ÈS

M. Newcomb avait trouvé m — > parce que, par inadvertance, il avait employé le diviseur 24 au lieu de 72. C’est M. Hill qui a signalé cette méprise (Astron. Journal, n°176). Il convient de remarquer que ce n’est que plus tard que M. H. Struve a donné à très peu près la même valeur, comme on l’a vu dans le Chapitre précédent.

M. Newcomb cherche ensuite à avoir égard à la libration de V'; 1l trouve qu’en posant

TS —w5, —185°,0 + 192,5 (6 — 1880,0), on à ces inégalités

dÙ— — 2°,osinIl, dm! — + 10° sinIl, de — +o,o17 cosil;

mais, pour cette dernière partie, nous renvoyons le lecteur au Mémoire original.

47. Autre solution. — J'ai donné, après M. Newcomb (Bulletin astronom., te LE, pe 425), une solution qui me paraît encore présenter aujourd’hui quelque intérêt; je vais la rappeler brièvement.

Soient P et P’ deux corps, planètes ou satellites, circulant dans un même plan autour d’un corps central.

Si nous nous reportons au Chapitre XXII (t. 1), nous verrons que les inégalités indépendantes des excentricités sont données par les formules

(6) F4 1m Ÿ Escosi(l—l) À Pi mi Gsins(l—['),

(7) FF 1t+m Ÿ E;cosi({—(l) , #=l+mY Cisini({— l');

retr',vetv’, let", met m' désignent respectivement les rayons vecteurs, Les longitudes vraies, les longitudes moyennes et les rapports des masses à la masse du corps central. Soient encore n et n'les moyens mouvements; les coefficients E; et C; ont les expressions suivantes (t. I, p. 365 et 366)

n'? 0B() on 1» (a “dat a'B® ?

n?—Ë(n— nl} da n— n'

OBS on. a Bw).

da! D Tr

On aurait des expressions toutes semblables pour E; et C;. Les quantités B® sont définies par l’équation

(a+ a?—2aacosÀ) * — =

B(9) + à BY coscÀ.

En faisant

a ; D) LRO, a

dbt)

(1+ œ— 2ac08À) po+ Y boost}, ba

on peut écrire

(8) Ne

pour ë — 1, on doit remplacer b(* et b!° par b() — et b + —. Enfin,ilyalieu

de remarquer que les formules (6) et (7) ne donnent qu’une première approximation, car on a tenu compte seulement des premières puissances de 77 et 7".

Supposons actuellement que les moyens mouvements » et »’ offrent un rapport de commensurabilité très approchée, représenté par une fraction de la

+ I 1e, x ABS are forme {2 , ; étant un entier positif. On aura donc, en désignant par © un J J P

nombre très petit, (9) Jn—(j+i)n = on", On voit que le dénominateur #'°?—:?(n— n'}?, qui figure dans les for-

mules (8), sera très petit pour : — 7, et qu'il ne le sera que pour cette valeur dei. La valeur de E sera donc beaucoup plus grande que celles de E;.,,E;.,, .…,

et il en sera de même de C;. On pourra réduire sensiblement les formules (7) à

ha (ri= a'fi+mE;cos}(t—7)1;

TE es mC;sinr({—l');

mais 1l faut bien remarquer que cette réduction n’a réellement de sens que sis est une fraction très petite. Il y a plus; le petit dénominateur, qui rend C: sensible, ne figure que dans la première partie de l’expression (8) de C;. On peut donc se borner à

ce qui donne, en vertu de la seconde des relations (9),

C=—2(1+0)E;, ou, à fort peu près, C;—=—2E;.

Si donc on pose mE;—=e;,

les formules (10) pourront s’écrire

(11) r'— a'[i+e, cos(l —(')], pl—l'— 2e sinr(l— 71").

On a

d'où, en remplaçant -; par 1 + F et conservant seulement la partie prin-

cipale, ; m : ; à (12) ie RSR RES DT Cela étant, posons (13) D, —180°+ (7 +1) l'— 7j, et les formules (11) donneront (14) r'= a'[i—e, cos(l'— w!)], p'=l'+0e sin(l'— x).

