D IV
202 CHAPITRE XIT.
pondantes des coordonnées de Jupiter et de leurs dérivées; on aura
dz -
a Are dé a et at
Avec ces valeurs des coordonnées héliocentriques et de leurs dérivées, on pourra calculer les éléments de l’orbite héliocentrique, qui permettront de suivre la comète en tenant compte, au besoin, des perturbations provenant du Soleil.
La première comète de 1770 a présenté des difficultés aux astronomes, qui ne pouvaient pas arriver à représenter son mouvement par une parabole, jusqu'à ce que Lexell eût reconnu qu'elle décrit une ellipse en cinq ans et demi environ; cette orbite satisfait à toutes les observations. Une difficulté subsistait néanmoins : une comète de révolution aussi courte devait revenir souvent; or, On ne l'avait pas observée avant 1770, et on ne l’a plus revue depuis. Lexell a donné une explication : il a remarqué qu’en 1767 et 1779, la comète avait dû passer très près de Jupiter, et que l’attraction de cette planète avait pu diminuer une première fois la distance périhélie de la comète, et la rendre visible en 1770, d’invisible qu’elle était auparavant; en 1779 la même attraction avait pu faire reprendre à la comète sa distance périhélie d'autrefois et la rendre de nouveau invisible. Mais cette induction demandait à être vérifiée par le calcul. C’est ce qu'a fait Burkhardt, à la demande de Laplace; ses calculs ont montré (') qu'avant 1770 la comète décrivait une ellipse de demi grand axe 5,06 et de distance périhélie 2,96; en 1779, l'attraction puissante de Jupiter a de nouveau transformé l'orbite, lui donnant un demi grand axe —6,37 et une distance périhélie — 3,33. On comprend ainsi que la comète n’ait été visible, ni avant 1770, nl après 1779.
Le Verrier a repris l'étude de ces perturbations dans son beau Mémoire Sur la théorie de la cométe périodique de 1550 (Annales de l'Observatoire de Paris, t. III). La discussion complète des observations lui a montré que les observations de 1770 ne déterminaient pas entièrement les éléments, mais qu’on pouvait les exprimer tous en fonction d’une indéterminée susceptible de varier entre des limites encore assez étendues; il a fait un Tableau des systèmes d'éléments que la comète a pu prendre postérieurement à 1770, de sorte que, si l’on trouve dans l’avenir une comète dont les éléments coïncident avec ceux d’un des sÿstèmes précédents, on pourra voir de suite si c’est la comète de Lexell qui nous serait enfin revenue. Il faut dire toutefois qu’en donnant à l’indéterminée certaines valeurs, on trouve que la comète a dû se mouvoir ultérieurement dans une parabole, ou même dans une hyperbole, auquel cas iln y aurait plus d'espoir de la retrouver jamais.
(1) En rectifiant une faute de signe reconnue par d’Arrest; voir le n° 4087 des Astron. Nachr.
85. Intégrale de Jacobi. — Il résulte de ce qui précède que, sous l'influence des perturbations d’une grosse planète telle que Jupiter, les éléments elliptiques d’une comète peuvent éprouver des variations considérables. Supposons que l’on ait les éléments de deux comètes que l’on suppose identiques, mais qui aient été troublées par Jupiter. Pour décider la question de l'identité, il faudra se livrer à des calculs numériques très longs et souvent inutiles. Il serait précieux d’avoir un crüerium, permettant de décider a priori si les deux systèmes d'éléments peuvent ou ne peuvent pas correspondre à une même comète.
J'ai pensé que l’entégrale de Jacobi serait en état de répondre à ce but.
Rappelons d’abord dans quelle circonstance cette intégrale existe.
Considérons une planète P’ décrivant un cercle autour du Soleil, et un astre P, de masse évanouissante, troublé par P’. Prenons le plan de l'orbite de P’ pour plan des æy; soient a’ le rayon du cercle, /’ la longitude, m' la masse; æ, y, 3 les coordonnées de P, p la distance PP’.
