LOTS
et si l’on remplace dans l’équation (18), /(a), f°(a), f'(a), .…. respectivement par
E, Ev{Ee Jia 1), pre tpe lise 1 )* il viendra
(oO)
nn
d’où, en introduisant la même quantité & qu’au n° 74,
(4 (20) PET —14 92,0 Fo'biut +.
og (Cu +
or,Oona (42
log(u + V1+ on
par suite,
La formule (18) donnera done
fs f(a+ru)dn= (a) + Ef(a) —
on obtiendra les intégrales f' us .. en augmentant les arguments de w,
20, ..., et, en ayant égard à la formule (18), il viendra
s—J(a)+f(a+w)+...+/f(a+in)
LP(a) + fa+ nm) +...+ fa +ivw)l
= fa) Perros. .+ f*(a + iw)]
Mais, si l'on ajoute membre à membre les équations qui définissent /?(a), f°(a+w),...,/ff(a +iw), au moyen des J', ces dernières quantités dispa-
raissent toutes, sauf deux, et l’on obtient
JA) Pa) EP Caro) (a+ se J rh (« de même
MONS TEE) SEE + (a Fro)=:?s (a+ 20 2) Dh. («—2),;
de même aussi, pour la colonne des f calculée en partant de la quantité arbi-
traire AC -— 2) FO HS + 0)+. + f(a +0) = (a+ io + +) — fa =):
En portant les valeurs de ces trois sommes dans l'équation (21), on obtient
Y o I ; @ à (A) flo biobe ep NU UT — | — Sax — se S( an +2) +2 2 de T ose ne
(a en
2 G) I (A) LORS Cette formule se simplifie si l’on détermine la quantité (a = 2) par la condition + PRE nl ee SAS à
(b) Her) = (a )+ nf (a ) ae, et devient
| 1e HER EE TIC ) Aa ë |
fo je (A | = pé/'(e+iu+2)+..]
Remarque. — Si l’on pose | u—=ÿ— 1 sing —Eÿ—
la formule (20) donne
sin @
—1—2B;sino both, sinto—...,
Fi
arcsin£
ZI] — 3 Bi 2B, Et —, sis le
76. Il est souvent commode de pouvoir calculer les intégrales a+iw+®
a+ivw 2 ee f(æ)dr. Et f(x) dx
On aura d’abord
a 0 x Je fG)de=X +0 f f(a+ nw)dn, wo 1
ct 0 NY - f f(æ).dx — Yo f f(a+nuw)dn.
Or la formule (12) du Chapitre X donne, quand on la développe suivant les puissances de n,
NO ARE HOMO E Sn RO (a) +.. À (a) OR AT Pre) IE +:
d’où, en multipliant par dn, intégrant entre les limites — . et o, et réduisant
(24) Jre+ no)dn = 2 fla)—g/" (a) + ef) + s8gf (a) as (R)+
Il en résulte que . se composera de la première ligne de la formule (16), la
seconde étant remplacée par Lift) + Lfta)— fa) + gg a) + pr (a) — ES (a) +.
De même, Y’ se composera de la première ligne de la formule (22), la seconde étant remplacée par
u=— (a?) ifa+sftaf(a—e)= 7 ta)
D 3 — 387 MU rl (e—?)+ en Le ini
Or, les formules (17) donnent 1 Le ra 0) ipta)+ Lo =—y(e— 2);
en vertu de cette relation et des analogues, l'expression de C devient
C , . (A) CAD Si donc on détermine (a — 2) par la condition
du ue Pr dune Re nue (a) f(a 2)= nn (2 2)+pes/ (e =) 261680 C )+..
on aura
f | f(æ)dz =0 [Ca + ru) — = f(a+ to) GA Hibitéie ÿ
Les HE ol (a sta) ee
f(a+ io) +.. +
Passons à l'expression de C, ; on peut l'écrire = (a?) Lie) + EP (e)— EP) +.
