CRAFT
racine ?, comprise entre 2b et 30. Enfin, si dans l’équation (39) de la surface X on remplace 6, n et C par
E— p cos0 cos, n—=p cos? sin, É—psin6,
on voit aisément que p est une fonction décroissante de 0 et de Ÿ quand 6 et Ÿ croissent à partir de zéro. On en conclut que le rayon p de la surface X est tou- Jours compris entre p, et p,. Si la condition (41) est satisfaite, on aura, a fortiort,
Sp?
On retrouve ainsi la condition de stabilité de Roche [formule (rr) de la page 249 |, pour YA —1.
Au surplus, l'équation (6) de Roche (page 247) coïncide avec l’équation (39) du présent Chapitre, quand on y fait
PRET EN, VE, Fa Si la vitesse de rotation est égale à la vitesse de translation, nous aurons Y ES
la valeur de 2 ou £ est d’ailleurs égale à 1, quand on suppose l'orbite du noyau
circulaire; dans ce cas, y} — 1. On peut se rendre compte de l'identité des surfaces de niveau et de la surface Z; car en écrivant l’équation V?— o, on obtient une des surfaces de niveau. La discussion de la surface Y avait donc été faite déjà dans le Chapitre précédent.
193. Du cas où l’orbite du point M n’est pas supposée circulaire. — Il serait intéressant de voir ce que deviennent les conclusions de MM. Charlier et Picard quand on suppose que le centre de gravité de l’essaim décrit, non pas un cercle, mais une ellipse ou une parabole, ce qui arrive en réalité. Malheureusement, les choses se compliquent, surtout quand la particule est extérieure à l’essaim. Supposons-la donc intérieure, et remontons aux équations (30). Nous aurons
Ü—=un6, R=na,
de sorte que les équations (30) deviendront, en désignant par / l’anomalie moyenne,
| dE >aVap dn ED : 2aVap. dr HU | az For nn Per re (43) he V d 3 2 V d nl 2aVap dé &{[p. ayap, dr :
Fer dl .. in A en
Ces deux équations du second ordre, et sans seconds membres, sont linéaires et à coefficients variables; mais ces coefficients sont des fonctions périodiques de /. On sait qu’on pourra les intégrer par des expressions telles que
—+ co
= YA, cos(À + 7l),
Eh: À clac,
ee > B;sin (À + 7l), où les coefficients c, A; et B; sont des constantes, dépendant de l’excentricité e de l'orbite du noyau et de constantes arbitraires; c, est aussi une constante arbitraire. Formons nos équations, en négligeant e*; nous aurons
p=a(i—e?), r=a(i+ © —ecost— Fcosat);
d’où D.
— 1 +26 COs/ + —-e?cos 21,
aVap r2
\ + 2) — 3 + 5e? + 10e cos l + 16e?cos 21,
dr ; Des — —=esin/+ -esin2/, dl 2
S I J }=ecost+ = or 5 € cos2l;
les équations (43) deviendront done
| d? a) d' ee +a(i+accost+ etcosal) 9 — (3 + 5e + 10e cos{ + 16e?cos2/)E
— 2 (esint+ 2etsinal) n + pi =;
ii dëË 1 5 ol r492ecosl + -e Ccos21 cie ecosli+ -e+ —e?cos2l "1 2 ! 2 3
2 (esin/+ etsinal) £ + pr 0,
En substituant les expressions (44) dans les équations (45), tenant compte de ce que A4, et B., seront de l’ordre de e, A., et B.,, de l’ordre de e? ;
à zé ci sin sin sin en A ZE : = + 2/ c en égalant à zéro les coefficients de HR tt), cos (A € 24), on trouvera des conditions de deux sortes donnant, après l'élimination de A4,, A:,, Bu, B.., des relations de la forme
JL À, —+ LE B, == , L'A, + WEB, 0;
matt
les coefficients &, 1, &’ et w” seront des fonctions rationnelles de c; on en déduira Bi xA,
(46) (ce, p)—o.
Ainsi, tous les coefficients seront des fonctions linéaires de A, qui restera arbitraire; cette solution contiendra donc les deux arbitraires A, et c; mais l'équation (46) donnera deux valeurs utilisables pour c; à la seconde racine correspondront deux autres constantes arbitraires, ce qui complétera le nombre de quatre constantes arbitraires, nécessaire pour avoir les intégrales générales des équations (45). On voit aisément que l’équation (46) sera de la forme
(Ce, Leo.
En écrivant que les deux valeurs de c? fournies par cette équation (du moins les deux qui restent seules pour e — 0) sont positives, on aura une condition
qui sera de la forme u>3+He.
Il faudrait obtenir la valeur de H; mais ce calcul, que j'avais entrepris, est assez compliqué.