Les équations différentielles du mouvement de P seront
die CR à ee ee) use lé — ,
dE? 13 oi .
De ne = = Km (= rt ne )?
Le ss ee = Aime ,
| p=(r—-aeus be (Cratsiné) te, (6) | l'=ni+e, Pen
On en déduit
d he (5) æ eu … = km'a'(x sinl/!— y cosl') (= — a) dx dx : dy dy : eds 0e "dr dt de? dt ae dt dE Ÿ nd
Fee FN a'cos dx dx à dant y dy 2142 1 {dx ro Gi L ne p$ dé p5 2 A 0 MA LRQ e. me
Or, on tire des formules (6)
a ( æcosl'+ y ne
d. 4 5 = G cos l'— x) (T + n'a'sin !) +(a'sinl"— y) . — n'a cos r) — 3 g | dy
LPO : n' —— cos l'+ “sin /' — (æsinl— y cosl) (% ru Tan GR FA
et, grâce à cette relation, nous pouvons écrire l'équation (8) comme il suit :
2 dl de? r p a'=
AS (== dy? + d=° 22) nd É æ COS l'+ fe | Ê = km ] ES
(9) ; 2 APE à Se ( S / ; .
+ Æm'n'a'(x sinl!'— y cosl') (z VAR am)
En combinant les formules (7) et (9), on trouve
1 d'/dx°+ dy + ds? = U ee 2 , d'A: moos lee PSN, 3 a | Lee ad TT
dit? T5)
on en déduit immédiatement l'intégrale de Jacob: (‘ æ)
Ce
1 dx? + dy? + ds? id nos : 1 æcosl'+ y sin/ 2 del? : A 0 a’? )
Appliquons cette intégrale à une comète troublée par Jupiter; 1l faudra donc négliger l’excentricité de cette planète. On aura, en désignant par a, pet le demi grand axe, le paramètre de l’orbite de la comète, et son inclinaison sur le plan de l’orbite de Jupiter,
dar yon de rat L dy dx
de? ar . DE
— A piCosr,
il viendra, en comparant les valeurs à,, ps, & et @,, p,, ,, qui correspondent à deux époques £, et £,,
2 V/Po COS bo om (2 Zocosh + Josin à)
— a' Va! a
2 WP: COSü : 1 = Gros, sn).
a! Va! P a”?
Prenons pour 4, et 4, les époques d’entrée dans la sphère d’activité et de sortie, nous aurons p, = p,; en outre, les différences æ, —æ,,7, — ÿ4, l —{ sont petites, parce que la comète ne reste pas longtemps à l’intérieur de la sphère. Nous aurons donc simplement
2 Po COS é 1 2 /p, cosi . LPienh 1 av à
di a'Va' a; a'W/a}
Tel est le critérium cherché; nous l’avons fait connaître dans le Zulleun astronomique (t. VI, p. 289), et il a été depuis employé souvent avec avantage, notamment par M. Schulhof.
On peut en étendre un peu la portée, en remarquant que l’on n’a pas besoin
(1) Voir les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t, WI, p. 6.
PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES. COMÈTES. 205 de supposer l'orbite de Jupiter exactement circulaire; il suffira qu’elle diffère peu d’un cercle dans le voisinage de la région où s’opèrent les grandes perturbations de la comète; cela sera plus exact dans le voisinage du périhélie ou de l’aphélie de Jupiter. Mais alors on devra remplacer »” par
doi END EU
di Fe Nr
(sensiblement);
on aura donc à très peu près, avant et après les grandes perturbations,
SNOW COS Er || 24/4) pp coeu (12) eo == l ,
do 7
où r désigne le rayon moyen de l'orbite de Jupiter, pendant la durée des grandes perturbations.
M. Callandreau, dans son Mémoire Sur la théorie des comètes périodiques (Annales de l'Observatoire, t. XX), a montré comment on pouvait tenir compte de la première puissance de l’excentricité de l'orbite de Jupiter.