+7 Mo-r(a-?)-: ji
rer (a?) - 2)
Si l’on remplace /'(a) par : Lf (a + 2) + f\ (a — 2) | la seconde ligne est
identiquement nulle, et 1l en est de même de la troisième, etc.; en posant ensuite C, — o, on a pour déterminer C, la condition
(b!) (a 2)=- a + La) — 2 Po) + Gauss / (a) —..
et 1l vient
(oO) EURE
dû. # fe a)
77. Faisons application de la formule (A) en calculant les valeurs numériques de l'intégrale ; A rat D 2) 4/1 sine, ; 2
pour les valeurs 0°,.49; 99,:.1489%" de
Nous aurons donc ici logo — 2,8439374;
il faudra calculer les valeurs de
Ti) : = = sin??,
en donnant à x les valeurs o°, 4°, ..., 48°. On formera ainsi le Tableau suivant :
a—+iw. wf*(a+iv). ofr(a+io+?) wf?(a+:vw). of'(a+io+?) wf(a+ivw). of(a+iu+). 2 2 2
Pour savoir comment ce Tableau a été calculé, il suffit de dire que, pour éviter des multiplications par w, on a déterminé les valeurs, non de f(x), mais de
fée f(x) = 04/ ra sin?æ,
pour æ — — 8°, — 4°, 0°, .….; on en déduit, par des soustractions successives,
les différences des quatre premiers ordres, en les inscrivant à gauche, ce qui Oo
est plus facile pour les calculs ultérieurs. Reste à dire comment on a obtenu la
. G) colonne des (a + 10 + 2). La formule (a) donne
(25) of(a—?)=-<0f(a+
ÊX wf'(a) — = RG). . à
on a d’ailleurs, pour «a — o°,
wf(a) = + 0,069 8132, Wf" (a) = -(+ 0,000 0850 — 0,000 0850) — 0,
Do (a) — = (+ 0,000 0011 — 0,000 0011) — 0;
il en résulte, d’après la formule (25), G) sta = °} — — 0,034 9066;
\ Û (Q) avec ce nombre, on achève la colonne des (a +10 + = La formule (A) donne ensuite : I $ M G E(Z)=&f(a bio) — re Hfi(a+ io) + vie +to)...;
on calcule les ‘/(a + iw) en faisant la moyenne arithmétique de . (a) . G) (a + 10 + 2) étde:- if (2 + Lo) — 2) .
On opère de même pour f''(a +iw) et f°(a +iw), et l’on peut former ce nouveau Tableau :
a+iv. wf(a+iw). wf'(a+ivw). w'f(a+iv). —— wf'(a+iw). + fi (a+ to). E (x). o 0 (0) ou? to) (o) 0 ,000 000 4 Se — 1694 607707 ft + 0 0,069 785 8 + 42 — 3368 + 139 3720 + 981 + I 0,139 400 12 + 63 — 5000 + 208 6364 D 1 + I 0,208 678 16 + 84 —- 6569 + 277 4009 + 547 + I 0,277 456 20 + 106 —— 8054 + 345 5084 + 671 + 2 0,345 576 24 + 128 — 9433 + 412 8106 ME +2 0,412 889 28 + 151 — 10684 + 479 1694 + 890 de 5 0,479 259 32 + 175 — 11783 + 544 4599 51982 + 3 0,544 558 36 + 197 — 12707 + 608 572r + 1059 ne 0,608 678 40 + 222 — 13435 + 6714133 + 1120 + 3 0,671 526 44 » — 13939 + 97329112 + 1162 LA 0,733 028
Les w/f*, w/', w'/ sont donnés en unités de la septième décimale; dans E(x), on a supprimé cette dernière décimale. Les valeurs de E(x) sont identiques à celles obtenues par Legendre dans ses Exercices de Calcul intégral, tome TT, p. 73-74. Il convient d'ajouter que les formules dont Legendre s’est servi pour calculer ses Tables elliptiques sont identiques aux formules (A), (B), (A) et p').
