I : I te (19) En e DT, cos/rh, Êr= . > T,sin/rA
Ces formules souffrent deux cas d'exception :
1° Si — 0, on trouve, en se reportant directement à la formule (151), > T,=2n(@o + on +...) r
2° Si j—n, alors jrh = #r. La seconde des formules (18) est identiquement satisfaite, et la première donne
J C2 = — > (RSA r
Il n’est pas étonnant que l’on ne puisse pas déterminer B,, car il n’y a que
2n données, To, T;, sATReNE) A ?
et l’on ne peut déterminer que les 22 inconnues
os y as 5 Anis Ans
Bi; Be» ……..s Étee
On peut faire diverses combinaisons de nature à simplifier les calculs : ainsi, la première des formules (18) peut s’écrire
r=n—1 r=2n—1 LT Û .
Ra à T, cosyrh + DT cos/rh, r=0 PU
ou bien, en changeant, dans le second D: r en na +7, et remarquant que
jh = T}, r=n—î1 r=n—1
na; — > T cosyrh EC 1)/ > T,,,cos/rh, = 0 F0
no = DIT, +(—1)/ Tor] cosjrh.
Changeons, dans cette formule, j en n — y, et supposons » pair (ou la circonférence divisée en 4n' — 2n parties égales); 7 et n — 7 seront de même parité, et nous trouverons
CET bi [T,+(—1)T,,,](—:1)"cos;rh,
et, par suite,
(22) Aime ei — > [T,+(—1)T,,,][(1E(—n']cosrA.
On trouve de même
r=n—îi
(23) RAGE) de CT, + (— 1) Tor] Æ(—1)"-1]sinrA.
Ïl convient de distinguer deux cas, selon que j est pair ou impair, et 1l sera
commode d'adopter la notation suivante
| PET —(@ntEa),
«a de — .
(24) On trouve alors aisément
1° 7 pair; 27 divisions, = —; n
= (æ + An-j) = (0, n)+(2,n+2)cos2h + (4,n +4)cos4hph+...+(n—2,2n—32)cos(n —2)jh, = (ay — An-j) = (1, R +1) cosjh + (3,n+3)cos3/h+...+(n—1,2n—1)cos(nr —:)7h, de (8; E6:-;) = (17 + 1) sin/A + (3,n +3) sin3Jh+...+(n—1,2n—1)sin(r —:1),h,
nm
- (B;—B,-;) —(2, nn +2)sin2/h
+ (4,n +4) sin4jh+...+(n—2,2n—2)sin(r —2)jh; n (to + An) —(0,n) +(2,n+2)+...+(n—2,2n— 02),
n (oo — n) =(1,n+I)+(3,n+3)+...+(n—1, 27 —1).
Les deux dernières de ces formules ont été conclues des relations
et ap):
| 29 M PAINTE 10272. AIMISIODS, D ae 7 O 2) — (a; +an-;) = | - | + cos2// ai 4 ke d 5) (2) (= ) /
l d . NEED JL, Je , COS4JR +... ee RS | cos(n —2)Jh,
un z)cos 3/2 es (HT) cos (2 1), ho D
sin jh +(— sin no. JR,
l Torre . .
nn ra :) Sin 4h +...+ ( +) sin(n —2)jh.
Enfin, rappelons que la fonction périodique limitée que l’on obtient ainsi sera
Co + A COSÉ + Go COSQ2É H...+ Any COS(72 — 1)é + à, COS An + 6, sint+B sin2t+...+f6,-, sin(nr —:1)4.
Si, par exemple, nous faisons n —6, les formules (a) et (b) nous donneront
6(to+ a) — (0,6) + (2,8) + (4,10),
3(a +o)— (0,6) —[(2,8) + (4,10)] sin 30°, 3(42 — a) ——(3,9) +[(1,7) +(5,11)] sin3o°, 3(B2 + Bi) — For) (5, 1#)1cos30, 3(B2 — B,) — [(2,8) — (4,10)]cos 30», 3(4 +4) (à) +|($) — (5) sin 30°, 3(% — as) — | (2) — (&)] cos 30°, 3(B1 +Bs) = (:) -- (5) cr ()| sin 30°, 3(B1 —65:) — L( +(+)| cos 30°,
I 4 5 = QG Cr On trouvera dans le Tome I des Annales de l'Observatoire de Paris, p. 137- 147, et dans l’Ouvrage de Hansen, Auseinandersetzung, etc., premier Mémoire,
p- 159-164, les formules réduites, analogues aux précédentes, qui se rapportent à la division de la circonférence en 16, 24 ou 32 parties égales.
69. Il peut se faire que, après avoir effectué le calcul d’interpolation en donnant à » une certaine valeur, on reconnaisse la nécessité d’avoir recours à une valeur plus considérable. Bans ce cas, les calculs déjà effectués sont inutiles et il faut recommencer la détermination numérique des fonctions numériques T,, qui avait pu exiger beaucoup de temps. On doit à Le Verrier un procédé ingénieux pour éviter cet inconvénient (vour les Annales de l'Observatoire, t. T, p. 384). Soit « un arc qui ne soit pas un diviseur exact de la circonférence; on calcule les valeurs T,, T,, T,, ..., T,, de la fonction, qui correspondent aux valeurs o, t, 27, ..., 2n7 de 4, et-l’on a les 2n + 1 équations
A0 + a +de +. + an =T,, Co -F 1 COST M COS2T EF... xx COSANT,
+ 6, sinr + B, sinor +...+6, sinnt—T;, &o + &1 COS 2T + QG COSAT +...+ an COS2AT
+ 8, sin2r+B,sin4r+...+6,sinant=T,,
Qo + À COS2AT + Oo COS NT +...+ On COSN2AT + B, sin2nt+fG, sin4nr +...+6,sinn2ant—T,,.
Ces équations sont du premier degré relativement aux 272 + 1 inconnues
os is QE) ns