Or ces deux équations représentent, aux petits termes près en e*, e, ..., un mouvement elliptique képlérien, dans lequel l’excentricité serait e’ et la longi-

tude du périhélie &,. Les équations (9) et (13) montrent que le périhélie est animé d’un mouvement uniforme très lent, dont la vitesse est égale à

— on —=(j+1)n —jn;

ce mouvement est rétrograde si o est positif.

De là cette conséquence : alors même que l’excentricité propre e; (laquelle est une constante absolue) serait nulle, 11 y aura une excentricité e, produite par les perturbations, et dont la valeur fournie par l'équation (12) pourra être

très sensible.

Les conditions précédentes sont réalisées pour Titan et Hypérion. On a

D HN = O0, 0010 18 8:en Un’ an,

Fo g — + 0,003043.

Donc, dans une première approximation, le mouvement d’Hypérion pourra être considéré comme un mouvement elliptique, le grand axe tournant umiformément dans le sens rétrograde de 18°,8 en un an.

Si L’ON SUPPOse =, —0,1, comme On à, Pour 7

DÊ + (2j +1) 00 — 6,544,

la formule (12) donnerait

c’est une valeur trop faible, tenant sans doute aux termes d’ordre supérieur qui ont été négligés.

Les considérations suivantes serviront à éclairer la solution qui vient d’être donnée. M. Hill, dans un Mémoire que nous allons analyser dans un moment, fait remarquer que la théorie de la Lune de Delaunay permet de suggérer la forme du développement final de 7’ et #’, quand on a effectué toute la série des approximations :

| Fed. L: e > A cos(iL +yg +j'e"] )

(19) | D + Y Bsin(iL+yg+Jj'g),

où L=— /’— ! désigne la différence des longitudes moyennes, get g’ les anomalies moyennes; les quantités L, /’, get 2’ sont de la forme « + Bt, où æet sont deux constantes absolues. Enfin, les coefficients À et B contiennent en

facteur ei, e, 7, e, et e, étant les excentricités propres des constantes abso-

lues. On peut concevoir que les conditions initiales aient été telles que e, — 0, e, = 0; alors, les formules (15) deviennent

na (i+ Y AcosiL), = l+ Ÿ BsiniL.

On a ainsi l’une des solutions périodiques de M. Poincaré; les formules (7) reproduisent les premières approximations pour les coefficients A et B.

Remarque. — L'intégrale de Jacobi (t. IT, p. 259), appliquée à Hypérion, en supposant l’orbite de Titan circulaire, donne

I va (1— e”?) en 2 cos (?/— 2] — Const.

7 ———— + mn 24 aVa Vribat=sar costv 1)

Quand M. Hall faisait de longues séries d'observations pour déduire de chacune les éléments a’ et e’, il est permis de croire que le coefficient de 77 dans l'équation précédente prenait presque toujours une même valeur moyenne: donc, dans ce cas, on devrait avoir

En fait, cette relation est sensiblement vérifiée par les valeurs de a’ et e’ données à la page 105.

48. Solution de M. Hill. — Le Mémoire de M. Hill, dont nous avons déjà parlé plus haut, est inséré dans l’Astronomucal Journal, n° 176. L'auteur suppose que, l’excentricité de Titan étant prise égale à zéro, le mouvement d’Hypérion est représenté par la solution périodique

(16) = a! ( + YA cosiL), nereEBaincl, LT

M. Hill admet les données

n'— 16°,9198837, g =192",982 = al(1—e)= 0,90, La durée T de la période synodique est

Le mouvement de Titan et le moyen mouvement d'Hypérion, dans le temps r — ont pour valeurs 718°,301609 —720° — 1°38 18,20; 538°,361609 — 360° + 17821'41",80.

Partons d’une opposition, à l’époque zéro, Hypérion étant à son périsaturne ; !

au bout du temps —> nous aurons une conjonction. On aura alors L=o , et, d’après l'expression (16) de 7",

dr!

dpi, L ÉMENRRON EE ie a'SiA siniL — 0.