78. Calcul des intégrales secondes par la méthode des quadratures. — On a fréquemment à calculer des intégrales telles que
ee az | f(z)dzx;
nous remplacerons f(x) par sa valeur déduite des formules d’interpolation; nous supposerons
DU NEA ho 0 DUT; 2 2
ce qui nous donnera
Z ee pe fe ffta+no)an.
Or, on peut écrire
n 0 n f(a+no)dn= | + f $ Qe 0
tirer | de la formule ( A’) en y faisant : — 0, et | de la formule (x) intégrée.
Il vient ainsi
fa + nu)dn =f(a) 2 fa) + fa) —. RE
+ nf(a) + = n° LA (a)— = fu) st | + & D RO AL
: NE : : NE ñ I * d’où, en multipliant par dr et intégrant entre les limites — = et +: ce qui
fait disparaître les coefficients des puissances impaires de »,
[rte + no) dn?="tf(a) — — f'(a) Dee = f°(a) SR
+ reg. |+ FACE ESS
d’où, en réduisant,
He [fa + nu) du =\f(a) — tree ZT Pia) —....
Si l’on augmente les arguments de w, 26, ..., tw, on trouvera les valeurs des intégrales
CARE All + = alt L > pe # Fi T2
wi
Wii WI
en ajoutant, il vient
[an [rte + n)dn— (a) rare)... Ei(ar de)
(26) LE Les Lf'(a)+f(a+owo)+...+fi(a+ivw)]
crues Lf(a)+f(a+o)+...+ft(a+io)]
Or,on a à: 6) . 3 6) LL a = ee - # NL Lars Cr ol (a+io+r = f(a+iw + w)—/f(a), re fi cu Fat PR PONS ee EC : + fl {a + a la -fila+io : = f(a+iw) — f(a—w);
il en résulte, en ajoutant, (27) 2f'(a)+2f'(a+o)+...+2fl(a + iw) — 2f(a + 10 + 2) — f (a) — f(a — w);
grace à cette relation et aux relations analogues pour les ‘f et /*, la formule (26) peut s’écrire
: (O) , A+ ÈO + = A+ 0 2 à 5 — f(x) dx?
(28) eue A . DEN J : ; RAS D. SUR LS 2 < : FN 6) ns £ ie H LG) - ri = 24 De ee SAONE | T 1920 (a + 10) + — De Rens À 7 = < É a Na) Real 2 [f(a) + f(a—w)] me LF(a)+ (a —0)] +...
On voit que, pour pouvoir utiliser la formule de réduction (27) dans le cas
des ‘/, nous avons supposé formée une colonne des ?/, en partant d’un nombre arbitraire ?f(a), et déterminant les suivants par les relations
(29) (a e 2) Pere ES (
Nous déterminerons ?f (a) par la condition que la seconde ligne de l’équation (28) disparaisse, ce qui nous donnera
re Ge Ce 2 nt 779 OS CO Ce EEE = LES (a) + (a — 0) =?/(a) — 2 Y(
\ se 6) d’où, en remplaçant Ja = = | Darsa valeur (29),
P'(e—2)+ te) +f (a — 0)
Jla)=— ges )+
mr HUE NCEs
Tone Wie) Ye 0).
HA (ae 0) ete) 2) La ae ol...
On trouvera, d’une manière analogue, trois autres formules pour correspondre aux formules (A), (A’) et (B').
