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Ayant obtenu V ete, le calcul se termine comme précédemment.
Le lecteur pourra consulter encore, au sujet de la méthode de Cauchy, un Mémoire de M. Bourget, Sur le calcul des divers termes du développement de la fonction perturbatrice et de ses dérivées (Annales de l'Observatoire de Paris, t. VIT), et un Mémoire de M. Hoüel publié en 1895 (Paris, Gauthier-Villars), Sur Le développement de la fonction perturbatrice suivant la forme adoptée par Hansen dans la théorie des pentes planètes. Ce Mémoire se termine par des calculs numériques relatifs aux perturbations de Pallas par Jupiter; l’auteur y donne un certain nombre des inégalités de la longitude moyenne de Pallas.
Citons enfin, pour terminer, une Note de M. O. Callandreau, Sur le cal cul des inégalités d’ordre élevé (Comptes rendus, tome CXV, page 386), dans laquelle l’auteur montre que la série (26) de la page 287, donnée par Legendre
, ° 9 1 pour représenter la valeur de e,, et qui n’est convergente que pour à? < «
jouit des propriétés de la série semi-convergente de Stirling, de sorte que la méthode de Cauchy peut toujours être employée avec sécurité, même dans le cas
’ ] assez fréquent de &« > ——:
134. Nous nous proposons d'exposer dans ce Chapitre les principaux résultats du beau Mémoire de Jacobi, intitulé : Versuch einer Berechnung der grossen Ungleichheit des Saturns nach einer strengen Entwickelung (Astron. Nachr., t. XX VIII, n% 653-654, et Œuvres complètes, t. VIX, p. 145).
Soient
a, e, 1, lle demi grand axe, l’excentricité, le moyen mouvement et la longitude moyenne de Saturne;
a',e', W, l' les mêmes quantités pour Jupiter. Il s’agit, en somme, de trouver dans x les termes qui dépendent de 27° — 54,
A désignant la distance des deux planètes. En partant des formules du Chapitre “ P P P précédent, on a pour A? une expression de la forme
A?—(0)—(1)cos(u—u +D)+(2)cos(u + B)—(2')cos(u! + B)
I pit + — a?e? COS2u + : a’’ecosau'+(3)cos(u+u + C),
les quantités (1), (2), (2°) et (3) sont supposées >> o. En se reportant aux notations du Chapitre précédent, on trouve aisément
(1) cosD == (f+8), (1) sinD = > (A—k'),
(2) cosB = c, (2) sinB= — 9,
(2/)cosB'——c", (2a'}sinB"= 9},
(3) cosC = = (f—8) (3) sinC =—{(A+h');
d’où, en mettant pour b, c, ..., À’ leurs valeurs (9) du Chapitre précédent,
(o) Ad : (ae? + a"e"?— 4Maa'ee'), (1) cosD — aa (M+NVi—e Vie ) (1) sinD — aa (Qyr—e?—pPya re);
(2)cosB —=2a(Ma'e! — ae), 2) (2) sinB ——2Paa'e 1 —e?; (2!) cosB'— 2a'(a'e — Mae), (2!/)sinB'— 2Qaa'e/1—e"?; (3) cos C —— aa (M—NVr—e re"), (3) sinG = aa (Py1—e + Qi —e).
Nous récrirons d’ailleurs, pour plus de clarté, les valeurs de M, N, Pet Q,
M— cosrcosr'+ sinr sinr/ cosi.
(3) N— sinrsinr + cosrcosr'cosi, P —=—sinrcosTr'+ cosrsinrt’ cos, Q ——cosr sinr'+ sinr cost’ cosi.
Cela fait, Jacobi pose (4) D —B—B;,
(5) A5—(o)—(1)cos(u — u'+B —B')+(2)cos(u +B)—(4)cos(u!+B;); A, L'atecos2u CORP cos2u'+(3)cos(u+u!'+C) (6) 2 2 + [(4) — (21) cos(B, — B')]cos(w’ + B,)—(2')sin(B — B')sin(w/+ B').
