FM ON A C

Le Verrier a développé (Loc. ct.) les expressions algébriques des inconnues et il a appliqué ensuite les formules obtenues à la détermination de la grande inégalité causée par Jupiter dans le mouvement de Pallas; il a adopté r = /42° 14. La méthode d’interpolation ainsi présentée satisfait à la condition suivante : ayant déjà exécuté les calculs nécessaires pour la détermination de 2n—+ 1 coefficients, si l’on vient à reconnaitre qu’on doit en conserver 2m autres, on peut le faire sans avoir, en somme, exécuté plus de calculs que si l’on avait eu égard, dès l’origine du travail, aux 22 + 2m + 1 coefficients.

Le lecteur pourra consulter aussi sur ce sujet un Mémoire de M. Hoüel, Sur le développement des fonctions en séries périodiques au moyen de l'interpolation (Annales de l'Observatoire de Paris, t. VIT), et un Mémoire d'Encke : Ueber die Entwickelung einer Funktion in eine periodische Reihe nach Herrn Le Verrier's Vorschlag (t. TII des Mémoires astronomiques d'Encke).

70. Développement d’une fonction périodique de deux variables. — Une pareille fonction pourra s’écrire

Co + Ci COS É + to COS2É +...

+ B: siné + 8, Sin2t +.. .,

les coefficients «; et 6; seront eux-mêmes des fonctions périodiques de #’,

{ œ = af + af cost'+ af cos2t" +...

(25) ee ( + b® sine + DD sin2 +...

B; ayant aussi un développement de même forme. Supposons que l'on donne à 4

et L’ les seize valeurs

T 27 cr

En prenant d’abord # —o, et donnant à { ses seize valeurs numériques, on pourra calculer, par les formules données plus haut, les valeurs numériques de

Bs Bas

On recommencera l’ensemble de ces opérations pour chacune des quinze

autres valeurs de /’. Avec les seize valeurs numériques de «,, par exemple, on pourra conclure, par les mêmes formules, les seize premiers coefficients de son développement suivant les sinus et cosinus des multiples de #’. On procédera de même pour «,,B,, .... On voit que le nombre des valeurs de la fonction T

qu’il faudra calculer sera ici de 16 — 256.

71. Le Verrier a eu souvent recours à l’interpolation; l’application la plus importante qu’il en a faite se rapporte à la théorie de Saturne ( Annales de l'Observatotre, t. XI, Addition au Chapitre XXI). Après avoir développé tres complètement les expressions analytiques des éléments elliptiques de Saturne, il remarque que, dans le calcul des inégalités du second ordre par rapport aux masses, « le nombre des petits termes, sensibles jusqu’à o”,or, devient, pour ainsi dire, indéfini; et, comme dans certains cas ils s’ajoutent les uns aux autres, loin de se détruire, on éprouve, après un pareil travail, bien qu'il ait été vérifié directement à plusieurs reprises et comparé terme à terme avec les formules analogues de Jupiter, on éprouve le besoin de s’assurer de l’exactitude des résultats par une voie différente de la première ».

Le Verrier se sert des développements algébriques obtenus comme d’une première approximation, dejà très précise, pour passer à des formules où rien ne puisse être omis. Soient

le demi-grand axe, l’excentricité, la longitude moyenne, celle de l’époque, celle du périhélie de l’orbite de Jupiter; les mêmes lettres accentuées se rapporteront à Saturne; soit encore

e= fr dé, p= fn' dr.

Les quantités è/, de, eds, da, fournies par la théorie, sont de la forme

Ssin(5l/—21)+Ccos(5l!— 21)+ S'sin(10l!— 41) + C'cos(r0o l'— 41) (26) +S,sinl/+8S, sin2l +...+5S,sin5l + Co + G cos CG cos2l' +... CG cos5l':

les quantités S, C, S', C’ sont développées suivant les puissances du temps (jusqu’à 4° inclusivement), mais varient très lentement. Les quantités C; ets, sont développées suivant les sinus et cosinus des multiples de 6 — 7 — /; les coefficients de ces sinus ou cosinus sont eux-mêmes développés suivant les puissances de z.

Le Verrier part des expressions des dérivées

de!

(27) Fr

exprimées au moyen des coordonnées de Jupiter et de Saturne; ce sont au fond nos équations (A) (t. 1, p. 433). Il se propose d'obtenir, pour 1850, l’ensemble des perturbations de’, do’, e'dæ’ et de’, en réunissant les termes des divers ordres. Pour cela, il lui faut calculer les seconds membres des dérivées (27), non plus avec les valeurs elliptiques des éléments et des coordonnées elliptiques de Jupiter et de Saturne, mais bien avec ces valeurs augmentées des perturbations ( 26), déjà calculées par la voie analytique. Il divise la circontférence en 32 parties égales à © —11°15", et attribue à la longitude moyenne elliptique de Jupiter les 32 valeurs 0, », 29, ..…., 310, et à la longitude moyenne de Saturne les 16 valeurs 0, 29, 40, ..., 30. On considère les 12 résultats obtenus par les combinaisons de ces diverses positions des planètes. On donne dans chaque cas les valeurs numériques de /, de, eûx et da, déduites des expressions (26), en y supposant t— 0, ce qui correspond à 1850; on en conclut de et logr, d’où le rayon vecteur r et la longitude vraie v. On calcule de même les 512 valeurs individuelles pour chacune des quantités

031101, loger, pi re

le calcul exact des perturbations des latitudes n’est pas nécessaire ie.