Voici l’ensemble :
a + 0 À + 1 D ef je Ydæ? = ot [ar (nie (et a) (a+ 1)
31 ; 1 TT 'fatso) a+ io)... | (A2) PURE) NAME. hrs r RSA f(a )= = Ja je = S (a) = 1 cadet (a) —..., a (Re) a Jo a 240 60480 tt en ut à Le & “e de " o HAL, Fe DA SEEN f(a+io+: L'antl QE 3 2 2 RD ei ue G) 367 Den La FLO) + 2) 1038367 (a+iu+2)+. + (CB) pale à O\ee pa 6) Move 6) 20e ne Jobs = arr en dope Paie 567680 oh de Po de à f(a)=+ (ao) Laft(a— 0) + P(a)] À 6680 Laf(a ©) + 3/(a)|—...; PA+ EU A+ AU) à à (a) de — ao? [Ce +0) + 7 (a + do) (A!) Fons Fo Fi 2 0 CPR (a+ 1w) ; ur a — =) et ?f(a) sont les mêmes que dans les formules (B; ); | 4 + i 0 +T a+ nu) ë < : … .. À f(a)de—=;:0 (a+ is?) Eyta+ io +?) à L 2 2/4 2 >’ F7 367 (Q)] (B!) di: Sie a nc d-SHDEn VLC Ces +
6) pe s (a — ) et ?f(a) sont les mêmes que dans les formules (A2).
79. Calcul numérique des perturbations par la méthode des quadratures. — Quand il s’agit de déterminer les perturbations causées sur une comète par l’une des anciennes planètes, on ne cherche pas à obtenir leurs expressions analytiques, car les séries seraient, ou divergentes, ou très lentement convergentes, en raison de la forte excentricité de la comète. On peut néanmoins calculer numériquement ces perturbations avec une grande précision. Ce calcul
est utile aussi pour les astéroïdes, car il y en a très peu pour lesquels les développements analytiques aient été effectués.
Dans ces calculs numériques, qui ne sont pas le but principal de cet Ouvrage, on peut suivre plusieurs méthodes; nous n’en donnerons qu’une, celle de la variation des constantes arbitraires. Nous partirons des formules (A) (t. I, p- 433), qui expriment les dérivées des éléments elliptiques au moyen des composantes de la force perturbatrice, rapportées au prolongement du rayon vecteur, à la perpendiculaire au rayon vecteur dans le plan de l'orbite et à la normale au plan de l'orbite.
Nous modifierons un peu les formules (A), en désignant par M l’anomalie moyenne, par Ÿ l’angle dont le sinus — e, et par 0, 00, ..., oM les perturba-
- “ab ; da dôn tions des éléments; au lieu de ==; nous donnerons =: enfin, pour former dù
a > nous retrancherons —>- de la dérivée de la perturbation de la longitude
moyenne.
Les composantes de la force perturbatrice seront représentées simplement par S, Tet W. Nous trouverons ainsi
d 00 Le TSI W
Sing nai —e?
= J'COSL —— ; 2 2 na V1—e
à () W = l'SINVIANS- = 2 na° Vi — e?
I \l mn . 2 + [— pS cosæ +(p+r)Tsinw|], na?e 1 — e?
aèy dt
eur US 5 (se sinæ + T L), di ay1i—e? £
d'oM 1 /pcosw d Ù ha dôn UE or NS {(p+r)Tsinw Al.
oUdE na? ( e na e G ) dé
Fe: [S sinæw + T(cosu + cosw)],
Soit o la raison de la progression arithmétique que nous adopterons pour les arguments #, en employant la méthode des quadratures. Si nous remarquons que la masse d’une comète ou d’un astéroïde doit être considérée comme nulle devant celle du Soleil, nous aurons
Rail na Vi—e—=k VP,
et les formules (30) pourront s’écrire avec plus de concision
=. — (8, W) W,, à a = (9, W) W:, dv a La DNS à Ÿ4 G) DT (wo, S)S: + (æ, T) T,+ (©, W ) W,, (31) 5 Te = (NS JSr-RCUC TEE, 6) ee —(n 19) CA, FT, [A ) se lon à . = (M, 58, L-(W DT +o f de, [A à p
lo
où l’on a posé, pour abréger,
la Las rsinv He Pr (Wii ne (o, W)=r cosv,
1 0 D COS 5 : (PHr7)sSinæ A (or) HE UN (ae) ST , (©, W)=7sinvtang 2?
(4, S) = a cost sin w, (Y, T) = acost(cosu + cos),
c ak (2, S) ou ee sin d sin #, Cr T) =— se ke, Va Va ?
