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la formule (38) deviendra
/ (40) di —= — = - 3 î 4 m'o" sin W, cost
Vo et #’ désignent la vitesse relative initiale et la vitesse de Jupiter; d’après les relations (39), Ÿ est l'angle que fait l’axe transverse de l’hyperbole avec la direction de la vitesse de Jupiter; A est la distance du point J à la vitesse relative V, et enfin W, est l'angle du rayon JM, avec l’axe transverse. Comme le point M,
est assez éloigné de J, la tangente à l’hyperbole en ce point peut être confondue avec l’asymptote. On peut donc dire que W, et A désignent l’angle de l’axe transverse avec l’une des asymptotes, et la perpendiculaire abaissée de la planète sur l’asymptote. Sous cette forme, la formule (40) est identique à celle qui fait la base du Mémoire de M. Newton.
Ce Mémoire contient beaucoup de résultats curieux, entre autres le suivant, que nous nous bornerons à mentionner :
« Si, dans un certain intervalle de temps, un milliard de comètes arrivent, sur des orbites paraboliques, à être plus rapprochées du Soleil que Jupiter, 126 d’entre elles seront transformées en des ellipses pour lesquelles la durée T
; : 8 I é ; ; ; ; de révolution sera moindre que =T", la demi-durée de révolution de Jupiter;
pour 839, on aura T << T'; pour 1701, SU et enfin, pour 2670, on aura 1 — 21)
On voit que la probabilité est bien faible pour qu’une orbite parabolique soit changée en un coup par Jupiter dans l’une des orbites elliptiques des comètes considérées.
Au surplus, ce qui s’est passé, d’après des calculs rigoureux, pour les comètes de Lexell, de Brorsen et de Wolf, montre que c’est une orbite déjà elliptique qui a été transformée en une autre moins allongée; l’action finale de Jupiter sur une comète parabolique peut résulter de plusieurs approches.
INFLUENCE D'UN MILIEU RÉSISTANT SUR LES MOUVEMENTS DES PLANÉTES ET DES COMÈTES.
92. Imaginons un fluide répandu autour du Soleil, et qui oppose une certaine résistance aux mouvements des planètes et des comètes. Il en résultera done une force dirigée suivant la tangente de l'orbite, mais en sens contraire du mouvement. Cette résistance sera supposée proportionnelle à la surface S de la section faite dans la planète par un plan perpendiculaire à la vitesse, proportionnelle aussi à la densité p du milieu, et à une certaine fonction de Îla vitesse V. Quand on la rapportera à l’unité de masse, on devra mettre en diviseur la masse » du corps considéré. On pourra donc écrire, en désignant par x une constante
R= = SpF(V).
La résistance totale sera mR. Admettons que la densité ne dépende que de
la distance au Soleil; nous aurons S
(1) R— 2P(V)d(r), Dr), her ei
Il s’agit de trouver l'influence de cette force sur le mouvement du corps. Pour y arriver, NOUS aurons recours à la méthode de la variation des constantes arbitraires, et nous emploierons les formules (A) de la page 435 de notre Tome T, dans lesquelles nous devrons supposer W = o, car la force perturbatrice R est toujours dirigée dans le plan de l'orbite; il en résultera d’abord
ainsi, le nœud et l’inclinaison restent constants, ce qui était à prévoir. On devra remplacer ensuite /m'S et /m'T parS, etT,, en désignant par S, etT, TT. — IV.
les projections de R sur le rayon vecteur et sur la perpendiculaire au rayon vecteur, ce qui donnera, en mettant pour (1 + m) sa valeur x°a*,
da 2 à È ' — [Sesinæw + T;(1+ecosw)], dt nyÿi—e :
de | ss LE À COS + e —— VI € |9 sine + T (cosw + > dé na I + eECOSw ds Vi e? À M I :
e = ———|—S,cosæw +T, | r+ 22 |sinw|, dt na 1 + eCOSw de dr e? ds — = —$,+- — = .
dt na? 1+V/r—e dt On trouve aisément esinw È I+eCosw S,=—R — — > T=—-R ) Vi+e+2ecosw Vi+e+2ecosw de sorte qu’il vient da 2R - A Vi+e+aecosw, l n V1 —e?
AE: 2RV1—e? COS + e ee ne Ve 2 g ) dt nt Wie? +2ecosw (2) 3 dP::-:.2R ({i— e }?
