DE OR
Le, f nEONC—-2) (nt) (nt--n) er
| à, f DE DU DR 4 I=(h— 323): à
Pare) rer)
On obtient la formule de Cotes en prenant successivement pour » les valeurs 1.2, 3, ... Pour donner une idée des calculs à effectuer, nous allons supposer
n — 3; nous trouverons
(3€—1)(34 — nn 3t(3t—2)(3t — 5) — = 3t(3t—1) (34 — 53) A
0 (gt —18F+i1t — 2) + 2 (36#—5P2+ 0t) — 2 (38—4t2+0t)
A + + (g—gé+ at);
en multipliant par dt, et intégrant entre les limites o et 7, il vient
Dans son beau Mémoire : Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (OEuvres, t. I), Gauss a donné les expressions fournies par la
formule de Cotes pour les valeurs 1, 2, ..., 10 de x; nous nous bornons à reproduire les six premières :
=: h: Ia) ( +), “ebe (ia) (+ +2), n = 3; 1e (ie) (gt + + =) tire à (re ” = 2 7%) ns ER 8) (2% . . En ns F — is ot Les valeurs de x, pour lesquelles il faut calculer les valeurs A,, A,, ... de y,
sont d’ailleurs fournies par la série (4), en y donnant à n les valeurs 1, 2, 3,....
73. Si la fonction y était un polynome entier en æ, et par suite en #, de degré n, on aurait y = Ÿ, et la quadrature
I=(h—g)(aAo+ tAi+...+ a A,)
hk représenterait exactement la valeur de l’intégrale f y dx. Si le développement
de y, suivant les puissances de £, He Ed QE CT
ne s'arrête pas au terme en £{*, la correction € de la quadrature dépendra des coefficients K+1), K(*+2?),..., et sera de la forme
E — K (2+1) k(n+1) he K (2+2) ÆCr+2) pp
Gauss donne, pour r — 1,2, ..., 10, les valeurs des coefficients numériques 41), 4049, quand il s’agit de la formule de Cotes. II résout ensuite une fort belle question : au lieu de calculer les valeurs numériques A,, ..., À, de la fonction pour des valeurs équidistantes de x, il suppose qu'on l'ait fait pour des valeurs quelconques à,, a,, ..., a,. La quadrature et sa correction conserveront la même forme que ci-dessus. Gauss cherche à déterminer à,, ..., a, de manière à annuler les coefficients
HO), ka), Ke k(2n+1),
de sorte qu'avec x + 1 valeurs particulières de la fonction la précision soit la même que si l’on avait employé deux fois plus de valeurs dans la méthode de Cotes. Il trouve que a,, ..., a, doivent être les racines de l’équation que l’on obtient en égalant à zéro le polynôme X,,, de Legendre. Gauss a donné (/oc.cu.) avec 16 décimales les valeurs numériques des racines des équations X, — 0, X,=0, …, X, = 0, celles des coefficients &,, «,,..., «,, et enfin la valeur du premier coefficient 42*+1 qui ne s’annule pas. M. Radau [Etude sur les formules d’approximation qui servent à calculer la valeur numérique d’une intégrale définie (Journal de Mathématiques, 3° Sér., t. VI)] a étendu les calculs précédents Jusqu'à X,.
La méthode de Gauss, malgré sa supériorité théorique, n’est pas employée en Astronomie, parce qu’on vérifie mieux les calculs lorsque la variable indépendante reçoit des valeurs équidistantes, et aussi parce que ce n’est pas généralement une valeur numérique isolée, mais une série de valeurs d’une intégrale qu'il s’agit de calculer. Les formules très simples employées par les astronomes fournissent cette série de valeurs sans demander beaucoup plus de calculs que s’il n’y en avait qu’une.