86. Considérations générales sur les comètes périodiques du groupe de Jupiter. — Nous reproduisons dans un Tableau les éléments d’un certain nombre de comètes périodiques :
a. re ü— (2. l.__ a(i+e). a(i—e). œ. ©, — l,
ÉDCkKOr 451. 0 1795 DO 14 182 335 4,09 0,33 0,580 + 2 Blanpain* (1).... 1819 2,85 9 350 247 4,82 0,88 0,555 0 Helfenzrieder*... 1766 2108 8 177 80 545 0,41 0,487 — 9 Fompelrit.it 1873 3,00 13 185 125 4,65 Do 0,571 + I Balnard nn à 1884 3,08 b* 301 126 4,84 1,42 0,567 0 13,57 1 C6 ANSE AR 1844 3,10 3 279 162 5,02 1,18 0,556 + I Tempel-Swift... 1869 STI 5 106 229 5°, 16 1,06 0,544 0) Brorsen:.i....:. 1846 Gui 31 193. 289 510 0,66 0,475 +13 Winnecke ...... 1858 3,14 11 162 113 5,00. 0,79 0,072 — 17 EC) Se tPAPENIE 1770 3,16 2 224 184 5,66 0,66 0,500 — 8 Fempolss 2.12 1867 3,19 6 125 60 4,82 1,96 0,570 — À Piotr 1783 #20 45 354 233 ÿ,0û 1,47 0,487 — 3 BarRard rte 1892 3,41 31 170 » 5,40 1,43 » »
BEDOËS7 4.4.1. 1886 3,41 13 177 53 5,49 1,09 0,533 — 3 Spitaleré.,....:. 1890 3,44 13 13 228 5,06 1,82 » »
Dépresla!:i 1851 3,44 14 175 109 STE Dr 0,519 —10 d'U I RMRAte 1858 9,02 20 26 o 5,88 1e Eû 0,505 +21 PA 5 Gus 1886 3,94 3 316 205 6,09 0,99 0,502 —17 À; 0 SEE 1884 3,58 25 173 210 5,58 1,58 0,518 — Il Bible. SUN 1772 3,58 7 273 268 6,16 1,00 O,491 Da Holmes". 00 1892 3,62 21 12 » LE 2, 14 » »
Drcokor. Sue 1889 3,67 6 344 185 5,39 1,95 0,550 — 3 Favensie diese 1843 3,81 11 201 209 Ja 1,68 0,929 +21
Dans ce Tableau, l'est la longitude du point de l’orbite de la comète, qui est
(1) On a marqué d’un astérisque celles des comètes qui n'ont été observées qu’à une apparition.
le plus voisin de l'orbite de Jupiter; &, = © + 1802 est la longitude de l’aphélie
de la comète et « désigne la quantité définie par la formule (r1). On peut faire quelques remarques sur ce Tableau :
1° Toutes ces comètes sont directes, et les orbites peu inclinées sur l’écliptique : la moyenne des inclinaisons = 14°; les comètes paraboliques au contraire sont tantôt directes et tantôt rétrogrades.
2° Les distances aphélies ne diffèrent pas beaucoup de la distance moyenne de Jupiter au Soleil. |
30 Dix-huit des valeurs de & — & sont assez voisines de o° ou de 180°.
La liaison des comètes précédentes avec Jupiter ne parait pas douteuse. On peut se demander comment il se fait qu'un certain nombre d’entre elles n'aient été observées qu’une seule fois, et que les autres, récemment découvertes, n’aient pas été aperçues auparavant. Ce qui s’est passé pour la comète de Lexell est une indication.