(oo (M, S)— pcotŸ cosæ — 27 cos, (M,T)—=—(p+r)cothsinw; “à kVP doses + UP Lan WE | k Vp
Le calcul des quantités r, æ et u se fera par les formules connues
Te FCHÉSDELE ]
a —= —; 102,7 3,550007; = ——; 10S ———— —5,314425 n “ 73 sin 1” ENS it < Re u — e!"sinu —M, p=a cos, r Sinw — a CosŸ sin w, r COSw — a(cosu — sin), Diet PE.
Nous supposerons que l’on connaisse les éléments elliptiques osculateurs pour l’époque zéro, 0,, o,, L,. ©,, n,, M,. L'intervalle w est pris généralement
égal à 4o jours ; on a alors log3 kw — 0,314763.
Dans certains cas, on peut être conduit à donner à w une valeur plus petite. Ainsi, dans le calcul des perturbations de la comète d’Encke par Mercure, Y. Astén a employé parfois des intervalles de 2i,5, et même de ri, 25.
80. Calcul de S, T et W. — Soient »lerapport de la masse de l’une des planètes perturbatrices à la masse du Soleil, p sa distance à la planète troublée, 1l
suffit de se rappeler les expressions
fall C !
Er km' É —? — a) - 3 13 ) 7
NT
des composantes de la force perturbatrice, et de remarquer que, relativement aux axes auxquels se rapportent S, T et W (rayon vecteur, etc.), on a
et il en résulte
NS r S, = Ù EEK ) l DE }
VP okm , 1 => —— " K, VP
Wien Lust
Ro er ere
Sn?
FE
Le signe > se rapporte aux diverses planètes perturbatrices. Dans ces for-
mules, # doit être exprimé en sécondes d’are, afin que les perturbations des éléments soient elles-mêmes en secondes. La Table ci-dessous, empruntée à l’'Ouvrage d'Oppolzer (Lehrbuch zur Bahnbesummung der Kometen und Planeten, t. II), donne dans l'hypothèse de w = {oi les valeurs de log(wkm') pour les diverses planètes :
Mercure 2,26€ Jupiter 5:1315059
Vénus SAUENE.. Lise 2 +1 100700
La Terre Uranus 0,809 6 Mars Neptune 0,857 6
Reste à calculer £’, ’et C’. Soient N et B’ la longitude et la latitude hélio-
centriques de la planète perturbatrice, rapportées à l’équinoxe moyen x de l’époque adoptée, et à l’écliptique xy de cette même époque. Soient z le pôle boréal de l’écliptique, Q celui de l'orbite de la planète troublée,
P’ la position de la planète perturbatrice, M’ sa projection sur la sphère.
On aura zN—=6, YNA—Y, zN+NO—X, CM'—6.
Posons
NB=E;, BM' — B.
Le triangle sphérique QzM’ dans lequel on connaît deux côtés Qz — p, 2M'= 90° — f, et l'angle compris QzM' — 90°+ X — 0, donnera, en lui appliquant le groupe des formules de Gauss,
sin B'— sinÉ cosp — cosB' sino sin(\ — 8), (34) cosB’cos L'— cosB'cos(?'— 6),
cos B’ sin L'— sinB/ sing + cosB'coso sin(X — 9),
et ces relations donnent L'et B’. Soient maintenant P la position de la planète troublée, M sa projection sur la sphère céleste, on aura MB — L, — v,
CE =rtcosbB'cos(L'— 0), (35:) n'=r'cosB'sin(L'—),
Gr Sin,
Les éphémérides donnent r’, N et 6’; les formules (34) serviront à calculer L''et B', après quoi on tirera £’, / et C’ des formules (35). T. — 1V. 2
81. Indications sur le calcul des quadratures. — Supposons que, dans les seconds membres des équations (31), on remplace les éléments osculateurs 0,o,... de l’époque #, par ceux 0,,9,, ... de l’époque £,; ces seconds membres deviendront des fonctions de 4 et de constantes connues. On calculera leurs valeurs pour des époques équidistantes
A—20, A—0, dd da,
Fe OO 0 — 0) -h20):) 21008
de sorte que l’on aura ANEAURE es
Considérons, par exemple, la formule
d d8 Bone (0, MOW.:
et posons (8, W)W,=j{(a+io)—/f(t4t).