RE ones , dt n Vi+e +2ecosw ë dm SN et sin æ de des Vi+e+2ecosw
P désigne le paramètre — a(1 — e?); nous ne nous occuperons plus des perturbations de e, parce qu’elles sont moins importantes, et d’ailleurs faciles à calculer.
On doit remplacer, dans les formules (2), R par sa valeur (1),
R—=AF(V)Y(r), = RAS T+eCcosw (3) ; [V= HV ec0sr,
et, dans les seconds membres, on considérera les éléments du mouvement elliptique comme des constantes.
è NE ; sr On voit que a est constamment négatif et reprend les mêmes valeurs quand on repasse par la même anomalie vraie ww, d
ans les révolutions successives.
Donc a diminue sans cesse, et de la même quantité dans chaque révolution; n augmentera toujours, et proportionnellement au nombre de révolutions accomplies; 1l y aura donc une accélération séculaire du moyen mouvement. W y aura aussi une diminution séculaire du paramètre; mais on ne peut pas se prononcer a priort pour l’excentricité, parce que le facteur cosæ +e, qui figure dans l’ex-
ë de à . à ; pression de =, est tantôt positif et tantôt négatif.
93. Nous faisons maintenant l'hypothèse que les fonctions F(V) et Ÿ(r) sont proportionnelles à des puissances de Vet der,
E(V)=—= Ve béni r RE (4) (A EE Yr)= = he ; Il vient alors D dar ie 2h ee Les Ar Er au PécÉ2eCos Done ) F CS Vr—1 (5) a — —2h(cosa +e) aa A bi Ai Nat ho me
Il y a lieu de remplacer r et V par leurs valeurs (3), et de prendre æ pour variable indépendante, en remplaçant dt par
r?dæ di Na k vP On trouve ainsi 1 da PE < Lib | Ne ra - (1+ + 2ecosw) # (1+ecosæ)7?, a dw RUE de p—1 7 A (Cosw-re)(r+ et + 2ecosæ) 2 (1+ecosw)7-?, (6) . 5 s = — 2h'sinw(1+e+0e cos) 7 (1-ecosæ)1-?, kr—2 = jé F É | bp: 7:
On pourrait songer aussi à prendre pour variable indépendante l’anomalie excentrique z; en employant les formules
k /i+ecosu = a(I—ecosu), =
= LA y Va | — eCOSu | Cosu —€ : li es | COS — — — ; SRE VE re | [—ecosu I —eCosu Ë [— € COS Ë CR A1:
on trouverait aisément
1 da (1+ecosu) ?
a du. TE me (1— ecosu) ?
el
de (1+ecosu) ?
AU.) Pt, (1— ecosu) ?
do : (\+ecosu) ?.
Ta = - sin w es . Vie FU
kP—2 OMR —e) ——.
| PEU nl | a
Mais ces formules (7) sont moins avantageuses que les précédentes.
On voit que l’expression (6) de prend des valeurs égales et de signes contraires quand æ se change en 27 —w ; donc, au bout d’une révolution, & reprend sa valeur primitive. Ainsi, la longitude du périhélie n’a pas d’inégalité séculaire, mais seulement des inégalités périodiques.
On a, maintenant, ce développement toujours convergent
p—1 (8) (1+e+oecosw) ? (1-Hecosæw)1? = À, + A, cosw + À, COS2 +...,
où les coefficients À, et A, peuvent être représentés par les expressions
T p—1 J SIDE A=x f (1+e?+2ecosw) *? (1+ecosæw)7—?dw, T
aT 2 © A5) (1+e +aecosw) ? (1H ecosæw)7-2cosædw.
Les formules (6) donnent ensuite
— pan FAo(1+ ee) + Aie +[A;(Gi+e) +2eA+eA,]cosw +... :
= le?
de
= 2 h [ae + : À, + (a+ea + - A.) COS +.. à ;
d'où, en intégrant,
if da =— ——— [A,(1+e) + A,elw, de —— 2h (ae+ = Ai) æ. 1 — €? ;
2ah 1 d,a—— - [A;(1+e)+2eA+eA,l]sinæ—...,
AN I n de——2h (a + eÀ, + = As) sin —...,
PARENT EEE TRE EE QT NE ENNEMI DE ENPERNEN SRENNOEEPORENENTPPERIE ED MERDE SORTE D SEE SE