Donc, Hypérion sera à son aposaturne distant du périsaturne précédent de 19821/41",80: tandis que, si le mouvement avait été purement elliptique, on aurait eu un déplacement angulaire de 180°. La différence

donnera donc l'effet des perturbations d'Hypérion par Titan sur la position de la ligne des apsides. Or on peut calculer cet effet par les formules de quadrature. C’est ce qu'a fait M. Hill, en supposant

m —= 0,0001, CIO

ns dw' : ; Re :

et calculant les valeurs numériques de —- de ; jour en ; jour, depuis oi,o jus-

qu'à 32i,0. Il a trouvé ainsi, par interpolation, pour l'intervalle 31, 81828, Sæ’ — — 2634”. Comme ce calcul néglige les puissances de »m supérieures à la première, on en conclut que, pour mettre d'accord les valeurs, observée et calculée, de &’, il faut prendre

n—DOrAReSE AXT

Dans un second caleul, M. Hill tient compte de toutes les puissances de la force perturbatrice. En supposant le rayon vecteur de l'opposition, a’(1 —e), bien connu, il cherche à déterminer la vitesse angulaire d'Hypérion à l’opposition et la masse de Titan, de manière qu’au bout du temps 31i,81828 il y ait opposition, et qu’en même temps Hypérion soit à son aposaturne. Il en résulte deux équations de condition pour déterminer les deux inconnues, ou plutôt les corrections de ces inconnues, lesquelles sont fournies par deux équa-

tions du premier degré. Ce nouveau calcul de quadrature donne m = >=

Enfin, M. Hill réduit en Table les inégalités de la solution périodique qu’il vient de calculer, en prenant pour argument le temps qui sépare l’époque choisie de l’époque de l’opposition voisine.

49. Mémoire de M. O. Stone. — Dans ce Mémoire, publié dans les Annals of Mathematics, t. HI, n° 6, l’auteur prend, comme première approximation, les expressions suivantes, qui découlent des formules (6) et (7) de la page 113, en faisant m — 0,0001,

= 1— 0,0004 cos({— 1!) —0,0014 cos 2(1— l')

(7) + 0,1000 COS3(/— l')+o,0006 cos4({— ['),

Sion té HN) astsinatl 1— 63 sin = Mana Ni,

et il se propose d'obtenir avec plus d’approximation la solution périodique dont nous avons parlé. Il pose

do!

RE à (18) r'=a (1+o), re

Lo, Cc080 Ed C0820 +.

(19) O—=1— 1, T= N, COS0 + n, COS20 +...;

dy, A, ds ce. Ris Ra, ..… SOnt des constantes. M. Ormond Stone emploie ensuite les équations différentielles suivantes (t. I, p. 462-463)

pl NP: f 12 = kVa'(i—v) + 12m | Sr dt,

(20) | dr! ; dv'? k2

=== v1"2 Ja + ya mR,

Lei lat R == ( a) cos (e (2 ) A5?

S — (& —— 3) sin(e — pv’),

A=r?+a— 2ar! cos(v — v');

k Va’ (1 — v) représente une constante d'intégration; on aurait y — o si l’orbite était circulaire.

La première des équations (20) donne, quand on a égard aux relations (18),

F2 db? kKVi— Lee (21) ——- —=I+20+T+ 0 + 207 + 07 — pare rs | S7' di. n'a? dt n'a? n'a

L'inspection des formules (17) ayant montré que l’on peut considérer :

4 comme de petites quantités du premier ordre, Ce Mi a, » du troisième ordre, De NS: 2 » du quatrième ordre,

M. O. Stone développe l’équation (21) en négligeant le cinquième, et la met sous la forme

Re 5 PE

mL D it it ant À cos0 +... + A, Cos86

KVI— km

ee à n «a

où À,,..., A, désignent des fonctions assez simples des coefficients a; et ni. On tire ensuite des équations (20)

LEA à MERE! ete 12 ui + ME [7 a'(i—v)| = £mP,

où l’on a fait

P=—R+ aka») [sr a+ em (fsræ) |

On en déduit, en vertu de (18),

do KR a NV Am !

de Atom à

On tire ensuite des expressions (19)

Éa 3 1»

een M0 ror)T Se (av), CDs +... BicesBe,

en désignant par B,, B,, ... des fonctions de v, a,, a,, ... faciles à former. On a d’ailleurs

—(n—n'} (a, cos0 + 4a, cos20 + ga; cos30 +.

