A0, — JE
on aura, en considérant les deux termes ensemble,
RACE nT less LD Fe SE, Es (n'U=nt+Q) V1 F-(nE-n6+Q) V1 [ana Are ne np 1[E E + LÀ ou bien Le iii n , fra pp SIDCR'E RE + 0), pe? ai ou encore, en remplaçant f par =>
fèua=: se (rt) naNsin(n't — nE + Q).
nm F- — nr l
. . , Er, . : . I .
Pour avoir l'inégalité en secondes d’are, il faut introduire le facteur ——;; si ? sin 1”
l’on pose ! 2 — ie T (rot) na, SIN TT 7 QU np.
(4) on aura = faute Vor sin(n'é — n6t+Q).
Le plus souvent, le second terme de la fonction perturbatrice, — nr ne
donnera rien de sensible; de sorte que nous pourrons nous contenter de déve-
lopper x
196. Expression de A? en fonction des anomalies excentriques w et u' des deux planètes. — Soient x et 7’ les distances angulaires des périhélies à l’un des points d’ intersection des deux orbites, æ et w’ les anomalies vraies, 1 l’inclinaison mutuelle; on a
A=r+r2—orrcos(r,r'), cos(r, r')—= cos(w +) cos(w/+ 7!) + sin(w +T)sin(w'+ r')cosi,
d’où il résulte
A r?+ r2— 9Mrcosw.r'cosæw'— 2Nrsinw.r'sinw!
(9) — 2P.rsinw.r! cosw — 2Qrcosw.r'sinæ", {M— cosrcosr'+ sinr sinr' cos, | N— sinrsinr/+cosrcosrt/cosi, (6) { | P ——sinrcosr/ + cosrsint'cosi, | Q
— costsint'+ sinrcosr' Cosi.
On a d’ailleurs, en désignant par e et e’ les excentricités,
| r'COSw — a(cosu — e), r'cosw'— a'(cosu!'—e!), (7) r-Sin # — NT e?sinw, r'sin = a! \/1 —e"sinu', 7 — a(i— ecosu), 1 — a'(i —e/cosu').
En tenant compte des relations (7), l'expression (5) de A? devient
A— b+ccosu + c'cosu'+ dsinu + d'sinu' + icos2u + td cos2u
+ fcosu cosu+ g sinu sinw+ sinu cosu' + h' cosusinu',
où b, c, …, h' désignent les fonctions suivantes des éléments elliptiques, qui seront calculées une fois pour toutes :
J b=a+a?+ (ae + ae? — ,Maa'ee'),
I à I D=vndie, ee (7 Ge | 2 2 f =—2Maa, g=—2Naa Vr—eV/i—e, (9) nn” Se h—— 2Paa'V1—e?, h'—— 2Qaa!'V1—e", c——2ae— fe. c'=—2a"e!— je, d—=— he, d'=——h'e.
Si l’on pose, en mettant en évidence ce qui se rapporte à la planète P', H—=b+ccosu +dsinu+icos2u, (10) { Kcoswo —c'+ fcosu + hsinu, Ksinwo—0'+gsinu+ h'cosu, (11) æ'— E" vi, on trouvera sans peine que l’expression (8) de A? devient | A? —#H + : K(x'E-vv-1 + æ''Eov—i) + 2 DURE mie) 12 D(x' (12) D 2 id, 22% tar) =rar KR r" E-0V— +2Hx?+Kzx'E0v-t+ 5.
Les quantités H, K et w sont des fonctions de l’anomalie excentrique de la planète troublée.
| 127. Problème auxiliaire. — On va décomposer en facteurs du premier Î !
degré le polynôme (x), qui est du quatrième degré. Soit
282 CHAPITRE XVIL.
l’une des racines, a’ et o’ désignant des quantités réelles, et a’ > 0. En substituant cette expression dans l'équation ®(x') — o, égalant à zéro la partie réelle et le coefficient de ÿ— 1, on trouve aisément
LÉUEE I ne 1 H+ -K (a+ ” COS(D'— &) + — (ar mn) COS20 0, à a! 2 (13) K ‘8 1 1 ! L T4 12 1 1 !
d— —)SIN(? —w)+-1 | at— — |sin2o—0o.
