Te \ 6 D
1e Fi FER) ct b T+Xx Re Free ; 1+%X I+Xx LA TiÀ
on en tire aisément
Cette valeur de x’ diffère très peu de x car, même pour le quatrième satellite, on a
29. Calcul de la durée d’une éclipse. — Soient z, la hauteur du satellite audessus de l'orbite de Jupiter au moment de sa conjonction, r sa distance au centre de Jupiter et », l’angle décrit par le satellite sur l'orbite de la planète, depuis le moment de la conjonction et en vertu de son mouvement synodique. Prenons ensuite pour axe des x le prolongement du rayon vecteur SJ, au moment
Fig. 1.
de la conjonction. Le mouvement du satellite, en projection sur le plan des xy, se fera sur la droite AB parallèle à Jy; on aura
JM = JM, — JA — 7, AJB — »;, AIM, = 5, BJM — 5,
AB—7y—JB sins, —y7?—7sins,, AT et l’équation (4) donnera a (nr —<)einv; rs (rx) d’où, en négligeant z° sin°’v,, (8) r? sin?p, = à? — r?5?(1 + x/ }?.
Mais on a aussi
En portant dans la formule (8), il vient à dSo r? sin, = — 7°(1+ x)? (si + 259 7— ce * sine),
d’où, en résolvant cette équation du second degré en sinv, et négligeant le
carré de 5, de, 0 dv, : RNCS ÎF œ ; œ ; (9) nn (rx sm +1 /|É + +#)s0| [EG +2) :
On aura ainsi, en prenant le signe +, l’arc », décrit par le satellite en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu’à l’émersion; en prenant le signe —, la valeur de sine, donnera, au signe près, l’angle décrit depuis la conjonction jusqu'à l'immersion.
Soit £ le temps que met le satellite à décrire l'angle »,. Posons
I dv, DE ve es nes He) CN n—n dt ;
: de Forte : ve JA Eve X sera égal à —> — 1, en négligeant la petite quantité + On pourra écrire ap-
proximativement
(PA (7 —— —=ir+X, bd (n—n;)t n—n;
Soit T la moyenne des temps que le satellite emploie à parcourir l'angle (0 4 (10) 6 BE a?
en appliquant la formule précédente, et remplaçant £, v, et X respectivement par T, B et zéro, on aura
(11) TP pu MS 4 Qi
RM B
Les formules (9), (10) et (11) donneront ensuite
= TU x) —G +» em +/[° ACER “)à||$— CEE
On a vu (Chapitre [) qu’en ayant égard aux inégalités les plus importantes,
on à r=a(i-ix),:
l'expression de z deviendra ainsi
Soit {’ la durée entière de l’éclipse; on aura
/ (2) P=aTG—Xx)4/|
d’où l’on conclura
Gé) ee es eu à CITE X)
Cette équation servira à déterminer les constantes arbitraires que renferme l'expression de s,, en choisissant les observations de ces éclipses dans lesquelles ces constantes ont le plus d'influence.
Nous mentionnerons ici, parmi les travaux relatifs à la figure de l'ombre de Jupiter, celui de M. Asaph Hall (4str. Nachr., n° 2156), et celui de M. Souillart (Astr. Nachr., n° 2169). Ce dernier Mémoire se rapporte au cas d’une planète dont l'orbite fait un angle notable avec le plan de l'équateur; l’effet de cette inclinaison, à peu près nul pour Jupiter, serait très sensible dans le cas de Saturne.
30. Indications sur le calcul numérique des constantes. — Ces constantes sont nombreuses dans la théorie des satellites de Jupiter; il y en a trente et une, savoir : six éléments elliptiques et la masse de chaque satellite; l’aplatissement
ñ ss ° y I . * de Jupiter, ou plutôt la quantité x — = Xi Cf les deux constantes qui fixent, à
un moment donné, la position de son équateur. Mais il convient de séparer la , # - LA L 17/1 I \ détermination des masses mn, m',m’,m" et de x — = ki Nous allons chercher à
éclairer un peu ce problème assez complexe.
