FIGURE DES COMÈTES. — RECHERCHES DE ROCHE
111. Recherches de Roche sur les atmosphères des comètes (Annales de l'Observatoire, t. V). — Roche dit dans l’Introduction de son Mémoire : « Il s’agit d'étudier la figure d’une atmosphère qui enveloppe un noyau de comète et qui l’accompagne dans sa marche autour du Soleil. Cette atmosphère est soumise à l'attraction du Soleil, à celle de la comète elle-même, et elle peut avoir un mouvement de rotation. Sous ces diverses influences, il doit arriver que sa forme change d’un moment à l’autre: elle ne présentera pas, en général, une figure permanente. Mais, si l’on admet qu’elle prend à chaque instant la figure avec laquelle elle pourrait être en équilibre en vertu de ces forces, la succession des formes ainsi calculées représentera, au moins approximativement, les variations que l'atmosphère de la comète éprouve réellement. La question, ainsi ramenée à un problème de Statique, devient abordable par le calcul. »
Soient, à un moment donné,
O le centre de gravité de la comète;
æ0Oy le plan de l'orbite qu’elle décrit autour du Soleil S que nous supposons situé sur l’axe des y, à la distance OS — 7’;
æ la masse de la comète ;
M celle du Soleil;
LD pr
æ, y, 3 les coordonnées d’un point quelconque M de l'atmosphère de la comète: OM = r, MS — À:
w la vitesse angulaire de la rotation de la comète, rotation que nous supposons s'effectuer autour de Oz.
Pour étudier la figure d'équilibre relatif par rapport aux axes Oz, 0y, OZ. que nous supposons liés à la comète, il faut tenir compte des forces accéléra-
trices appliquées en M, qui sont :
MA — Fa dirigée suivant MS, a eo :
MC= 5) dirigée suivant MO, M Le MD — 7 ) dirigée parallèlement à SO,
F MB—wxMQ, dirigée suivant le prolongement de QM perpendiculaire à Oz.
Les composantes X, Y, Z de la force accélératrice totale seront
æ æ à X——/M Fi JU or 2e M Le MT fe + or — 5 Z =—fM FU — fh =
On a (1) A—ax+(r— y} + 2.
La condition de l’équilibre est, en supposant la comète fluide, X dx + Y dy +1d: —0;
en remplaçant X, Y et Z par leurs valeurs précédentes, et intégrant, il vient
fM (x — 2 + + : (x? + y?) = const.
La formule (1) donne A—r2+r—ory,
\ 14 \ ® d’où, en remarquant que u et sont tres petits,
En substituant dans l’équation (2) il vient
Be T IV 7e DA [I FM T—) + LEE Lor(xt+ 4) = const,
ou bien
(D ee
Nous avons représenté ï par 77 qui désigne ainsi la masse de la comète rap-
portée à celle du Soleil. Soient w l’anomalie vraie de la comète et p son paramètre; posons
(4) ee 7
Nous avons, d’ailleurs,
et il en résulte
ee
LM r'3?
en faisant
L'équation (3) devient ainsi PRICE «2e 2 2
(6) 27 Er 2m ss yh PA Le
Si la vitesse de rotation de la comète est égale à la vitesse angulaire de son mouvement de translation, on a
ME on remarquera que, d’après la définition (5) de A, on a
OR he
h — 2 au périhélie et À — o à l’aphélie, en supposant la comète parabolique.
En donnant à 7’ des valeurs successives, de + « à 5? On aura les diverses
formes de la surface extérieure de la comète; on voit que cela revient à sup-
poser que la comète décrit une série d’arcs de cercle ayant pour centre le Soleil, ce qui n’est vrai, même approximativement, que près du périhélie ou de l’aphélie (*). La théorie est certainement très imparfaite; et encore, il n’en faudra pas appliquer les conséquences lorsque la queue de la comète se sera développée, car cela indique l'existence d’une force répulsive dont nous n'avons pas tenu compte. |
Quoi qu’il en soit, nous allons discuter l'équation (6). |
En donnant à C une série de valeurs, on obtiendra l’ensemble des surfaces de
niveau. On peut remarquer qu’en adoptant Le pour l'attraction de la comète sur
un point de l’une des surfaces de niveau, on suppose implicitement que l’on ne tient compte que de l'attraction du noyau, et même qu'on suppose ce noyau sphérique.
