PERTURBATIONS DE MIMAS ET TÉTHYS, D'ENCELADE ET DE DIONÉ
52. Points de conjonction de deux satellites. — Nous commençons par des considérations préliminaires empruntées à M. Newcomb (Astronomical Papers, t. [, p. 8-10). Soient deux planètes ou deux satellites se mouvant dans le même plan. Comptons le temps à partir d’une conjonction, et les longitudes à partir de la ligne de conjonction correspondante.
Nous aurons E= ne, Unit:
les conjonctions ultérieures auront lieu pour
[= l'+2gr, q désignant un entier.
Soient 4, et /, les valeurs correspondantes de £ et de /; il viendra
2qT 1?
Le = 3qn
RES U Supposons les moyens mouvements commensurables
AR tet c’ entiers.
On trouvera, en représentant par T et T’ les durées des révolutions des deux satellites et faisant '—:— y,
mot nd ni ps ia GENRE AT ER) = ant 55
en donnant à g les valeurs o, 1,2,...,v — 1, on obtient y points de conjonction également espacés. Si l’on continuait, en prenant q = v, on retomberait sur le premier point de conjonction; le temps correspondant serait 2’T ou 2T”.
Si les moyens mouvements ne sont pas commensurables, nous pourrons rapporter les longitudes à un axe tournant avec la vitesse angulaire £; les moyens mouvements relatifs seront 2 — # et n° — #, et nous aurons à satisfaire à la condition
n—k 1 l'n'—in in — in
n'—k Le Fa |
Le mouvement relatif des points de conjonction sera nul. Donc, ex assignant aux y points de conjonction la vitesse constante k, les conjonctions des deux COTPS auront toujours lieu en ces v points.
Théoriquement, les nombres entiers z et z’ sont arbitraires; mais, pour retirer de la conception quelques avantages, on doit les prendre de façon que leur rap-
: ne ; n À ; à ï port soit aussi voisin que possible de —, et, ce qu’il y a de mieux à faire, c’est rt d'adopter les numérateurs et les dénominateurs des réduites successives de la > ü . . ° n . . ; . « £ ; fraction continue qui exprime =: Si l’on prenait des réduites d'ordre très élevé,
on aurait l’inconvénient d’avoir un grand nombre de points de conjonction, mais l’avantage que leur vitesse # serait très petite.
53. Théorème concernant les satellites de Saturne. — M. Newcomb, dans une Note de l’Astronomical Journal, t. VIII, n° 182, s’est demandé si, dans le système de Saturne, il existe un autre cas analogue à celui d'Hypérion; les résultats de la théorie de M. Newcomb (Chapitre précédent) peuvent s’énoncer en disant que l’aposaturne d'Hypérion est animé d’une libration, de part et d'autre du point moyen de conjonction. Nous allons reproduire ici la substance de la Note de M. Newcomb.
Considérons deux satellites M et M’, dont les moyens mouvements présentent
le ; as :
un rapport de commensurabilité approchée de la forme ——; soient R la fonc- | i
tion perturbatrice pour le satellite intérieur M, R’ celle qui correspond à M’. Nous aurons, en ayant égard à l’aplatissement de la planète centrale et aux termes les plus importants de R et de R,
+ ey cos[(t+1)l'—i—w|,
ne— Bmo e?
5!m m ne 3 = Êe ee4 % e y co8[(E +1) l'— il — 0]
B et 5 désignent des coefficients constants dépendant de l’aplatissement du
THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 127 corps central dont la masse est m,; y et y’ sont des fonctions de a et a’. Posons
( À —e sin, k —=e cosw,
FAI 'e"Sins, k'='el cos :
il en résultera
BG m. m' MES R = ET (A +R) + “1 (Æ cosV + sin V), Ne ur 7 MAY rue R'— : (RH RE) + 2 (k'cos V + h'sin V), 44 a’
en faisant, pour abréger, V=(i-+r)l—\ùl,
nr
Nous aurons, d’après les formules (19) (t. 1, p. 171), en remplaçant Pres
le facteur f omis dans R et R’,
dh __ na OR de na 0R dé … M dk de un dit dh':; n'a!:9R;! ER n'a! OR!
He mi dE. dis FT
ce qui devient, en tenant compte des expressions précédentes de R et de R',
di m' nr en Dnk + anycos\, dt mo dk LÉRREAREUE ER — = —/$nh — — anysinV, dt mo a a = — Es dh' B'n!# mine, V a’ T ar A CT EDS di mo } 4 dk! m plan = bn hs nr y sn, de mo
Faisant abstraction des variations de a, a’, n et n’ dans les seconds membres, on intégrera ces équations différentielles en y substituant les expressions
h —cSin(e+fBnt) + A sinV, h'= c'sin(e'+ GB'n'£) + A'sin V, K —ccos(e+Bnt) + À cos V, k'— c'cos(e'+ B'n'et) + A'cos V,
où c, c'e ete désignent quatre constantes arbitraires. Le résultat de la substitu-
tion détermine les paramètres À et À’, et l’on a finalement
sin V +csin (e+Gnt), n
Ven nn ({+i)n'—in
cos V + ccos (ent),
sin V +c'sin(e + G'n'£), , n
y! (i+i)n'—in RE CDS N AC Los (ee BORD), Mo 1—(G'v
Si Les constantes c et c’ sont nulles, les formules précédentes se simplifient, et, en tenant compte des relations (a), il vient
m' œ D (1e Du.
