L -^- dt + ^ -J— dt
J dsj J dpj
^xPj
~ \Osidcj J dpj dîidpjj dsj
\d£idcj J dçj àsidgjj dtj
\ôcidpjj dqj àZidqjJ Ôpj
Or on a, en mettant toujours en évidence ce qui concerne l'argument ^,
rdy . I (dK , (?B . A
/ ^— dt— ;= — -r— cos d» ^ — sm 0; ,
J ôpj ani-\-^nj\dpj ^ dpj 7
4oO CHAPITRE XXV.
et
__ zz:-a;3(Asin4^+Bcost];),
d^\' f ÔA . dB
dsi dpj
fôA , dB . .\
-^ — cosd/ r— sin u>
\dpj ^ dpj ^)
On en conclut que le coefficient de L dans l'expression (iG) est identiquement nul ; il en est de même de M et N.
11 est donc démontré que ^ ' ne contient que des termes périodiques et
que, par suite, ù^ai ne renferme aucun terme séculaire; ainsi :
ai n'a pas d'inégalité séculaire, quand on tient compte des premières et des secondes puissances des masses.
Mais, pour le corps m^ en particulier, a^ est le demi grand axe de l'orbite décrite autour du Soleil, et l'on peut prendre pour ce corps ttz, telle des planètes que l'on voudra. On a donc démontré le théorème de Poisson :
Les grands axes des orbites décrites par les planètes autour du Soleil nont d'inégalités séculaires, ni à la première ni à la seconde approximation.
Remarque I. — Bien que l'expression de So«, ne comprenne pas de termes séculaires, elle n'est cependant pas non plus composée uniquement de termes périodiques. Reportons-nous, en effet, aux formules (i3) et (i4)» et remplaçons-y §,/?,, o^q^, . . . par leurs parties séculaires, lesquelles sont de la forme
^iPj~Pjty ^iqj — fj'jt, ...;
si l'élément /j/ coïncide avec a,, on aura p\ = o; il n'y aura pas non plus à considérer les variations séculaires des éléments £^ et £y, d'après ce que nous avons vu dans le n° 141. Cela posé, si nous envisageons toujours dans Y' la partie
Asin'l + Bcos'j', l'expression -^y- 0,/?, nous donnera
,/dk , ÔB . A \ôpi ^ àpi V
Nous trouverons donc dans o^Ui la portion suivante
-^ -î— \ tzo^^dL— ^— / i sin 'L dt\\
THÉORÈME DE POISSON. 4^1
or on a
^sind; cosdf
^cosa;a^= — i h 7 —75 — Tï»
^ a rii -+- p /ij ( a rii 4- p njY
' , , - ^cos'J; sinJ;
^ a Hi H- p /^y ( a «/ + p Hj)-
II y aura donc dans §2^* des termes en isin^ et icos^j;, savoir
— -— t y y ^ — -V— sinii/ + T— cos Oi .
niiHiai ^aàAmi (xni+^nj\dpi opt j
Ces inégalités des grands axes, qui sont de la forme i^sin^J; ou ;cos'.{/, sont en quelque sorte intermédiaires entre les inégalités séculaires et les inégalités périodiques; elles s'annulent pour des valeurs du temps qui forment une progression arithmétique de raison ^ — ; mais leur valeur maxima va sans cesse
^ Cf. Jii H- p iij
en augmentant.
Remarque II. — La quantité
p,— / riidt,
qui figure dans la longitude moyenne du corps m^, devra être remplacée par
Pj + ^1 pj 4- ^i Pi =^ fiit -+- I ôi Hi dt-\- I di iii dt,
expression qui devient, à cause des relations (9),
(17) Hit / ùyaidt+ -„- -^ / {àiatfdt— 7 — / à.atdt.
