LI I

Donc, pour les aplatissements —— et —, et aussi pour les aplatissements 179 228

intermédiaires, les orbites des deux satellites s’écarteront toujours très peu de l'équateur de Mars.

64. Des satellites d’'Uranus. — D’après les mesures et les calculs de M. Newcomb, les quatre satellites, Ariel, Umbriel, Titania et Obéron, se meuvent à très peu près dans un même plan, incliné de 98° sur le plan de l’écliptique. Les différences entre les quatre inclinaisons prises deux à deux sont de l'ordre des erreurs des observations.

Si la force perturbatrice du Soleil, qui est d’ailleurs très petite, agissait seule, les pôles des quatre orbites décriraient des petits cercles autour du pôle de l’orbite d'Uranus, et la probabilité que ces pôles soient très voisins à un moment donné, comme ils le sont maintenant, serait, sinon nulle, du moins extrémement faible. Il existe donc une autre force perturbatrice : c’est celle qui

provient du renflement équatorial d'Uranus. Si l’équateur de cette planète a coincidé à un moment avec les plans des orbites, la coïncidence aura toujours lieu d’une façon approchée; il suffit pour cela d’un aplatissement assez faible.

L’excentricité de l'orbite du premier satellite, la plus petite des quatre, est égale à 0,020. Il est possible qu’en déterminant à plusieurs reprises la position du périurane, on lui découvre un déplacement qui pourra faire apprécier la grandeur de l’aplatissement.

Les mesures directes faites sur le disque d'Uranus pour déterminer cet aplatissement n'ont pas donné encore de résultats bien concluants : tandis que

M. Schiaparelli obtient M. Seeliger a trouvé l’aplatissement insensible. La

durée de la rotation de la planète est absolument inconnue.

M. Perrotin (VrerteHahrsschrift der astronomischen Gesellschaft, t. XXIV) à observé, en 1889, les bandes d'Uranus, et trouvé qu’elles font un petit angle avec le plan de l'orbite des satellites, et le plus grand diamètre de la planète lui a semblé être aussi dans ce plan. Ce serait une confirmation des prévisions de la théorie, en admettant que la direction des bandes coïncide avec celle de l'équateur. MM. Henry avaient trouvé antérieurement (Bulletin astronomique, t. I, p. 238) que les bandes font un angle d'environ 40° avec le plan de l’orbite des satellites. Mais ces observations sont délicates et demandent à être reprises dans de bonnes conditions et avec de puissants instruments.

Il est bon de remarquer que les mouvements des satellites d'Uranus et de Neptune sont rétrogrades, tandis qu’ils sont directs pour les autres planètes. La même opposition existe très vraisemblablement pour les mouvements de rotation. Cela est en désaccord avec l'hypothèse cosmogonique de Laplace. M. Faye a cherché à expliquer cette singularité dans son Livre Sur l’origine du Monde.

QT be

65. Soit f(x) une fonction dont on sait calculer numériquement la valeur pour une valeur donnée de x. On peut se proposer de trouver un polynôme entier en x, qui, pour æ compris entre deux limites déterminées x’ et x”, prenne des valeurs peu différentes de celles de /(x), de manière que le polynôme puisse remplacer la fonction entre les limites x’ et x”, avec une grande approximation au point de vue des calculs numériques.

Soient a, b, c, d,e, ...,k, l des nombres déterminés, choisis entre x’ et x”; À, B,..., L les valeurs numériques correspondantes de /(x); on vérifie immédiatement que le polynôme

à(æ—b)(æ—c)...(æ—0D (æ—a)(x—c)...(xæ—1) Dee 0 a D Ua) ol DO)

(æ—a)(x—b)...(æ—k) RUE Ad (À)

prendra, pour æ = a, b, ..., l, les mêmes valeurs que /(æ). On comprend que si le nombre des quantités a, b, ..., l'est suffisant, et si l’allure de la fonction /(x) est régulière entre x’ et x”, le polynôme ne s’écartera que très peu de la fonction pour les autres valeurs de x comprises entre x’ et x”, et pourra remplacer cette fonction avec une grande approximation. La formule (1), dans laquelle on remplace X par /(x), est la formule d’interpolation de Lagrange. Gauss (‘) a donné une transformation très intéressante de la formule (1),

(1) Poir dans les OEuvres de Gauss, t. TI, le beau Mémoire Theoria interpolationis methodo nova tractata, et dans le Tome I des Mémoires astronomiques d’Encke le Mémoire Ueber Interpolation, dans lequel Encke reproduit des leçons faites par Gauss en 1812.

d’où il a tiré des conséquences importantes. Soient X,,X,, X,,..., ce que donne la formule (1), en prenant une, deux, trois, ... valeurs de x; on aura

(ep )(E 0) (x—a)(x—0c) (x—a)(x—b) RE D € Ne 0.

(æ—b)(æ—c)(x —d) Leg) Er 0) (6 ©) (a—b)(a—c)(a—d) (b—a)(b—c)(b — d) (æ—a)(x —b)(x—d) (æ—a)(æ—b)(x —0c) Re à ed D de 0)

On en conclut aisément

Xi À, Xi Xi= (a — 0) ( . À Ë }

DID) b—a

Le À B ü ie ne es à HP CENT a |

ÂÀ B Du ou D TT be bEA

C D Ce bee a

Xi Xi (&—a)(æ—b)(e—0)|

d’où, en ajoutant,

où l’on a posé

er) PEL:

1 B C GTR RAGE NU TA t UE Â B GG ou ed) (bal 0) A) C D bete der made)

1e; 0e dl

Ces quantités [a, b], [a, b,c], ... restent les mêmes quand on échange entre elles deux des lettres a, b, c, ..., et les deux quantités correspondantes dans la série À, B, C, .... Les formules (3) conduisent, en outre, sans peine aux relations

BA Lei Ent __[b,c]—T[a,b] (4) Fa, 6, €] == Hoi ° | “100,64 |-=leb, el Éab, cdi en =)

On pourra former le Tableau suivant :

On peut prendre les lettres dans un autre ordre, et opérer, par exemple, la

substitution DIS D LCR T ac ve D Lo :

La formule (2) donnera alors

X—=D+(xz—d)[c, d|+(x — d)(æ—c)[c,d,e] (6) | (rar c)(r = e)lb;c, de] +(æ—d)(æ—c)(xz—e)(x—b)[b,c,d,e, f] | Tir = d)(e—=c)(a—-e)(e—06)(x =#)la}b; ed, C2 ADE LE SRE

Si l’on jette les yeux sur le Tableau (5), on voit que les quantités [c, d|, Le; d,el; fe; dre bre, den hlarb cd. e, f |, ...y figurent toutes sur deux lignes horizontales, menées, l’une par la lettre D, l'autre à égale distance des lettres C et D.

En opérant de même la substitution