A l’aide des données précédentes, on a pu former les 512 valeurs numériques de 1 de! ON CEE Ge CA hi ni di hat.

et la méthode de l’interpolation a permis d'obtenir, pour ces mêmes dérivées, des développements périodiques procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de € et de /’. On a intégré ensuite par les formules

(3 CSP ne 0

Ne cos(Jé + 7Jj'l') + const., Che OT et EP

fe cos(JC+j'l') dt —— sin(yé+J'l') + const.,

fs sin(yé+J'l') dt —

qui supposent € et $ constants. On a donc ainsi les développements définitifs cherchés pour 0e -40p 06, 16 0D

Les coefficients numériques des divers sinus et cosinus sont censés avoir les valeurs qui conviennent à 1850; quant aux termes en £, 4? et #* qui doivent compléter chacun d’eux, Le Verrier les a empruntés à ses recherches théoriques antérieures.

Il nous semble que si l’on voulait être entièrement rigoureux, il faudrait dé" "de" dt” df pour les 512 positions considérées, mais encore pour chacune des cinq époques 1850, .. 2850, 3350, 3850. On aurait ainsi les développements périodiques

de':d°p de > de ?

d’un cosinus, ce qui permettrait de développer ce coefficient suivant les puissances de £. On aurait ensuite à effectuer les intégrations par les formules

fr Sinardt=— cosat | 2 ae 0) no

a? ct

HO POP huit l]

déterminer les valeurs numériques des dérivées >» +, non seulement

- avec valeurs différentes pour chaque coefficient d’un sinus et

(l cn

+sinae| a

[ro cos ardt sin ϣ fe = PD ANe ed

ti ie +22 +.)

D 4 a* LA

Les termes principaux sont

neo (0,4

D ERE COS, et = sinxl; (0,4

les termes de correction pourront être très sensibles lorsque « sera petit, c’està-dire quand il s’agira d’une inégalité à longue période.

Le Verrier a trouvé, en général, un accord très satisfaisant entre les valeurs théoriques des inégalités et celles qu'il en a déduites par l’interpolation. Cependant, il y a des différences sensibles pour la grande inégalité; en outre, l’interpolation a donné dans ..

la variation séculaire des moyens mouvements, quand on pousse l’approximation jusqu'aux troisièmes puissances des masses perturbatrices. Le Verrier à généralement adopté, dans la construction des Tables de Saturne, les nombres fournis par l’interpolation, sauf pour la grande inégalité, dont il a pris les coefficients déterminés par la théorie analytique.

Il convient d'observer que, dans l'application des développements (26) au

N calcul de de, Gp, ..., de’, do, ..., on a omis les inégalités périodiques provenant

un petit terme constant, qui soulève la question de

* d’Uranus et de Neptune. Il peut se faire que, la convergence laissant un peu à désirer, les termes o&,-;, B,;, ... dans les formules (18) ne soient pas entièrement négligeables.

On sait que la théorie de Le Verrier ne représente pas, avec toute l'exactitude possible, les observations de Saturne; il y a dans la longitude des écarts de S. à 6” en plus ou en moins. Il semble cependant que l'interpolation appliquée à une théorie presque parfaite devrait tout faire marcher; aussi pensons-nous que c’est en revovant et complétant le travail de l’interpolation qu'on arrivera à résoudre la difficulté, et c’est pour cela que nous nous sommes permis de faire déjà quelques remarques.

Depuis que ces lignes ont été écrites, M. Gaillot, qui fut longtemps le collaborateur dévoué de Le Verrier, a publié (dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. CXX, p. 26) une Note importante résumant ses recherches et ses calculs faits depuis plus de dix ans, en vue d'améliorer la représentation des observations par les Tables. M. Gaillot a d’abord répété tous les calculs de Le Verrier pour les époques 2350 et 2850, ce qui comble le desideratum formulé à la page précédente. Il à remarqué ensuite que, dans les formules telles que

de! n'a'Vr—e" OR

m Fo

dt e de

il faut donner à »/ sa valeur variable fournie par le calcul analytique; or, c’est ce que n'avait pas fait Le Verrier. D’autres petites fautes ont été relevées dans le détail des

dp'

de

extrêmement petite, on peut dire nulle. Les coefficients de la grande inégalité reçoivent des corrections très sensibles; M. Gaillot adopte définitivement les valeurs ainsi corrigées. Finalement, toutes les observations de Saturne, de 1750 à 1890, sont représentées avec une précision satisfaisante, la plus grande erreur ne dépassant pas 3”. M. Gaillot, pour donner plus de portée à ses conclusions, reprend en ce moment ses calculs d’interpolation, en donnant à la longitude moyenne elliptique de Saturne 32 valeurs, au

lieu de 16.

calculs. Le résultat final est très satisfaisant; ainsi, la valeur numérique de est