Il s’agit maintenant d'obtenir les développements, suivant les sinus et cosinus des multiples de 6,

D tu feras sr ve

M. O. Stone pose

a 7 co 195 2 k . DR ST RE ET À, Es ; 0, Par ÿ P; cost0, RE fs dé = x S; cost 6; j

il n'introduit pas le terme $, qui ne ferait que modifier v dans l’équation (21). On effectuera ces développements par les quadratures mécaniques, en attribuant à 0 des valeurs équidistantes entre o° et 180°, et calculant les valeurs isolées de P et de Sr’ avec les valeurs (17) de r’ et de v’, adoptées pour la première approximation. On peut donc supposer que les expressions numériques des quantités P; et S; sont assez bien connues.

Les expressions (20) vont devenir maintenant

et La

I kW: — :

(22) 1+ à a? + agns + A1 Cos0 +...+ A, cos 80 — RE mY S;cosi0 — 0, n'a? i

| y — Tat(r— 29) — À at(2 — 39) + B cos0 +... + B, 00586

(23) “ | — (a, cos0 + 4a, cos20 + 9a;cos30 +...) — my P;cost0 —0;

on a fait, pour abréger, (n— n'a"

En égalant à zéro, dans les équations précédentes, les coefficients de 60800 COOL. 4 COS

on trouvera un ensemble de dix-huit équations propres à déterminer les inconnues DM 74, AS... D, D:,..-. On èn convlurd énsuité @,, d :..,n,, n,, .….. Deux de ces équations seront

1+ - ai + ayn3 —

3 PR bre ait ue. añ(2—3v)= mP,.

Avec la valeur o,r adoptée pour a,, on en déduira uw et y quand on aura la valeur de 77, qui sera trouvée en égalant à zéro les coefficients de cos30 dans l'équation (23). On pourra, après avoir ainsi obtenu les valeurs des inconnues, reprendre le calcul numérique des coefficients P; etS,, et procéder à une

nouvelle approximation T. — IV. 16

M. O. Stone trouve finalement

—1—0,0012C080 —0,0071 coS20 + 0,1000 cos 36

+ 0,002 cos40+0,0017 cos5 0 + 0,0003 cos66, po! —l'+ 96/sin9 + 66'sin20 — 682'sin30

— 15'sin40— 5'sin50— 1'sin60.

La valeur 5359 ? laquelle il arrive pour #2 est certainement beaucoup trop »)

forte. Mais, dans sa Note de l’Astronomical Journal citée plus haut, M. Hill dit que M. Stone lui a écrit qu'après avoir rectifié une faute de calcul il arrivait à peu près à la même masse que lui.

Il y aurait lieu, pensons-nous, de revenir sur certains points de la théorie précédente pour les éclaircir, surtout en ce qui concerne la détermination des inconnues. M. O. Stone a publié depuis un Mémoire sur le même sujet, mais purement analytique, et dont les résultats définitifs n’ont pas été mis en évidence.

Nous bornerons à ce qui précède ce que nous voulions dire de la théorie des perturbations d’Hypérion. C’est une question qui demande encore des compléments; il faudra en particulier arriver à tenir compte d’une façon satisfaisante de l’excentricité de Titan; mais les résultats déjà obtenus sont bien intéressants.

50. Détermination de la libration par les observations. — Depuis le Mémoire de M. Newcomb, M. H. Struve a publié (Astr. Nachr., n° 3060, 1891) un essai sur la détermination de la hbration de l’angle V’ en partant des observations. [1 a trouvé, d’après Les valeurs connues de /’, let &’, les nombres compris dans la deuxième colonne du Tableau ci-dessous :

Dates. V' (observé ). V' (calculé).