La même chose a eu lieu pour la comète Wolf de 1884; du moins, M. Lehmann-Filhès a montré (Aséron. Nachr.., t.CXXIV,n°2953) que cette comète a passé très près de Jupiter en 1875, qu'elle a éprouvé de ce fait des perturbations considérables, et qu’antérieurement elle décrivait une ellipse de distance périhélie 2,55, assez grande pour avoir empêché la comète d’être visible. D’Arrest à montré de même (Astron. Nachr., t. XLI, n° 1087) qu'en 1842 la comète de Brorsen a beaucoup approché de Jupiter, et qu'antérieurement sa distance périhélie était 1,50, plus du double de ce qu’elle a été ensuite. On est ainsi amené à penser que les comètes dont il s’agit se meuvent dans leurs orbites actuelles à la suite de grandes perturbations provenant de Jupiter, qui les aura ainsi capturées. Cette action perturbatrice pourra s'exercer dans l’avenir dans des conditions telles que les distances périhélies après la perturbation soient assez grandes pour que ces astres deviennent de nouveau invisibles. L'étude des grandes perturbations des comètes par Jupiter est donc extrêmement intéressante: mais elle doit être appuyée dans chaque cas sur des calculs numériques précis, et généralement fort longs. J'ai tenté une recherche analytique dans un cas spécial, celui où la comète décrivait d’abord une parabole, et Je vais donner ici un abrégé des résultats auxquels je suis arrivé (Bulletin astron., t. VI, p.241).
87. Capture des comètes paraboliques. — Commençons par l'examen d’un cas particulier que l’on peut traiter bien simplement avec le seul secours de la formule élémentaire
Soient, à un moment donné, S et J les positions du Soleil et de Jupiter; je considère une comète parabolique en M,, au moment où elle pénètre dans la
sphère d'activité de rayon JM, — b; je suppose que l’angle SIM, soit droit, et que la vitesse initiale #, de la comète soit dirigée suivant le rayon M,J, ou plutôt fasse avec ce rayon un angle très petit. La vitesse », pourra être calculée par la formule (13), dans laquelle il sera permis de prendre
me cp to Li Pertes LE
De Te 0 VE
Si, pour simplifier, on fait abstraction de l’excentricité de l'orbite de Jupiter, sa vitesse #, sera dirigée suivant le prolongement de M,J et aura pour valeur
ce qui donnera
Dans le mouvement relatif autour de Jupiter, la vitesse V aura pour valeur initiale
et la formule / PU À A (14) Vin (R 1) dans laquelle R et A désignent la distance à Jupiter et le demi grand axe de l'orbite relative, donnera, pour R — p et V — V,,
Poe ae (eue eue
Le premier membre de cette équation se réduit à 11,1, quand on y remplace
I p v \ We \ ni ets par 1047 et 0,062. On aura donc, à très peu près,
je:
cette expression du demi grand axe étant négative, l'orbite jovicentrique est une hyperbole qui s’écartera d’ailleurs fort peu du rayon JM,, d’un côté pendant . la première partie du mouvement, de l’autre durant la seconde. La comète sortira de la sphère d'activité très près du point M,, et, puisque la distance R est encore égale à p, sa vitesse V,, calculée par la formule (14), sera égale en valeur absolue à V,, mais de sens contraire. On aura donc
Il ne reste plus qu’à combiner cette vitesse relative V, avec e, pour avoir la vitesse absolue ?, à la sortie; on trouvera donc
a US V3 — Kk ——— :
Vr' Si l’on remplace, dans la formule (13), e pare,, r par, et a par a, On aura, pour déterminer le demi grand axe a, de l'orbite elliptique de la comète après sa grande perturbation,
d’où
c’est le nombre qui répond à la comète de Brorsen ou à celle de Winnecke.
On voit donc que, dans des conditions déterminées, très spéciales, il est vrai, Jupiter peut jouer le rôle prévu dans la transformation des orbites des comètes. Inversement, cette planète peut défaire son œuvre dans la suite et, dans une seconde rencontre, restituer à l’orbite sa forme parabolique. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que, quand, après un certain nombre de révolutions, la comète arrivera à passer de nouveau près de la sphère d'activité, s: vitesse sera plus petite que celle de Jupiter, parce que l'on a a, < Fr. Cest là sphère qui marchera cette fois à la rencontre de la comète; à l’entrée, la vitesse absolue est
V2 \ 9 4 A ° Fr à lientrée, He a la sortie, et, en vr V7
la vitesse relative a pour valeurs, # -
. . . /a ° la combinant avec la vitesse de Jupiter, on retrouve # V la vitesse parabo-
lique.
