INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES

deux à deux des arguments des fonctions perturbatrices. Si l'une des quantités in + i'n' ± w était nulle, il faudrait remonter à la formule (4)» dans laquelle le terme correspondant devrait être considéré comme constant. Il en résulterait dans §2^ un terme proportionnel au temps. Le théorème de l'invariabilité des grands axes, relativement aux inégalités séculaires, n'aurait donc lieu que dans la première approximation, et pas dans la deuxième. Nous verrons dans le Chapitre suivant qu'il n'en est rien; les divers termes en t se détruisent dans §2«-

162. Si l'on considère trois planètes, on aura dans ù<,a des arguments de la forme

q désignant une constante, y,/',/' trois nombres entiers positifs ou négatifs. S'il arrive que, pour certaines valeurs dej,j\f\ la quantité j'n -h fn'-{-j"n" soit très petite par rapport à chacune des quantités n, n' , n", il en résultera dans la distance moyenne a des inégalités à longue période qui pourront être très sensibles en raison du petit diviseur y/z -!-//i'+y''n" que l'on trouve dans la première partie du second membre de la formule (5). Ces inégalités seraient encore beaucoup plus fortes dans Sg^» car le petit diviseur en question y figure au carré, et non plus à la première puissance.

Nous nous bornerons aux indications précédentes sur le calcul des perturbations des éléments, qui sont du second ordre par rapport aux masses, et, pour ce qui concerne oj, B^e, S^^, ^^p et Sj^, nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de V Observatoire, p. 43-57, et au tome X, p. 192 et suiv., où Le Verrier a traité la question en détail; il nous suffira d'avoir indiqué le principe du calcul qui ne présente d'autre difficulté que sa longueur dans la pratique.

Dans les théories de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, le nombre des inégalités du second ordre qu'il y a lieu de considérer est très restreint, et encore, le plus souvent, on n'a à en tenir compte que dans la longitude moyenne. Il n'en est pas de même, malheureusement, pour les autres planètes, et surtout pour Jupiter et Saturne, dont les théories sont, par cela même, extrêmement compliquées; il faut même tenir compte de certaines inégalités du troisième ordre. M. A. Caillot a donné dans le tome V du Bulletin astronomique, p. "^ic), les formules générales pour le calcul des perturbations du troisième ordre.

Nous ferons, en nous bornant aux inégalités du second ordre, une remarque

importante : les expressions générales de ^' ^' ^' ^^ et -^ contiennent toutes des termes séculaires, c'est-à-dire des termes de la forme

Ue''e"''r/ ^'" (A w + k'vs'+ 117'), cos ^

la dérivée ^ étant la seule à n'en pas renfermer. Or, quand, pour obtenir la