l’on développe les expressions (16) suivant les puissances de #, on

trouve P—=pysina—= AI +..., Do, cos —=BE+...;

(5 A % Sc, B=— YSssins.

Il vient ainsi

IN, sin v. Ë d'N,cosy, r aN, Ste = NV, B 6, Me — TT; A £.

dt de D'où \ Pr ; Es l'y ON, siny, = - 3%, Bé; SN, cosy, — — = 3, À 2 2

Or, on à, en prenant encore le jour pour unité de temps,

[4 QU [/4 f O0 ,0999 O ,12 Je

JA M6, — 02,000 0022 — — b,, sensiblement SA + SAS , , HR S 365 ,29 365,29 à : À

où 1l faut encore multiplier %, par sin 1°. En faisant : — 365 250, ce qui correspond à dix siècles, on trouve seulement

ON, Sin y; — — 0,9.

Nous pouvons donc supposer (34) ON, Siny, — 0, ON, COS y, == o.

Les expressions (25) donnent ensuite, en développant suivant les puissances de st et conservant br sous les signes sinus et cosinus, parce que b, b,, b, et b, sont beaucoup plus grands que les s;,

| dN siny É : es À ee RIŸS:s siN(s—bt)—%t( Bcosbt + AÀsinbe), IN cos: a £ Fe ; >. nl = — Kt > Ss cos(s — bt) = Mt(— À cosbt + B sinbt),

d'où, en intégrant sans ajouter de constante,

: Dre :

ÔN Siny = ( Btsinbt — At cos bt +

Asinbt+ B ose)

b 2 : DIE

ON cos y — > Atsinbt—B£cosbt +

B sin bé — — b :

On en tire deux des équations suivantes, celles qui répondent à à — o,

ON; sin(brt + y) = Li ur |

(35) st 1 ) (101,45) 2, cos(bit + y) = TA — Ti Be | él Î /

On a, du reste, d’après les formules (34), (36) ON,sin(b,t+y,)—o, ON, Cos(b,t + y,) — 0.

On aura ensuite, en ayant égard aux relations (ro),

| 3 = sin(bt+y)+BY

4 3 -2 N, cos (b;t + y;) — i

Le D sin (by;é + y;)

p= Yo N; sin (bit + y;) +

| ee =an, cos ( b; Len AT DE ou

Or, avec les valeurs données par M. 7 ob pour ©, M, Mo, M3, 96, ( Bulletin astronomique, t. XI, p. 153), et de 5° (deuxième Partie, p. 158), on trouve

—- ——0,00519, OO oe01. . = 62,6, — —0,13061, . ee

JE 2 ’ 4 L ® Les valeurs de F sont calculées avec l’année pour unité de temps; on doit

donc prendre maintenant À — — 0”,09527; B— —0”,12949, et il en résulte

que, dans les formules (37), les termes complémentaires ont pour valeurs

Op = 0,1: 0g ——0,1, dp! — — 151,3: dq' — + 1,0, pr :8/,1- 00081: dg"—+ 6/”,0 —0",0034, 0p"— — 57",4 — o",o13t: 0q" — + 42",4 — o",o176, Op 072; CA HESENEUR CA

On voit que les termes en 4 sont négligeables pour les trois premiers satellites et pour l’équateur; ils sont sensibles, bien que faibles, pour le quatrième satellite. Enfin, les parties constantes sont appréciables pour le troisième et le quatrième; 11 ÿ aurait lieu d’en tenir compte dans la détermination des constantes N; etY;, en modifiant légèrement les valeurs de p°, p?, g', g". C’est à cela : que se borne l’effet direct du déplacement de l’orbite de Jupiter.

On aura ensuite

À = (g + dq) sin { — (p + dp) cos, A—ÀA—=%cosl—9 sin/=t(A cos! —Bsin/),

d’où Â AN SIN({ — bt— y) + t(0", 129 sinl — 0”,096 cos), AE IN SIN (l — bE— y) + t(0", 129 sin l!— 0”,096 cos /') HG ie SAS F3 cos /l!

(38) + 1,0 sin 7 + 1,3 cos l,

ï ST : : EE ; ; ; NN sin (lt — bt — y) + (0,126 sin —0/,004cos{! / 9 + 6”,0 sin {+ 8”,1 cos /”, A—= D N'sin(l" — bé — y) + t(0", 112 sin” — 0”,083 cos l” * ; | + 42,4 sin "+ 53", 4 cos l”.

24. Position de l’équateur de Jupiter. — On a, par les formules (10),

p'—= owsind=N'"sin(b,t+ y) E NYsin(bs +3) +... N"sin(b +7), g'——wcosY# —N? cos(b,t+ y.) + NY cos(bst + y3)+:..+Ncos(bt + y).

L'inspection des valeurs numériques des coefficients N*, ..., N°" montre que le premier, N° est au moins mille fois plus grand que la somme des valeurs absolues de tous les autres. On en déduit que b,t + +, est la partie moyenne de 180°— 4, carona

o Sin(b+b,t+y,)=NY sin(bst+y;—dit—y,) +...

+ N'sin(bt+y— b,t—yp,

— COS(b+b,t+y,)=NY HN cos(bst+ y;— dt —y,) +... + N'cos(bi+y—b,t— 7),

et l’on voit que cos(Ÿ + b,1 + Y,) ne peut jamais s’annuler, ce qui prouve que

: : : . T l'argument doit toujours rester compris entre + = Posons

lu N;

d— 180°— b,t— y, —E& Ne, 0,

et les formules précédentes donneront

© Siné = w[ 03 Sin(bst+ys—b,t—y,)+...+0, sin(bt+ y; — bit—7y,)],

w COSÉ — w,[1+ 0 cos(bit + ya — bit—y,) +... +6 cos(bit+ y — bit — y,)].