1887 mars 1888 mars { 1889 mars 1890 févr.

| 1991 Mars 2:

Il a cherché ensuite à représenter ces valeurs observées de V’ par la formule

(25) V'—180° + A sin = ({— to),

où À et #, sont des constantes d'intégration, comme dans la formule (5). La

THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 123 durée & de la période de la libration dépend de m2 et des coefficients de la fonction perturbatrice ; la valeur obtenue plus haut (p. 110)

2T aus

Gr ce

n'Va Om Vs 0m

a semblé sans doute à M. Struve émaner d’une théorie trop incomplète encore pour que l’on puisse l’employer. Aussi a-t-il considéré À, & et #, comme trois constantes à déterminer par l’ensemble des valeurs (24) de V’. Il a été ainsi conduit à prendre

Les valeurs de V' calculées par la formule (25) figurent dans la troisième colonne du Tableau (24), et les valeurs de O — C, placées dans la quatrième colonne, montrent que la représentation est satisfaisante.

Toutefois, M. H. Struve a jugé bon de reprendre les anciennes observations

de Lassell et celles de M. Hall. Il a adopté = — 0°, 562 au lieu de 0°, 56, A et, restant les mêmes. La formule

ee des lou *E î lui a donné

dl —gsino°,562(— 65),

et cette formule donne les valeurs suivantes de /’ — Ô/', ramenées à une même époque :

l'— il".

Las is is ets st 1852 nov. 27,0 293.38 AMOR Se cent 1882 janv. 2,0 201: 90 LA A LS PRE A 1884 Janv. 26,0 292.49

DA EVE NOEL ARTE TEE) VRP 1884 déc. 4,0 291.43 EP STRUyO RU. 1887 mars 15,0 292.72 DA Rte eee en ee 1888 Mars 21,0 294. 2

De Pr an sas 1889 mars 15,0 202. 10

RE Pr ET PRET 1890 févr. 26,0 292.57

D RS D AR 1891 mars 22,0 293.23

Cet accord est satisfaisant. Toutefois une libration de 36° doit être accompagnée de termes secondaires sensibles; enfin il faudrait tenir compte de l’excentricité de Titan.

51. Depuis le travail de M. Struve, une discussion très complète des observations de Washington a été faite par M. Eichelberger (Astronomical Journal, t. XI, n°% 259-260, 1892), sous l'inspiration de M. Newcomb.

Les observations dont il s’agit s'étendent de 1876 à 1800, et se rapportent à neuf oppositions; dans chaque opposition, il y a une vingtaine d'observations, réparties sur environ deux mois.

L'auteur a adopté des éléments provisoires empruntés à M. Newcomb; il y a neuf séries de ces éléments; dans chacune d’elles, les éléments sont supposés constants; on à tenu compte seulement du mouvement uniforme du périsaturne, variable d’ailleurs d’une série à l’autre, d’après la formule

P—P,—pt+s;sinIl.

On a formé le tableau des différences O — C pour les deux coordonnées ssinp et scosp; on a ensuite cherché à faire disparaitre ces différences en formant des équations de condition entre les corrections des éléments, et la résolution de ces équations, par la méthode des moindres carrés, a donné neuf séries de va-

leurs des éléments.

Les neuf valeurs de la longitude du périsaturne sont bien représentées par la formule

P — 80,46 — 18,4424 + 14°,40 sinIl — r°, 4o sin 211 +1,11 sin 31, II = 263°,54 + 18°,9424,

L désignant un nombre d'années, à partir de 1884,0. On a trouvé de même

e— 0,106 + 0,0258 cosIl + 0,0008 cos2ll,

et, pour la longitude moyenne de l’époque E,

PR do 360° E — 295°, 92 + 16°,92006£ + 9°,095 sin (18 507 + 630.5 e).

On remarquera que la libration de E est, à fort peu près, la même que celle de H. Struve, pour l’amplitude et la période. Enfin l’angle V a été trouvé égal à V = 180°,45 + 36°,20o sin (48,07 + ns ) — 140, 4o sinII + 1°, 40 sin211— 10,11 sin3IT.

Cette formule représente très bien les valeurs observées de V.

Il ne resterait plus qu’à obtenir par un calcul théorique les expressions précédentes. Nous remarquerons, en terminant, que les résidus auxquels arrive M. Eichelberger, tout en étant petits, sont légèrement systématiques; ils tiennent peut-être à l'existence d’inégalités à courtes périodes qui doivent se rencontrer, notamment dans a ete, comme le montre l'intégrale de Jacobi.

THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. — PERTURBATIONS DES SATELLITES INTÉRIEURS.