VS

L'expression (27) de S dépendra donc seulement de deux quantités variables suivant les circonstances de la rencontre de la comète avec la surface de la sphère d’activité, par exemple de ®, et os’ qui déterminent la position du point de rencontre et la direction de la vitesse initiale absolue.

90. Simplification de S. — Il est possible de remplacer l'expression (27) par une autre beaucoup plus simple. Je remarque d’abord que, d’après la formule (20), si l’on veut obtenir pour a, le demi grand axe de l’une quelconque des comètes périodiques en question, quelque chose comme 3 ou 4, il faut que S soit voisin de 0,3 ou de 0,4; donc pas trop petit. Or, 6 = 64,9 est assez grand; À? est au moins égal à

(E— 1} = (V2 — 1) = > environ; D,8

BA? est donc au moins égal à 12. Il faut que le dénominateur de l’expression (27) de S ne soit pas trop grand; sin?H, doit donc être petit. En résolvant les équations (30) par rapport à sin Po Et COS9,, on trouve Asin ps —— ({coss'—1)cosH, — {sinc’sin H,,

Âcosp,—— lsinc’cosH, + ({coso'—1)sinH,, ou bien, ces expressions approchées, en remplaçant cos H, par — 1,

(33) ( Asinpo— /coso'— 1 —/sino'sinH,, Acoso,— lsino + ({coso'—1)sinH,.

La formule (27) donnera ensuite, en gardant sin?H, seulement dans les termes multipliés par B,

; (Gi — Blsin’H,)sino, + BXsinH, cos Po.

S (7 À 2 ETES ES B? À* (: D mm) sin?H,

On est amené à poser

(34) y — 073 /:- ge Sin Hs,

et il en résulte

(t+u?)S — {cos — 1 + ulsino’

GE

ou plus simplement, d’après ce que l’on a dit de la grandeur de BA?,

lcos oc! — 1 + ulsin o’ 1 + uw?

Cette expression très simple donne $, et par suite a, en fonction des deux paramètres indépendants 0’ et u. Si l’on fait os’ — 0, u — o, on trouve

SL Vo ri c'est la solution que nous avons recherchée plus haut (page 208). On a (36) E—=Vi+u?,

ce qui donne une représentation de w. Il est facile de voir comment varie S. On a d’abord, quand 6’ varie, le maximum

UE SE y [ + 2

Si pour tango'— u.

On a ensuite Ni Core

cette dérivée s’annule pour

et le maximum maximorum est

il répond donc à uw —1 et s’— 45°. Il en résulterait