Il y a lieu de penser que l’on pourra obtenir les valeurs de a, qui conviennent aux comètes périodiques du groupe de Jupiter, en prenant pour le point M,, sur la surface de la sphère d’activité, une série de positions moins exceptionnelles que celle considérée précédemment. Il en résultera une augmentation des chances pour que les perturbations de Jupiter produisent le changement requis; mais, pour aborder le cas général, il faut avoir recours au calcul.
88. Je continuerai à faire abstraction de l’excentricité de Jupiter, et je supposerai que la comète et la planète se meuvent dans le même plan.
Soit (/ig. 7) H, l'angle que fait la vitesse relative V, de la comète avec le rayon vecteur JM, mené de Jupiter au point M, où la comète pénètre dans la
PR Fig. 7.
sphère d'activité. Représentons par X, Y, R, © les coordonnées Jovicentriques, rectangulaires ou polaires, de la comète. A l'entrée dans la sphère, en M,, on aura
à la sortie, en M,, FR; [0]
Les formules bien connues (T. I, Chap. VI) donneront les relations suivantes, pour calculer les éléments P, E, II de l'orbite Jovicentrique (paramètre, excentricité, longitude du périjove),
de | 0 CRC ju TOP H,,
(19) E sin(@,— 11) — a e sin H, cosH,,
E cos(9, — IT) — nt o sin? H, — r.
On a ensuite
2JM=—@, AJM—=M—0, AJM, —0, —II—AJM,,
d’où (6) 6, +0, = 211; puis, ) X—=RcosO, Y—=Rsin0, RE D TAN.
nu d On en déduit sans peine pour les valeurs de = et de aux points M,etM,, !
— (sin0,+E sinIT), X, —=pcosé,, m' — (cos0,+ E cosiT), ni —— (sin0,+E sinIl),
. (cosO, + E cosIl),
On pourrait ramener les expressions précédentes à ne dépendre que de p et 6,, si l’on remplaçait P, E, II et ©, par leurs valeurs (1 5)et (16); mais nous ne ferons cette substitution qu'un peu plus tard.
Soient æ et y les coordonnées rectangulaires héliocentriques de la comète, r' et [les coordonnées polaires de Jupiter; on aura
HETICOST SE À, VTT,
dv EI : ! dx dy: IST. 1} aY nee AT ne COL 2
dx? dy?
de dar
pi—
dY axe.
—V?+n?r2+on'r! { dY COS = SIN e).
\de dt
Si l’on désigne par 4, et /, les valeurs de / qui correspondent aux positions M, et M, de la comète, et si l’on remarque que V; — V;, on trouvera
Re PR ue (18): pi ae | nu de Fes
On a, d’ailleurs,
d’où
et, en ayant égard à la formule (18),
Lu “ cos, — so cos l' k Vr! LUEUR Ni dt) us f de sin /'
Fe. sie nd Fe a
ax Si l’on remplace (%) >... par leurs valeurs (17), on trouvera
php" ON nr UC HO NUL 060, EE Me) PDA sin — sin Na: CR P D) 2 2 2 LUS AE Ê E er RES à Frot I +r4/27 sin (AA 1) sin 4e + T (EE), P 2 2 Ar, F4
d'où, en remplaçant @, par sa valeur (16),
%: STE ! ll GERS fée M sin HR 0 ci sin “UE Piper bia) MU + P 2 2 0 HE + E . sin Lorie IT } sin Fa HU Sr Ê 2 A OMAN F0
l — 1, mouvement de Jupiter durant le passage de la comète dans la sphère d'activité, est une petite quantité dont on ne pourra tenir compte qu'après une première approximation. On est ainsi conduit à prendre comme base des calculs, dans cette première approximation, les formules suivantes, dans lesquelles
nous avons supposé en outre a, — «, c’est-à-dire l’orbite initiale parabolique,
(20) — —=S, (21) y à sin(/, —Il)sin(®, — IT).
Il sera facile de tenir compte ultérieurement des termes qui viennent d’être négligés.