On n’a pas écrit les deux termes multipliés par 0 parce qu'ils sont négligeables. On en tire avec une précision suffisante

€ —0,sin(bst+y;—bit— y) +..., o = Gift + 03 Cos(bst+ys — bit—y,) +...].

Avec les valeurs numériques (SouiLarr, deuxième Partie, p. 169)

logô, — 4,16063, ; mi 000, il vient

Prod = b;t +9, —029",0sin(b, +; 0,t—),) — 98",3 sin( bat + y: — bit — y,) + 55”,1sin(bst+ ys— b,t— y), wù = @i—1",6 COS(bit + y; — bit— y) — 3",1 cos(bit+ y: —bit—y,) + 3",0 cos(bst + y3 — bit — y).

Ces formules montrent que le nœud de l’équateur de Jupiter sur le plan fixe est animé d’un mouvement uniforme de précession, dans le sens rétrograde, de 2",873 par an (la quantité dont croit l’arc b,4 en une année julienne); il ya en outre trois termes pour exprimer la nutation; les périodes de ces termes sont respectivement d'environ 30 ans, 140 ans et 520 ans. L’inclinaison de l'équateur n’a pas de terme séculaire, et les trois termes qui expriment la nutation sont faibles.

Calculons maintenant la position de l’équateur de Jupiter par rapport à l’orbite actuelle de cette planète. Soient w’ et Ÿ’ les quantités analogues à w et Ÿ.

En faisant

HeSinU —(p), — w'cosd"—(qg'), on aura Pen d’où w’ sinW'— wsind— A4,

— &"CosŸ' —— 6 cos — B4.

Il est facile d’en tirer w’ et Ÿ’, en faisant

o! = & + Aw, b'— 4 + Ad

il vient, en effet, w cos d AŸ + sind Aw —— A4,

o) sin d AU — cost Aw —— BB, a A — — &(A cosd + B sind), Aw — — t(A sind — B cosŸ).

Il en résulte

; A cosd, + B sind, (4)

| = 180 bit — y - nutation,

wo! = &w, + t(— A sind, + B cosy) + nutation.

Nous avons mis, dans les petits termes en #, au lieu de %, la valeur Vo, = — 134°45 qui répond à 1850,0. Avec les valeurs

A —— 07,097, B——0",12949, on trouve, en une année,

A cost, + B sind

B cosŸ, — A sind, —+0",0233,

— b, —=+ 2",873, d'où d'=—180— y, —o",100€ + nutation, 0) + 0”,02334+ nutation.

Le coefficient de #, qui était positif dans Ÿ, est négatif dans 4’. Donc le nœud de l'équateur de Jupiter sur l’orbite actuelle de la planète est animé d’un mouvement direct très faible, il est vrai. Laplace avait trouvé un mouvement rétrograde très petit aussi. C’est M. Souillart qui a donné le sens direct; il a montré que la conclusion de Laplace était fondée sur une valeur de b, légèrement incorrecte.

Les valeurs numériques des expressions (38) sont, d’après M. Souillart, en négligeant les petites corrections introduites en dernier lieu,

A =4/,8sin({— bt—y)+33",osin({—b;t—y;)+3",9sin({— b;t— y)

—1",4(l— bst— y3) +11037”,5 sin({—b,t— y:),

A! —1689",0 sin(l'— bit—y,)+102",3 sin(l'— bit — yà) + 197,9 Sin(l'— b3t — 3)

+ 10980”, 4 sin (l'— b,t— y;),

62 CHAPITRE II. — THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. A=—57",4sin(l— bit— y) +644",2 sin(l"— b,t V2) + 97,38 sin(l’— b;t— y) + 10749",7 sin(l"— b,t— y,), A=— 1,9 Sin(l"— bit — y;) —125!,3 sin(l" — b,t — V2) + 811”,4sin(l"— b,t— y)

+ 9999”, 4 sin(l"— b,t— y).

Remarque. — Les derniers termes de ces formules sont de beaucoup les plus importants; considérons les seuls pour un moment, et remarquons que nous pouvons, d’après l'expression (41) de ’, remplacer b,t + y, par 180°— |; observons encore que w’ — 3°4/7",3 diffère peu des coefficients des termes considérés, dans À, À’, ..., et nous aurons

À, =— po! sin(£ +), À, =— po sin(l!+ 4), A,=-— p'w'sin(2"+ V'), A, =—p"o"sin(l/"+ 4"),

en désignant par 4, x’, x” et w” des facteurs peu différents de 1. On en conclut

sin sin0 — pw'sind", Sin@ COS0 — — uw cos",

Q— 9 — 6" — 9" — 1800 — PR MS D -p0, to, pe.

Donc les plans des orbites des satellites couperaient l'orbite de Jupiter suivant la même droite que le plan de l'équateur de la planète. Ces plans, dont les orbites réelles s’éloignent peu, sont les plans fixes considérés par Laplace; les coefficients de sin({® —&,: — +,) sont peu différents de l’inclinaison w’, de sorte que les plans fixes font avec l’équateur de Jupiter Les angles 9 — w' :