La quantité (4) est restée arbitraire. Nous verrons dans un moment que, si l’on considère e, e’ et I comme de petites quantités du premierordre, (o) et (x) sont de l’ordre zéro, (2) et (2°) de l’ordre r, (3) de l’ordre 2; enfin, la suite du calcul montrera que (4) est du premier ordre, et que les coefficients de
cos(u' + B,) et de sin(w’ + B°) dans la formule (6) sont du troisième ordre. On a d’ailleurs identiquement
de sorte que cette décomposition est avantageuse, À, restant toujours du second
ordre. Jacobt écrit ensuite que l'expression (5) de À, peut se mettre sous la forme
Aa + &"?+ 0%"? — 2 ax! cos(u — u'+ B —B')
+ 2aa"cos(u + B)— 2ax'x"cos(u!+ B');
où «, «et «” sont des quantités positives. Le rapprochement des expressions (5) et (8) donne les conditions
| + x?+ x"?— (0), dope (ER | aa (a), at On en tire aisément | 2460 r__ (2) (9) a — FN (GAZ ce (10) =D, a+ (E (0); (11) 20? — (0) + (0) — (1) — (2Y.
Les formules (9), (10) et (11) déterminent «, «’, +” et la quantité (4). 135. Nous allons évaluer les ordres de petitesse de nos diverses quantités. Les formules (2) donnent d’abord, en y remplaçant M, N, P et Q par leurs valeurs (3), et négligeant seulement le quatrième ordre,
(3)sinC=— = aa'[(e?— e?) sin(r— +) +1? sin(r++')];
donc (3) est bien du second ordre. On trouve, en opérant de même,
2 12 2 (1) cosD — 2 aa! (: — =) COS(T —7T'), 2 12 2 (1) sinD — 2 aa! (— ET) sin(T —7T!); d’où 2 12 2 Un G=aaat (rs ETES), D —=7—7;
ces expressions de (1) et D sont exactes aux termes près du quatrième ordre. Considérons le triangle CSC’ ayant pour sommets le Soleil et les centres des deux orbites ; soient 0, y et y’ les angles, à la distance des centres. On aura
(3) cosC — — = aa'[(e?+ e"?) cos(r — 7’) + L'cos(r + 7')], |
CS = ae, CS alter M—cCos0, d—ae + a"?e?— 2Maa'ee!,
ae— Mae —0 cosy, a'e'— Mae —dcosy,
a'e sinÿ = 0 siny, ae sin0 — Ôsin y.
Les relations (3) donnent, d’ailleurs,
P—+ 4/1 M?—sin°z'sini, —=+E V1 —M?—sin?r sin?l;:
or —Pet +Q diffèrent peu de sin(r —7'), et, dans le cas actuel, le numérique montre que ce sinus est positif. On doit donc prendre
P——\/sin?0 — sin?r sin], Q—1\sin6 — sin?rsin’l. En ayant égard aux relations précédentes, les formules (2) donnent
(2) cosB ——2aûcosy,
(2) sinB —2ad Vr—e? siny y:- (2') cosB'— 2a'0 cos}, (2!')sinB'— 2a'dV1—e"siny'
On entire
SU (2) —=2a0 1— sin?y | e? + sin? 7’ sin), ‘sin?0
INDE ! - 1—e? ., .
(2)=2a 4/1 sine (er+ PET Sin? T sin#1),
Sin tangB ——tangy Vo 2: e? : — d sin?],
in? 0
sin? 0
SIN tangB'— tangy Vie"? :- —— sin];
d’où, en conservant seulement le troisième ordre dans (2) et(2’),etle deuxième dans B et B’,
I sin?!
1— — sin? e? + [? — 2 ? ( T7 sin*ô )h (13) .
sin?t ali isny(e+r . )h sin? 0
is sin 2
sin? 0 (E (14) 2
on sin 2
sin? 0 ÿ
On voit que les valeurs approchées de (2), (2°), B et B’, qui sont
respectivement égales à
140, 240, 180 yet y
s'expriment très simplement au moven des éléments du triangle CSC’. On a d’ailleurs
y + y —=180° — 0, et il en résulte
I Esinirt\ I Ù Esin?r\ .
(15) o=B—R—7(e+ Sin yen ler in 4 \
sin? 0 sin*0 Mais l’équation
COS 0 — cos(r — 7!) — “ Psinrsinr!
donne