74. Soit proposé de trouver la valeur numérique de l'intégrale X — ff) dx
entre deux limites données; nous faisons (5) T—=a+n6,
et nous supposons que les deux limites de l’intégrale rentrent dans l'expression précédente, en y faisant » — o et =1. On aura donc
= f (a+ nu)an; ” 0
: désigne un nombre entier, et l’on peut écrire
(6) 22 fro+noan+ [+ f.
Nous allons calculer la première de ces intégrales. Nous supposerons qu’on a formé le Tableau des valeurs de f(x) pour les valeurs comprises dans l’expression (5), quand on attribue à » les valeurs 1, 2, 3, ..., et aussi le Tableau des différences successives, comme à la page 155 du Chapitre X.
Nous remplacerons en outre (a+ nw), pour les valeurs de x comprises entre o et 1, par celle que donne l’une des formules d’interpolalion, par exemple la formule (11) du Chapitre précédent. Il faudra développer les coefficients des différences suivant les puissances de », et intégrer entre les limites o et 1. Le
résultat sera une fonction linéaire et homogène des quantités
fa), pas?) f°(a), P(a+2) er) au lieu desquelles on peut introduire
f(a), : fa bo), . f'(a), :fila+o), fit) Pita+o),
en ayant égard aux relations
ne en eee em et die Le a NE CUS eee ee lee os ce
Si l'on tient compte aussi de la symétrie du résultat par rapport aux deux
limites o et 1, on pourra écrire, en désignant par A,, A,,... des coefficients numériques,
y À J Ja + no) dr = AL fa) + fta + 0)] + A [ft + fra + 0]
TR
+ A, [f*(a) + fa +ow)] +...
Pour déterminer les coefficients, on peut choisir une fonction particulière f(a) = E*. On trouve aisément, pour les expressions des différences,
f! (a+ iu +?) Er (Er),
7” (a+) = EF(ES 7), - (a+ io +) ee DES ) 22
a (a ie “e) — Et(Ecv ne 1}, F3 (2 AE EE =) — Pres pi
RE SE ne TE CRE MCE DT PA AC SE GPO ET GT rt M it a in ee CU A Re
On a d’ailleurs ï Ezv [rt + nw) dn —E—— + const.
jRRE" f fta +R) dn—=Et — —.
DE
En substituant dans la formule (7), il vient
Eo — 1 à | res — A, (1 2 ES) se A, (E-0 + 1) (FA Re A, (Er pee) tte — 1)*+. es a) Ev— 1: perds (ès) (8) po = =As+ A, (EE ?) +4, (EE 3) D.
Il convient de poser
uw
0 Ur + u?,
w.= 2log(u + Vi+u), et la formule (8) devient
a VIT +4? log(u +Vi+u?)
À otA.u ot Au +...
Il suffit donc de développer le premier membre suivant les puissances de w pour obtenir les coefficients A,, À,,.... Or,ona
VER Blog (u+Vrr)=u(i+ qu Te
u 1 a Vituwlog(u+Vi+e) 2 6
On peut donc obtenir sur le champ les coefficients À, A,,...:; on trouve ainsi
es | force no) dn = Etr( + ta o)]— 2% La) + Pa + 0)] 10 { 0 2 +7 We tata).
if 4O
On aura u ; À ,..., en augmentant tous les arguments de w, 2&,...; après 1 2
quoi, en portant les expressions obtenues dans la formule (6), on trouvera eo (a)+f (a+w)+...+/f (ae Der EU (a +iw)
pe — [ça + prça + o) ++ Pa + do 0 + à (a + in) | +: ft) + fa +) ++ fie + io —u) + À fa + iv))]
Cette formule résout le problème, mais elle peut être simplifiée; si l’on ajoute en effet toutes les équations qui définissent /? (a), f(a uw), ..., fa + to) au moyen des quantités /", la plupart de ces dernières disparaissent, et il reste Fa) fa +o)+... + f(a+io — )
| tar = (ei +$)n(e 3)
on a d’ailleurs
af) + Pa + io) = Effet?) 1 («— 2)
SRE : (A) me : (A) e] 1 UE (a+iv+?) a (a+ co JL
et, en retranchant de la formule (12), on obtient
| fa) +f(a+o)+...+ fa + io — &) + = f(a + io)
fra [ (a+ io + ) + Sais —?) sn (2+2) fi («—2)]
= J'(a+io)—/f'(a).