On pourra former le Tableau des différences f(a—2v) f(a—o)
Un aura ensuite
(37) »30= f AC [ f(e) de.
On emploiera, pour calculer cette quadrature, la formule (A), page 183,
,A+iv
f{t)dt=0 Lta+ in) 5 fa + in) nie na ns : À
dont les deux premiers termes suffisent presque toujours; la constante 4 6) : cs ; J{a —- 2) sera déterminée par la formule (a’), page 183,
I I I 17 I 1 es PL #/ f3 A— = — a D}+< A— —G)—..., /( 2 ) ms 2 ) 5160. ( 2 )
où le second membre est connu; on pourra ainsi former la colonne des '/ dans le Tableau (36). Les formules (37) et (38) donneront
(39) 36 —1f(a + io) — = f(a+io) +...
On pourra donc calculer les perturbations 20 de la longitude du nœud ascendant, pour les époques équidistantes #,— 60, 1, — 20, 1, + 20, .... On procédera de même pour les autres éléments; comme les perturbations s’annulent pour t — t,, les éléments 0,, »,, ... seront bien osculateurs à l’époque £,. Il faut remarquer que l’on n’obtiendra pas la valeur de 2x, mais celle de w nr — 4o ên,
dù dôn
ne é : à n ; car dans les formules (31) on à écrit avec intention w° ee A lieu de w ne À
Il y a lieu de considérer d’une façon spéciale la perturbation èM et de poser
0M — 0,M +0M, en prenant
& PAM (M,8)S:+ (M, T)Tss do,M ‘don - (a) di = Sri .
On calculera à,M comme 80, do, .... Pour ce qui concerne à, M, si l’on fait, pour plus de clarté,
N : dèn
=, 8)S1+ (2, T)Ti= D(4) = (a + iv),
A t ME ff &tar.
FR St
On déterminera cette intégrale seconde par la formule (A), page r89, qui donnera
on aura
: EUR © d2M—°®(a+iw) + . D(a+in)+..., les constantes d'intégration étant déterminées par les formules
I I f 19 ne I D PE he lo) pe spa ele +, 2 2 2 2700 2
24 (a) — te a)
56 [ad (a — w)+D'(a)]+...,
qui permettront de former les colonnes des ‘® et *®; les seconds membres des formules précédentes sont connus.
On aura donc des valeurs approchées des éléments osculateurs aux époques ty — Goi, 4, — 20i, t, + 20, ...; on pourra, avec ces valeurs, reprendre le calcul des quantités (0, W)W,, etc., et obtenir ainsi les perturbations définitives.
Le lecteur pourra voir, dans l’Ouvrage d’Oppolzer, comment il est possible d'éviter ce double calcul, ou plutôt de le faire au fur et à mesure en même temps que le premier. Mais c’est un détail sur lequel je ne crois pas nécessaire d’insister 101.
82. Transformation pour le cas des orbites très excentriques. — Au lieu de a ou de z, il convient d'introduire la distance périhélie
dn dh Se RARE IE (1—e) 7 a COSŸ 7”
d’où, en remplaçant 1 par leurs valeurs (30), et réunissant les termes
en SetenT,
1—e)?sinw I—e Ÿ S + —— (1+e) (cosu + cosw) | T
nVi—e nvi-eL
Remplaçons
Cosw —+ e COS par RENE) ll + e COS”
et transformons: il viendra
Tel: “s dq S 41 2
) [54 2 = — — sin + = ( - e COS? =) dt kVp 1 Hype e
d’où, en mettant À au lieu de Set introduisantS, et T,, par les formules (32),
har œ Y au 4q a ;
û ES CM |, Sin = 2008 7").