m y nd mo 1 — B'v!
om — V mn)
On a donc ce théorème :
Dans le cas de deux orbites primitivement circulaires, si le mouvement du point de conjonction, supposé unique, est fable en comparaison des mouvements des deux satellites, les perturbations provenant de l’un des deux corps engendreront dans l’autre une excentricité, et la ligne des apsides de chaque orbite passera toujours par le point de conjonclion.
C'est ce que nous avions démontré antérieurement (votr page 116), mais sans avoir égard à l’aplatissement de la planète, qui modifie les expressions (c) de e et e’ par l’introduction des termes en y et 'v.
On remarquera que Bv est le rapport des mouvements séculaires des périastres causés par l’aplatissement de la planète au mouvement du point de conjonction. Si donc ces deux mouvements sont presque égaux, l'expression (c) de e pourra devenir très grande, et si l’on afv > 1, on devra prendre
m' ay
CVS
, m—V + 180, Mo BY —1
c’est-à-dire que la direction du grand axe du satellite troublé changera brusquement de 180°.
Si les constantes c et c’, sans être nulles, sont très petites, le système présentera une libration de part et d’autre de l’état moyen considéré ci-dessus.
M. Newcomb trouve ensuite que les deux paires de satellites de Saturne, auxquelles s’applique le mieux la théorie précédente, sont Mimas et Téthys d’une part, mais surtout Encelade et Dioné d'autre part; cela résulte de l’inspection
THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 129 à ; m' ay 4 des valeurs numériques de la quantité y = 27, qui est la plus grande dans Mo 1 — GP
ce dernier cas. Pour en faire le calcul, on remplace —— par l'estimation photo-
métrique de Pickering, dont on a déjà parlé (voir page 101). On a, dans ce cas,
r =—12029,%3106, 27— 203°,0609, En à Val 1; © = + 0°,3383. En prenant l’année pour unité de temps, désignant par V, la valeur de V à l’époque o, et remplaçant B par sa valeur, M. Newcomb trouve, pour Encelade,
en partant des formules (b),
e Sins — 0,024 sin(V,+123°,64€) + c sin(e + 160°,ot),
e COS® — 0,024 cos(V,+ 123°,64) + c cos(e + 160°.ot L2 ,
où £ désigne un nombre d'années; la valeur de e?, déduite des formules précé-
dentes, dépend de l’argument EN 36e.
qui effectue une révolution en dix ans environ; c’est seulement au bout de cette période d'observations que l’on pourra déterminer avec quelque précision les constantes cet €.
Nous allons voir comment M. H. Struve a réussi à mettre ce fait en évidence par ses observations; dans le cas de Mimas et Téthys, il a découvert une libration très curieuse d’un autre genre; c’est ce dont nous allons parler maintenant.
54. Perturbations de Mimas et de Téthys. — Le Mémoire de M. H. Struve est inséré dans les Astron. Nachr., t. CXXV, n° 2983. Les observations faites par cet astronome avec la grande lunette de Poulkovo lui ont montré que l’orbite de Mimas fait, avec l'équateur de Saturne, un angle très appréciable de 1°26/, et que le périsaturne est animé d’un mouvement direct de 2710 par an: dans les mêmes conditions, le nœud est affecté d’un mouvement rétrograde de — 365° + 5°, On a les données suivantes :
Phias: roi ñ = 381°,991, mouvement annuel du nœud, A0 — — 305: RÉCÉYS: ei 44 n'= 190°,698, » ) A0'—= — 990,
On en conclut
an! — n——0°,595 en un jour, A0 + A9'— — 433,
— A1; "en un an, 4n'—2n— A9 — AG'— + 3,
: 1 PR n' On voit donc que le rapport ; de commensurabilité du rapport 7 est assez ap- JS à à 17
proché, et que le coefficient du temps dans l’argument 4kl—2l—0—0
est à très peu près égal à zéro.
Considérons la fonction perturbatrice de Mimas, en tant qu’elle provient de l’action de Téthys, et supposons-y nulles les excentricités. Nous aurons
A Va?+ a— 2(xx'+ yy'+ 25")
Soient y et y’ les inclinaisons des orbites sur le plan de l’équateur de Saturne ; nous aurons (t. I, p. 315), en négligeant y* et y”,
=— COS d + - y? sinOsin({— 6), — — cos l'+ =: y? cos0' sin(l'— 0"),