On aura de même
GE) ES) + a+ 0)+.. ft (a + io — 0) + À fa + ra) fa + io) —fi(@).
Enfin, on peut ajouter au Tableau des différences une colonne à gauche de
. . G celle des /, celle des ‘/'; on se donnera arbitrairement IC — =) on calculera les quantités suivantes par les formules
et, si l’on pose, d’une manière générale,
\ : : 6) À œ\ | ï En EN 0 PORC ETS AN are (4 Et7Q 5 a LS 2 2 À
on trouvera
(15) = (a) ASE NÉE (aie w)E = (a+ ia) =1f (a + tw) —1f(a).
Les formules (xx), (13), (14) et (15) donneront ensuite
X J 11 MILAN MTL PR Era) Pa To):
le f(a + in) fi(a+ io) + HE fa + ia)
(6) l — 1f(a) + Pa) 2e (a) + #4 /
Cette formule, qui est indépendante de la quantité arbitraire (a — 2) se
simplifiera si l’on pose la condition Poe A TD et
en ayant égard aux relations
[y (e Se 2) + (a — 2) | — (0), y
(7) 2 à (a+?) a?) = (4)s il vient, quand on élimine les tf(a)et (a + 2) entre les trois dernières équa-
eu A 0e pie En à
après quoi la formule (16) donne
a+ivw
ii f(æ)dz = | Lfa du) — 5 Ja Hé) + ne fu) — es / (a+ in) +. 4
On aura done ainsi la valeur de l'intégrale quand Îles deux limites sont deux termes de la progression arithmétique des arguments. Les quantités f'(a +iw),
(a+iv), f°(a + 1w), … vont généralement en décroissant assezrapidement; elles sont d’ailleurs multipliées par des coefficients numériques de plus en plus petits; les trois premiers termes de la formule (A) suffiront dans les applications à l'Astronomie, et souvent les deux premiers. On voit combien est simple, dans la pratique, le calcul de la quadrature ou plutôt des quadratures répondant aux diverses valeurs entières et positives de r. On aura ainsi, avec la plus grande facilité, toutes les valeurs de l'intégrale, qui correspondent aux divers
termes de la progression des arguments, pris successivement comme limites supérieures de l'intégrale.
Remarque. — Si Von pose u = ÿ— 1 sing, ou bien u = £ ÿ— 1, la formule (9) donnera, pour le calcul des coefficients NPA
sin © nee ; .
+" — À, — 2? À, sinto +2*A, sino® —...; 20 COS
2V1—E arcsinË
UN Leone MA
75. Il est souvent avantageux de pouvoir calculer les quadratures en prenant pour limites de l’intégrale les moyennes arithmétiques de deux termes consécutifs de la progression des arguments. Soit donc proposé de trouver la valeur numérique de
Y 5 ; re (18) ==) f(a+ nv) dn + +f 1. 1 en “A 2 V3
En partant de la formule (12) du Chapitre précédent, on voit que les intégrales
1 1 dE] T2 . n dn, L (n+i)n(n —1)dn, 1 1 Ta 0
sont nulles, comme étant composées d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires. Il reste donc une expression de la forme
(19) f(a + no) dn = fa) + Bi f(a)+ Bi f (a) +...
et nous pourrons déterminer les coefficients numériques B,, B;; ..., en choisissant la fonction f(x), et prenant f(x) = E*. On aura, dans ce cas,
res wo o 2 n 9 TT 9 E? —E *?
f(a + no) dn = Et ————,
