PROPERTIES PE
déduit de la réduction de Ë en fraction continue, en cherchant les réduites
: ï À : TE ON) qui conduisent à de petites valeurs de "+.
On calcule Y par la formule (4), *, +’ et [ par des formules bien connues, en résolvant un triangle sphérique. On détermine les constantes c, c', d, d’, f, g, h,h',1etx par les formules (6) et (9).
Tous les calculs précédents sont faits une fois pour toutes.
On détermine ensuite le nombre entier # comme nous le verrons plus loin, et, pour les £ valeurs de u,
O5 ere 2 Ne) Ck— 5) À;
on calcule 6 par la formule £—=u—esinu,
5 DE AT ER RE EE Fe ae par les formules (10); DO A Sao e a di a » (21); DS SR CR CRE I CRUE te » (22); EE CS ee ue » (25) et (16); Une série de valeurs de 4’, et 1b!,... » (as )ret(as:); Une série de valeurs de F et G..... » (45),
les valeurs J,, J,,... qui dépendent de l’argument —,
NOR Rte A er te ie par les formules (46); D IR EC RE RS PE ri » (47); Delon noce no ue lies » (4).
On voit qu’en somme, on a déterminé À par des calculs analytiques, et par une interpolation répondant aux # valeurs de w considérées ci-dessus.
Dans le cas de Pallas (P) et de Jupiter (P°), on a 2 = 7,7 — 18; Cauchy trouve qu'il suffirait de prendre # = 29; il adopte # — 36, de sorte que les valeurs attribuées à w dans la suite du calcul sont les multiples de 10° inférieurs à la circonférence. Les transcendantes de Bessel qu'il y a lieu de considérer ont pour valeurs
5 = 0,820 707 40, Jo 0001 199 07, J, — 0,393 993 00, J, = 0,000 008 97, J, — 0,088 236 48, J; = 0,000 000 56, J, —=0,012.9{7 79, Jy — 0,000 000 03, J, = 0,001 416 46, J, — 0,000 000 00.
Cauchy forme ensuite les deux produits
10° Vcos(e+ 97€) et 10°Vsin(r +9),
pour chacune des valeurs de & multiple de ro°; il trouve qu'ils se réduisent sénbiblémentS 2610 AOF — 0,10, .., 1305 )10°, 3209, ,... 3509, tandis que les autres valeurs sont Les suivantes :
u. 10° Vcos(v +36). ro Vsin(v + nt). u. 10°Vcos(v—+ 76). roVsin(o+t). FE Ja) /
AO —- 6 + II DID: 17377 — 9445 OO + 28 — 13 DAO ELU + 7720 — 15267 FOOD a: — 15 — 85 DODON CIE — 2200 — 9932 RyD) PRIE — 2928 — 85 200 0. — 3664 — 22928 TSO RER — 581 + 351 DO a — 1241 He 00 190, ::.° 0 + 1766 DER + 10 + 345 2000 + 1652 + 4184 DUO LE + 95 —- 8 AO + 9753 —+ 5469 00e — 2 + 15 DIODES I. -+15902 5 002
En ajoutant les nombres compris dans la deuxième et la troisième colonne, on trouve
10SV cos(s + 76) — +42 100, 10°SV sin(e + 7€) — — 23599, d'où 10! M cos Q — + 11694, 10 I sin Q — — 6500, 10102 JL — 26759, Q— — 29°3'55",
etcomme on a log Y — 8,831 00, Cauchy obtient enfin pour l'inégalité cherchée, 06 — 906,6 sin(186/ — 76 —29°3/55").
M. V. Puiseux a trouvé que le second terme de la fonction perturbatrice réduit le coefficient à 905”, 7.
132. Calcul de £. — Si l’on veut que le module de A;., ne soit pas en erreur d’une petite quantité 0, il faut, d’après la formule (42), que l’on ait
(48) modp < 9,
et, pour qu'il en soit ainsi, il faudra prendre # assez grand. Nous voulons fixer la limite inférieure de £. Reprenons les formules
I LE l (49) — E-" tv dt! > Da Ha fa 27T se n o ; (00) S — à. 12 HE 7, An ne Az» me 2, APE A0 0 (o I ) 1 A, Ex I J — = VE se 22, :
| Cherchons une expression approchée de X, ; l'expression rigoureuse est pa- | reille à celle de ;.. Si l’on pose
H'= 6 + c'cosu' + d'sinu' + i cos2u!,
| (52) K'cosw'—c + f cosu' + h'sinu', K’sin w'— 9 + g sin «' + hcosu!, on trouve aisément, en se rapportant à la formule (8), 2— H'+ K'cos(u — w') + icos2u.
On aura ensuite, en faisant E“-'— >, ; ab, er on Ware | ie. — (1— ax tE?v—!) (r=axEe/ 1) À 0 | DRpe Cr | ee ba LRU) (1—bzE-t/) Le | On pourra calculer a, b et © pour une valeur donnée de w’. On aura ensuite È 2 à ) o VE | dd. a. C —— (ab ET. ..), , 9 ll NN et, en négligeant —, on pourra se borner à [A2 TMD D) Car y —= 7 RE) 2.4...2n Vi — a?