La première chose à faire est le calcul des moyens mouvements n,n’,n2",n". Pour y arriver, on détermine d’abord les moyens mouvements synodiquesz — n,, n'—n,; On y parvient en considérant deux conjonctions très éloignées d’un satellite, observées aux époques £ et z’; on a, en désignant par # le nombre total des conjonctions,
(190 (n—n)(#—1t)—=2kr,
d'où #7 — n,. On n’observe pas l’instant même de chaque conjonction; mais on peut l'obtenir pour les deux derniers satellites, et quelquefois pour le second, en prenant la moyenne des instants d’une immersion et de l’émersion suivante,
Pour le premier, on peut tenir compte de la demi-durée de l’éclipse déterminée par une immersion ct une émersion observées dans le voisinage de l'opposition, donc à peu de distance.
Les inégalités du satellite sont négligées dans la formule (15), ou bien on en tient un compte approximatif, ou l’on s'arrange de manière qu’elles soient presque les mêmes. On aura donc ainsi, avec une grande exactitude, r — n,, d’où n.
Il faut ensuite déterminer a, a’, a” et a”, en prenant pour unité le rayon équatorial de Jupiter. On détermine &” exprimé en secondes d'arc, d’après l’élongalion du quatrième satellite, et le demi-diamètre apparent de Jupiter à la même époque, exprimé de la même façon; le quotient de ces deux nombres donne ce que nous appelons a”. On se sert de la troisième loi de Képler pour avoir a, a’ et a”. Mais il faut remarquer que la relation n°*a° — n"?a"? doit être remplacée par
n(a—0da)} = n"?(a"— da"),
da et da” désignant les parties constantes des demi grands axes, produites par les perturbations. On a, à fort peu près (Chap. If, p. 18),
x Pr : 2
0a ed da"! E— 77 >
et il en résulte aisément
NS I I I ‘I Di ee 1+ (x —-x — — — :
re 3 2 a as
Q . A LA , I on emploiera une expression, même assez grossièrement approchée de x—-2,,
et l’on obtiendra: ainsi a, a’ et a”. Il semble qu'il conviendrait de retrancher de n,n',... les coefficients de # dans les longitudes moyennes de l’époque €, &’, . mais la correction qui en résulterait serait bien faible.
a «a ; Fice Avec Les rapports => = +: on calcule les transcendantes D et leurs dérivées, première et seconde. On est à même de calculer les quantités F, G, F’, G’, ... et les coefficients de m7’, m”, ... dans (o, 1), (0,2),.... La formule (ro) du Chapitre II donnera les] Javec des valeurs provisoires de’, m",m", et qui seront bien suffisantes pour ce but. On peut doncregarder [ o ],{ 1 |,[ 2 | rs A Q 3 \ I
et | 3 | comme connus, sauf peut-être la correction à apporter à x — 5 ke Laplace calcule ensuite les perturbations indépendantes des excentricités (Chapitre IT); il y figure », m', m" et m" comme indéterminées. Pour éviter des nombres trop grands, il représente par » 10 000 fois le rapport de la masse
du premier satellite à la masse de Jupiter, "et de même pour les autres, de sorte que, d’après les résultats d’une théorie provisoire, rm, m', m” et m" sont des fractions comprises entre o, 1 et o,9 ou 1,0. Des fautes de calcul assez nombreuses ont été commises par Laplace dans cette partie; elles ont été corrigées par Bowditch, Airy et Bessel (vor les pages 499-501 du Tome IV des Œuvres complètes de Laplace, et le Tome IT des Astronomische Untersuchungen de Bessel, Bestimmung der Masse des Jupiters). Laplace pose ensuite
=. pm 9/01 704 Le
où {4 désigne une indéterminée voisine de r, et il se propose de déterminer d’abord les cinq inconnues m, m', m", met 1.
31. Voici les cinq données numériques qu’il emprunte à la discussion faite par Delambre de plusieurs milliers d’éclipses des satellites :
(1) 06 — CG sin(olt=:/)+;,,
(IT) 0p ——C'Sin(2/#—ol!) +..., dp"— + C'sin(l"— git—B;)+..., dp"= + C'sin(l"— g;t—6B;) +...,
(IV) = B'sin(l'—b,t—7y,) +...