: : : À I nr Ces équations restent les mêmes quand on change a’ en > Sans toucher à 9’; donc les quatre racines de l’équation &(x')—o pourront être représentées par
Er à J Fr Nes (14) a'EPN1, n ETV", b'ExV-1, Le
He = EXxv-1:
pe :
b'et y’ sont réels, b'> 0; on peut prendre b'£ a 1.
I y à une relation simple entre ©’ et y’. En effet, le produit des racines (14) doit être égal à 1, d’après la forme (12) de la fonction ®; on en conclut
EC9+2% V=1 1, o'+ TV — VT,
v étant entier. On peut prendre y — 0, ce qui donne y'= — 9, et les racines (14) deviennent
a'ErV, EVA, DE-9Vi, LE-9V; à bi ?
si l’on avait y — tr. il en résulterait $)
ce re Fa e A— — pl QG atc'E-9v-5) (1 — a! æ'1E8v-1) (14 b'x'Erv1) (i+b'&/1E-?v—5), ce qui est impossible, le second membre étant toujours négatif.
En écrivant que, d’après l'expression (12) de ®(æx’}, la somme des racines, ou les sommes de leurs produits, 2 à 2 ou 3 à 3, sont respectivement égales à
R — 2 H K — a E-® un de = Evv-1, on trouve 2H : ee. ri —.- — 2C082@ + ab! + + == + —;) L Î { 14 ] ! a’ K —— I Peer — (15) {RE eV as =) Er VS + (pe L\E-ev l a b' :
K n ES : ! [ 7 ! I m'a) == à povVel— (a De F3 K—?v-i + b ne P' E? v—1 3
Les deux dernières de ces relations peuvent être remplacées par
K I 1 600 — (a+ — + b'+ n) cos®", u a b
K . AA , ASE tr — Sin o—|b+=— a ——)sino'; L b a on en déduit
7 Heat (res) 73 COS20 = |([a +) +([b'+—ë° a D
Si l’on pose
I LEE a/ b' (LB) Ji Cos29", =; (er + Es) Lite (D +S)
I I cos20'+ 92 [a + — pt a LE
on trouve aisément, en vertu des relations (15) et (17),
H HU JT ls 0
Va92 TV Ys + YaYa — AE K°? H V1Y2Y 3 — AE COS 20 — n
Donc y,, y, y, sont les racines, nécessairement réelles, de l’équation
ee. ne ee (19) 2 nJ LE AE RU ie SO O0
Jiest 1, y: ety, > 1; on a d’ailleurs y, > y,, car cette inégalité revient à
SL = ; Ge (Je »
ab’ b' da
ou à (1— a%)(1—b=)> 0,
et cette dernière inégalité est vérifiée. Donc l'équation (19) aura toujours ses trois racines réelles, l’une < r, ce sera y, ; Les deux autres > 1; la plus grande de ces dernières sera y.
Il est commode de résoudre numériquement l’équation (19) par la trisection de l’angle. Pour y arriver, nous ferons
(20) Y=- + YcosU,
Y et U étant deux inconnues dont l’une, Y par exemple, reste arbitraire. En portant dans l’équation (19), et faisant
[2= 3 CV je —2) + gr cosae,
Y# cos U — PY cos U — 9 — o.
on trouve
En remplaçant cos°U par
cos ÙU = = cos 3 U + - cosU, Ja 4 in il vient Y3 cos3U + Y(3Y?— 4) cosU — 49 — 0, ou bien
cos3 U — cosu, si l’on pose
{ H P U 3j! 2 3 COS 3?
(22) He < œ 2T—V ST so 3 ;
L'expression (12) de A? donne ensuite
— il re si 7 b' (ï ue a'x'E-#v-1) : (x — a!æ'1E9 V1) 4
out MISE ei Do) (rpm)
128. Calcul de à’, b’ et ©’. — On distinguera immédiatement y,, y: et y, dans les trois racines (22), d’après les conditions