112. Discussion des surfaces de niveau fermées. — On voit immédiatement qu’elles admettent l’origine comme centre. Prenons des coordonnées polaires, en posant
LT SinbOCos, Jp —=rsin0siny, 2 —TCOp.
L'équation (6) deviendra
sin?0(yh+ 3 sin?) —1 2m à (7) Fr? Œ ME b) AE ar 00:
Je suppose, conformément à l'observation, la nébulosité à peu près sphérique; la dérivée du premier membre, changée de signe, est, à un facteur con- | stant près, égale à la composante de la pesanteur suivant le rayon vecteur; donc, si la surface de niveau est intérieure à l'atmosphère, on doit avoir
sin?0(yh+3sin?d)—1 mm ; (ne ln
On en conclut que l’équation
mr'è
(8) pe
sin?6(yh+ 3sin°d) —71
représente la surface limite, au delà de laquelle toute molécule tend à s'éloigner du noyau, et, par conséquent, ne saurait faire partie de l’atmosphère proprement
(1) On a
dr’ de fM —— = CSInw —— ° dt
RE Ed
ET CPR
dite. Le plus petit rayon r; de cette surface répond à d — 0 — 90°; il est dirigé
suivant Oy, et a pour valeur
nn (9) =
Les rayons vecteurs des surfaces de niveau intérieures à l'atmosphère doivent
être tous plus petits que r,.
Discutons maintenant les surfaces de niveau fermées. Soit F le premier
membre de l’équation (7), on aura
OF Or. OR. 2.
De do re sin 0 cosô(yh+ 3 sin?d), oo sin?0 sind cost — — = —— e (ap) U, or où PS
On en conclut que le plus petit rayon R est dirigé suivant l’axe de rotation Oz, et le plus grand R’ suivant Oy, donc dirigé vers le Soleil. Soit R’ le
rayon dirigé suivant Ox. On aura
RhR <R:
LCR 2m —0, DO, R'3 (10) Grinan Ti ie at
\ (2+7yh) ec AM = 0; 0 — 90°,
= ou?
On doit avoir, comme nous l'avons dit, R°<7,, d’où, en remplaçant r, par sa
valeur (9),
FT 3 m 2+yh
(11) m>@+rn (Re),
d’où 7!
et, a fortiort,
JENES (12) m>2() .
Si l’on admet que le contour que nous voyons à la nébuleuse est l’une des surfaces de niveau intérieures à la surface limite, en désignant par R le plus grand rayon de ce contour, l'inégalité (12) devra être satisfaite, et il en résul-
tera une limite inférieure de la masse de la comète. JE À
Posons > I!
R R o! — RP ! == FR 0 — ç! = AU Rs À DE
les équations (10) deviennent
168 + CR'r'— 2m — 0, (13) { (1—7yh)Às "8 + CR'v"— 2m —o, (2+yh)A —CR +2m—o.
En éliminant À et CR’, il vient
p'p"(o! = ur) our o!2 se: p/2 des pole 2
pl— pl — 031 — 6!)
LT — = nr
On peut aussi éliminer y et R' entre les équations (13), ce qui donne
(19) 2m (100) ( + pl + pla op — ) — A0" [3 0"2— 612(5 — #2).
Lorsque la surface est très voisine de la sphère, les équations (1H) et (as) peuvent être réduites à
el — p!
(16) RO y
(17) ma v)= IX
Examinons les deux cas limites de yh = o et yh — 2.
1° y} — 0. L’équation (6) devient
(18) 2. EE — TE Va? + y°+ 3°
les surfaces de niveau sont de révolution autour de Oy. Ce cas se décompose en deux autres; d’abord À — 0, d'où r’ = æ; l’équation (18) se réduit à
les surfaces de niveau sont des sphères comme cela devait être. Soit maintenant
Y—10, d'où w — 0; en faisant ’ — &’ dans l’équation (15), 1l vient
2m pit 20"