1:0.2:(92727):11D7 ne mu = £ DT ee 01 Nr be Or, la formule de Stirling donne En +) 3 — ZE OS.
ne =4/: M ne er:
Il en résulte a” bb, — =—— ; VAaT(i— à?) | b est de l’ordre de e?; en négligeant e?, on pourra prendre | Ê
Vi, Ub, 0, DOUR RNA, RES
Il vient donc simplement
eo (aE-#=) CUVE Vrac
À,..,est le terme principal de l'expression (50) de s; nous prendrons sim-
plement s = À = > (a E-9v—1)#-n+ — A k—n+l — ; ns + u V(A—n+t)r(i—)
et même, en tenant compte de ce que l'est petit par rapport à k — n,
(53) — 2? (aE-9/—1 )4-r#t ” ‘ VCÆ— n)r(1— 2
Revenons à l’expression (49) de p. On aura
+T I : l mod p < =. dé! x Le maximum de DA — :) ] —T t
AVE (au Du
n L VCk— n)}r(i— —
U AE (>) J,(aE Pr DIE
donne, pour 3 = aE %"",
ne
> (- JG) = FE ce e 2 (ar + at En) |:
e est assez petit; on peut prendre
€ Æ mr) Es
il (Mans Eu) LE D?
Sr
un: 1 LES)
et il en résulte, en négligeant e?,
2 Ce se =) J (EE ET
En portant dans la formule (54), il vient
DIRE DCR ES de me + n V a
, Ë V(A— nr — a?)
Le module de cette expression est
S —1 +1 ak—n re di
MÉTHODE DE CAUCHY. 207 On a donc
mod p< maximum de /
2 ab at" E\ EL a)ecso U VUE net)
Cherchons ce maximum; a, b et © sont seuls variables et dépendent de w qui varie de o à 27; # — n étant grand, le maximum en question répondra sensiblement au maximum à, de a; soient b, et ©, les valeurs correspondantes de b et de ©; on pourra prendre
É WtA= H)nte jai)
Supposons a,, b, et o, déterminés, et posons
RENE RÉAL à
(55) A = / 22 en
L Un 4) la condition (48) pourra s’écrire
k-—n D VE n
ou bien 56 k log — -+ = log(k — (56) (K—n) age me 10) se
Telle est l'inégalité qui devra être vérifiée; on voit que son premier membre augmente avec #; il suffira de prendre la plus petite valeur de # satisfaisant à l'inégalité.
133. Calcul de a,, b, et #,. — On peut calculer explicitement ces valeurs quand on néglige les secondes puissances des excentricités et de l’inclinaison mutuelle. Les formules (6) et (9) donnent alors
| M—N—cos(Tr— 7), P——Q—sin(r —7),
f=g——-2aa'cos(r— Tr), h——h—2aa'sin(r—7), (57) b = a? + a", l—\0: O0, c——2a[lae—a'e'cos(r—7!)], c'—— 2a[a'el — aecos(r— Tr')], d—2aa'e'sin(r —+), d'—=2aa'esin(r — Tr).
Si l’on pose
| ae — a'e'cos(r —7') — À cos«, : $ A >, a'e'sin(rt—7t') = A sin o, (58) a'e'— ae cos(r — t') = A'cosa', A'>0, \ — ae Sin (Tr — 7’) — A'sin &',
on tire aisément des formules (52), (57) et (58)
(59) H'— a+ a'?— 2AÂA'a'cos(u'— a’), (6) { K'cosw'——2Aacosa— 2aa'cos(u'+t'—t), O 4 | K'sinw'——2Aasinx—2aa'sin(u +T —7+).
À est de l’ordre de e et de e’; en négligeant le second ordre, on a
K'?—4a?a/?+8Aaa'cos(u —x+T —T), |
(61) K'=aaa |1+ Pos(ut—a+s—)|.
On tire d’ailleurs des formules (58),
À cos(æ+T—T')—— A'cosa,
Asin(æ+T—T)—— A'sin a", d’où
A— A, atT—tT'=ax+m.
La formule (61) devient donc z A' Ka |: — Tr cos(u'— a),
et, en combinant cette formule avec la formule (59), on trouve
! 2 12 A! DTA (62) 2H a+a E Â' a a
K' aa! a a +a"? ee ] à Mais en négligeant e?, l'expression de A* se réduit à
et, en écrivant que cette expression s’annule pour æ = aE*"-", il vient
—— Eee !
a d’où 63 Ne P 2H FR 2H En remplaçant -- par sa valeur (62), on aura à I a a! ad? — a'?
(64) RE NT 4 Cos(u’ — æ').
: F Gi sur , Supposons a >> a’; alors a différera de — d’une quantité de l’ordre de A’; on trouve sans peine
On voit que le maximum a, de a répond à
Les formules (60), (63) et (65) donnent ensuite
K'coswo" ——2a(A +a!)cosæ, K'sinw'——2a(A + a')sin «, d’où D'—=at+T, (mn À On a enfin
Ainsi, en résumé,
a! A' u A' a =d!; ee = Di — Re |) + ( +%) io é A | æ)
On trouverait de même
à a A' Û Â' a< 4, ns er ? Pi—a+T, bi er de
Cela fait, on calculera À par la formule (55), et la limite inférieure de # par l'inégalité (56).
Il va sans dire que les derniers calculs, qui aboutissent à la valeur de #, doivent être faits avec peu de précision; des Tables de logarithmes à quatre ou même à trois décimales suffiront.
Cauchy a donné une méthode abrégée pour le cas où n’ étant considérable, l’excentricité e’ est très petite; l'emploi de cette méthode rapide lui a donné, pour le coefficient de la grande inégalité de Pallas, 906”,3 au lieu de 906,6. Donnons seulement le résultat de la simplification, renvoyant pour la démonstration au Mémoire de M. Puiseux. Ayant calculé a’, b' et o’ pour chacune des & valeurs attribuées à l’angle Ÿ, on calculera l’angle # en secondes d’arc, par la formule
"') e'sing'— n'o",
