MÉTHODE DE CAUCHY POUR LE CALCUL DES INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES

124. Origine de la méthode de Cauchy. — Le Verrier avait soumis au jugement de l’Académie le calcul numérique de la grande inégalité de Pallas, qui dépend du terme en 18° — 71, où let /’ désignent les longitudes moyennes de Pallas et de Jupiter, et dont la période est d’environ 800 ans.

Cette inégalité est du onzième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ; elle se trouve néanmoins très sensible, à cause de la petitesse du diviseur 18n'— 7n qui entre au carré dans la perturbation de la longitude moyenne. Le Verrier avait obtenu (*) l’inégalité en question par un double système de quadratures numériques relatives à / et /’, et il avait trouvé que l’inégalité s'élève dans son maximum à 895”.

Cauchy était le rapporteur de la Commission académique; il était désireux de contrôler les longs calculs numériques de Le Verrier, mais ne se souciait pas trop de reprendre tous ces calculs par le menu. C’est alors qu’il imagina en quelques semaines la méthode très remarquable dont nous allons traiter dans ce Chapitre. Il l’a développée dans six Notes, ajoutées à son Rapport sur le Travail de Le Verrier (Comptes rendus, t. XX; 1845); il a pu vérifier rapidement le résultat obtenu, de deux manières et à l’aide de deux méthodes différentes: il a trouvé successivement 900”,6 et 906”,3 pour le coefficient de l’inégalité, et il remarque que la petite différence de ces deux valeurs avec le nombre 895" est seulement de l’ordre des erreurs que pouvait amener l’usage des Tables de logarithmes à sept décimales, dont Le Verrier s’était servi.

Les Notes de Cauchy présentaient une concision qui pouvait arrêter quelques lecteurs ; à la demande de Le Verrier, M. V. Puiseux en fit une exposition claire et détaillée, dans le Tome VII des Annales de l'Observatoire de Paris : il étendit be net 1

en même temps les résultats de Cauchy à la seconde partie

fonction perturbatrice.

(1) Les calculs de Le Verrier ont été reproduits dans le t. I des Annales de l'Observatoire, p. 397-418.

La méthode de Cauchy est avantageuse, surtout quand on considère les inégalités à longues périodes provenant de termes dans lesquels figurent des multiples élevés des longitudes moyennes.

125. Nous considérons deux planètes P et P’, et nous proposons de calculer le terme de la fonction perturbatrice du mouvement de P’, qui dépend de l'argument

où » et »’ désignent deux nombres entiers. Pour éviter une confusion de lettres, nous représenterons les moyens mouvements par x et w’, les masses des planètes par m et m' (celle du Soleil étant 1), et par a et a’ les demi grands axes; nous aurons donc

pa = f(i+m), pra fm On aura ensuite

di LH EICOEO (1) R= fm (3 PRE ) din 5 0h tie. 3 0R an lat jh

3 OR (2) foea=- [a [ET

ET est l’inégalité de la longitude moyenne que nous nous proposons de

calculer.

Hi COS: , À : :

La fonction À — —%- étant développée suivant les sinus et cosinus des mul-

tiples des anomalies moyennes, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives et négatives des exponentielles EW-' et EfV-', où E désigne la base des logarithmes népériens, supposons qu’on y ait trouvé le terme

A», —n ECS -n£) V=1 ; de sorte que 4) R = fr A, Et $-nt) anse 5e

il viendra OR

7 UN Ne brev

en substituant dans (2), regardant les éléments comme constants, et intégrant, on obtient

ô OR AE 3fm'n AGE Et t-n0 Vi, a? O6 @(n'u'— np) : SE ee Ne fe dt = sie ë An',=r - qe 1 ECT-r6 V1, ; der Don 12)"

Cette inégalité est imaginaire, Mais elle deviendra réelle en associant au terme considéré le terme conjugué. Soit