A SE RE M

d’où, par raison de symétrie,

. L—nA. — 0 sin sin

. b—a . b—c 3 sin sin +. sin 2 5)

1+2COS({— b)+2cos2(t— b)+...+92cosn(t — b) DIE 4

La formule (14) pourra ainsi s’écrire

(22 +1)T=A+B+...+L+(Acosa + B cosb +...+Lcos/)2 cost + (Asina +Bsinb +...+Lsinl)o2sint + (A cos2a + B cos2b +...+Lcos2/)2cos2t + (A sin2a +B sin2b +...+Lsin2/)2 sin2t+....

Les coefficients «; et 6; de la formule (13) auront done pour valeurs

œ; = ——— (A cosia + B cosib +...+ Lcosil), DEEE (16) B;— —— (A sinia + Bsinco+...+ Lsini); DIV a reste arbitraire, et les quantités b, c, ..., / en résultent comme on l’a dit. Si la fonction donnée T de #, supposée périodique et de période 27, se développe en une série illimitée

4 A L (l = — Aj + A COSÉ +... + à, COSNÉ +...

+ B, sint+...+6,sinnt +...

et si la série converge assez rapidement, on pourra la limiter à ses 27 + 1 premiers termes; les formules (16) donneront des valeurs approchées de «,, Lis... Un, 6, SE Bb.

68. Les formules précédentes ne sont guère employées malgré leur simplicité. On préfère partager la cireonférence en un nombre pair d’arcs égaux, parce qu’alors la reproduction périodique des sinus et cosinus donne lieu à des simplifications. Gauss rattache ce cas au précédent; mais il sera plus simple de le traiter directement.

Considérons le développement périodique de la fonction T.

d > (œ; cos it + B;sinct).

Donnons à 4 les 2n valeurs

comprises dans la formule

à 2T É= Ph où == .

on’

les valeurs correspondantes de la fonction T seront représentées parT,,T,, T,.,, et désignées d’une manière générale par T,.

Soit 7 un nombre entier positif; la formule (17) donnera

Teosé— D La cos(i+ j)4 + a cos(i— j)e + Bsin(i + jt + Bisin(i—j) 15 L sinjt = > D Le: Sin(i + j)e— œ sin(é —j}é — Bi cos(é-Lj)t + Bcos(é— je]

Donnons à £ les 27 valeurs indiquées ci-dessus, et faisons les sommes des va-

leurs de T cos/t et de T sin jt; il y aura des simplifications importantes tenant au

choix des valeurs de £, en vertu de ce théorème bien connu Si, dans les expressions

D cos: P, DE Siné — 01

on attribue à les valeurs

ST AT , EE ne) Ce)

si ue LI] m m on aura Q — o, quelle que soit la quantité réelle À; il en sera de même de P,

excepté le cas où À sera un multiple #m de m; auquel cas on aura P = m. On trouvera donc tout d’abord

= + 1 | D ({+j)arr (i— jar > Æ Cos/7 h= = Ù X; | COS ea Ts dr | Cos DE PRE , node PET rs (PTE (ê— jar ÿ T:sinyrh — à > B; é > cos - ÿ Cd

Les deux » qui figurent dans les seconds membres n'auront des valeurs

= différentes de o que si l’on attribue à tE 7 des valeurs de la forme 247, où 4 désigne un nombre entier, et si l’on suppose

[TE +2kn, T. — IV.

on aura

1 /J)onr > COS ESP J) NON, 2n ue

Il en résultera donc

DT COS JR — n > Lokn—j + Hspnts)s r k

> l'Snyrh=n D (— Barr; + Berne); rm k

d’où, en attribuant à # les valeurs o, 1, 2, ... et remarquant que l’on doit supposer «&.;—f;—0o, parce qu'il n'y à pas d'indices négatifs dans la formule (17),

> T,cosjrh = n(a@; + Gon ÿ + Contj Fe..))

> T,sinjrh= n(B; — Bin; + Banrj —...).

Si la série (17) converge rapidement, de façon que l’on puisse négliger &».; devant a; et B,,.; devant B;, les relations (18) donneront