(40) gs: Ann 2 (14 2):
c’est la formule cherchée.
En second lieu, il convient d'introduire le temps x du passage au périhélie. On a, pour la longitude moyenne,
L—e+ fndt=v+ n(t—7
d'où
de
Fee ds da ; 5 si l’on remplace +, + et x Par leurs valeurs (A) (t. T, p. 433), on trouve ai-
dt sément
L 3a(t—7T D — Sr Fi L Se sinw + T£ = me | —Scosw+T(r+ = \sinæ|, dE k? kVp ke? P =
d dT
; Te dr ou encore, en introduisant S, etT, et remplaçant en Dale
= Sean 2e HE
= — É esinæ|s, dl k e VP |
avr É = on vr | D;
c’est la formule demandée.
Lorsque l’inclinaison est très faible, pour éviter le petit dénominateur sino,
sin o sin 0 sino cosô —— a QU lieu de o et de 0.
De même, dans le cas d’une excentricité très petite, on évitera Le diviseur e en in-
esins € COSS troduisant D Snir au lieu de e et &. Nous avons déjà parlé de ces com-
binaisons d'éléments (t. I, p.170), et nous ne développerons pas les calculs.
il ya lieu de prendre pour éléments
Remarque. — Pour bien faire comprendre l'esprit de la méthode des quadratures, il convient d'observer que l’on ne peut pas passer d’une époque à une autre sans avoir à tenir compte de toutes les époques intermédiaires. Supposons par exemple que l’on veuille savoir quelle était la distance périhélie de la comète d'Encke le 1° janvier 1601. On sera obligé de calculer en même temps la valeur de g pour toutes les époques intermédiaires, de quarante en quarante jours par exemple, ce qui représenterait une masse formidable de calculs. Tandis que, si l’on avait le développement analytique des perturbations de g, il suffirait de remplacer # par sa valeur, le calcul étant aussi rapide pour une époque très éloignée que pour une époque très voisine.
Outre les Ouvrages déjà mentionnés sur l’interpolation et les quadratures, le lecteur pourra CRAN a ù
Excke, plusieurs Mémoires, dans les trois Volumes des Astronomische Abhandlun gen.
LaGranGe, Œuvres, t. IT: Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la dren tie. lion et à l’intégration des quantités variables.
GRUEY, a sur le calcul numérique des perturbations des petites planètes au moyen des . atures (Annales de l’École Normale, 1868).
BaizcauD, Sur le calcul numérique des intégrales définies (Annales de l'Observatoire de Toulouse, 1. I).
F. TisseranD, Sur un point du calcul des différences (Comptes rendus, 28 mars 1870).
R. Ranau, Études sur les formules d’interpolation (Bulletin astr onomique, t. VIII).
Watson, Theoretical Astronomy.
OpPpoLzer, Bahnbestimmunz.
DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COMÈTES LORSQU'ELLES APPROCHENT TRÈS PRÈS DES PLANÉTES.
83. Les formules du Chapitre précédent permettent de calculer numériquement les perturbations des éléments elliptiques ou paraboliques d’une comète par les planètes. Ce calcul présenterait de grandes difficultés si la comète venait à passer très près de l’une des planètes; on peut heureusement suivre, dans ce cas, un procédé très expéditif qui a été indiqué par d’Alembert dans ses Opuscules mathématiques (t. 1, p. 305), et développé par Laplace dans ses recherches sur la comète de Lexell, et plus tard enfin par Le Verrier. Nous allons exposer ce procédé.
Soient
æ, y, z les coordonnées rectangulaires héliocentriques de la comète ;
x’, y’, 3! les coordonnées de la planète, que nous supposerons être Jupiter;
£, n, les coordonnées jovicentriques de la comète, rapportées à des axes parallèles aux axes fixes.
Soient encore
m, la masse du Soleil; » celle de Jupiter; p la distance de la comète à la planète: retr les distances au Soleil.
On aura les équations
