Reprenons l'expression

(0 a'Ro,i =::^ Ne/'e'/''y)/cos(i}. + l'I' + kc^ + A'ct'+ wr');

nous avons donné dans le ii*^ 134 les formules qui font connaître -,-> -r> —

^ dt dt

On a, en particulier,

(2) — = > fNe''e'/' rj-^ sin(<A+ f7'-H Aw H- A'ro' i- «t').

On a intégré l'équation (2) en remplaçant dans le second membre a, a', ... par des constantes, ce qui a donné l'expression de §,«.'

Pour obtenir l'ensemble des perturbations du second ordre de l'élément «, il faut maintenant remplacer, dans le second membre de l'équation (2), a, a, e, . .. par leurs valeurs a-+- S,a, a' 4- S,a', e + 5,e, . . , , fournies par la première approximation, et développer ce second membre par la formule deTaylor, en négligeant les carrés et les produits des S,. Si l'on écrit, non pas le second membre 1-. • . ^ . ..,, ., de, a

iui-meme, mais son accroissement, on trouvera ainsi 1 expression de —j— • Les valeurs de S, a, 5, a', ... sont de cette forme :

ô,a— ^AcosD, àia' =z ^ A'cosD,

die =zbt -h '^EcosB, Ôic' =^b' t -i- ^E'cosi),

(3) I d^l=gt-^-'^Lsinl), a,/'=: 2]L'sinD, edi(.i—ct +2] PsinD, e'(5,GT'= c'^ -j- 2] P'sinD,

ôir; rr:|^ -H^ FcosD, Y)(5,t' =:: yj + ^ Q siiiD,

OÙ D désigne l'un quelconque des arguments de la première approximation,

D = il 1 -h i\ f 4- A, oj + A'i rrv' 4- "i t' .

Le terme séculaire gt de §, \ provient de ':' — ': qui figure dans ); = / -f- t' — t ; il sera le plus souvent insensible. Les coefficients A, A', . . ., Q, h, b', . . . y sont connus, et contiennent tous une petite masse planétaire en facteur dans leurs diverses parties.

En opérant comme on l'a indiqué plus haut, on trouvera

' ^Ai! ^ ^' ^ y ,v. e- V r A ( 1 N + a f^^ "l - ^ÏN + « ^ ")

dt /JL a M^ ya\'x aa ) a \ aa J

+ N f ± iL ± i'L' + - E + ^' E' -4- =^F ± - P ± ^' P' ± - qW \ e e f] e e' f] J }

(4) { X sin(r/. -;- <'/'-f- A-w 4- A'cl7'4- «-' ±D)

'iI!}L^nt y (- b + ^ b'+ -^-E] Œe''e''^'nfsm{a + i' l + Ao + A'gj'+ ux') IX a' -^ \e e -n 'J

9,m'ri^ V^ /A A' , i( ■ \ -T^T , ,1, r , .^ ., „ , ,, ,

— , nt y { - c-^ — c' -\ y -\- ig ]i^e''e''' f]-^ cosUl-ï- 1' L' -\- ka -\- A'c7'4- ur'),

formule dans laquelle on doit prendre ensemble, d'abord les signes supérieurs, puis les signes inférieurs, et faire la somme. Nous ferons observer que nous

avons remplace a -r— ; par — a .-•

On en déduira, en nommant w le coefficient de / dans D,

\ ^ m' a^ -^^ in , ,i, e

Oia = .- > -. .. ■^ e''e''''r/

[xa Ji^ in -+- in' dz w

X r - 1^- N + « — "j - — f N 4- a ^ ^ \a \2 da j a' \ da )

^('i^^^'jL e'4- ^f) n± f'ï^ + i'^^'+ - P 4- ^' P' 4- - q] n1

\e e' fi J \ ^ e' ^ / J

X ces ( il 4- i' l' 4- Ao) 4- A'ct' 4- « t' ± D )

^ 4-- 7- > - ^ -I- - /V+^n-. ^^e''e"''nf

[xa' Jmd \e e f) J i -h i v

X tcosUl 4- i' l'-\- Au) 4- A'nj'4- wr') — - — ^-— ^ siii(A 4- i' i' -^ Ac) 4- A'ct'4- ur') L in -\- in' ^ ' \

f^ A' , M . \ i ,T , ,,, f c 4- — c' 4- - •/ -h «^ ) -. — Ne^'e''* ■f]f

IX a JmU \e e r\ " J i -\- i v

X t%m{il 4- i'I'-h /xM 4- A'cj'4- ut') 4- - — --.,-, cos(il -h i' L' -\- Aw -H k'm' -\- uz') L in-\-i'n' J

On voit que, pour le calcul de o.,a, on aura à faire toutes les combinaisons