D'après ce que l'on a vu plus haut, les intégrales f^fOidi et f^^aidt ne contiennent pas de termes séculaires; quant à l'intégrale /(^^aiYdt, elle comprendra des termes périodiques et un petit terme proportionnel au temps dont l'origine est la suivante : quand on élève au carré l'expression de S, a,, laquelle est composée uniquement de termes périodiques, et qu'on transforme par les formules connues les carrés et les produits de sinus, on trouve un ensemble de quantités périodiques et une partie constante qui donne naissance à un terme proportionnel au temps dans l'intégrale f (8^a,y dt. Il en résultera donc que, en ayant égard aux deux premières approximations, le coefficient du temps dans l'expression (17) de p, sera égal non pas à w,- mais à ni(i -ho-/). Si la quantité a, était sensible, il en résulterait pour «/ un changement appréciable analogue à celui que l'on a rencontré quand on a réuni à rift le T. - I. 5i
terme provenant des inégalités séculaires de £,; mais, en considérant le cas de Jupiter et de Saturne, lequel est très favorable pour augmenter a-,, on verra aisément que cette quantité a-, ne dépasse guère 0,000 oi , de telle sorte que le changement qui en résulterait pour«/ est à peu près négligeable.
Nous avons vu, dans le Chapitre précédent, que les perturbations du second ordre introduisent dans l'élément s, un terme proportionnel au carré du temps, qui se reporte sur la longitude moyenne /,; mais ce terme, qui joue un grand rôle dans la théorie de la Lune, est presque insensible pour les planètes.
Eistoriqiie. — Laplace a le premier énoncé (* ) le théorème de l'invariabilité des grands axes; mais il ne tenait compte que des premières puissances des masses et des quantités du premier et du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Lagrange démontra (^) ensuite, d'w/i trait déplume, pour employer l'expression de Jacobi (^), que le théorème subsiste quand on a égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, mais en se bornant toujours aux premières puissances des masses. Dans un beau Mémoire ('') Poisson réussit à étendre le théorème en tenant compte des termes qui sont du second ordre par rapport aux masses; mais son calcul était long et compliqué. Lagrange C^) a cherché à le simplifier, en considérant les mouvements des corps célestes autour de leur centre de gravité commun ; mais il avait commis une faute de calcul qui réduit sa démonstration à néant ; cette faute de calcul, signalée d'abord, croyons-nous, par M. Houël, a été indiquée par M. Serret, dans le tome VI de son édition des Œuvres de Lagrange. C'est la remarque de M. Serret qui m'a engagé à étudier de nouveau la question, et j'ai réussi (") à donner à la démonstration la forme exposée dans ce Chapitre. Je dois dire que M. É. Mathieu est arrivé de son côté (J) à une démonstration presque identique. Dans une Thèse soutenue àlaSorbonne en 1878, M. SpiruC.Haretuasuivi la voie que j'avais indiquée ; il a repris, en outre, une ancienne démonstration dans laquelle Poisson (**) croyait avoir prouvé que les grands axes n'ont pas d'inégalités séculaires du troisième ordre par rapport aux masses, quand on a égard seulement aux variations des éléments de la planète troublée. M. Haretu arrive à montrer que les
(1) Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1773.
(2) Mémoires de l' Académie de Berlin pour 1776.
(») Forlesiuigen iiber Djnamik, p. 29, édition do Clebsch. (*) Journal de l'École Polytechnique, XV" Cahier, p. i-56.
(5) OEuvres complètes de Lagrange, t. VI, p. 741-749.
(6) Mémoires de l'Académie de Toulouse, 7* série, t. VII, et Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. LXXXII.
(') Journal de Borchardt, t. LXXX.
(') Mémoires de l'Académie des Sciences, t. I, p. 55-67, année 1816.
THÉORÈME DE POISSON. ^o3
grands axes ont des inégalités séculaires du troisième ordre par rapport aux masses; mais il n'a pas cherché à se faire une idée de la grandeur de ces inégalités. Enfin, dans le tome XI des Annales de r Observatoire (Additions au Chapitre XXI, p. 126), Le Verrier a trouvé un petit terme du troisième ordre en tdans le développement de la partie fndt de la longitude moyenne de Saturne troublé par Jupiter, ce qui confirmerait le résultat de M. Haretu. Toutefois, Le Verrier n'obtient le terme en question que par un calcul d'interpolation, calcul purement numérique. Il y aurait lieu de chercher l'expression analytique du terme en question; peut-être pourrait-on y arriver en partant des formules de M. Haretu.
4o4 CHAPITRE XXVI.
166. On a vu, dans le n" 162, que les inégalités séculaires de cinq des éléments elliptiques se présentent sous la forme
grâce à la petitesse des coefficients P", les formules obtenues peuvent être étendues à un assez grand nombre de siècles, dans le passé et dans l'avenir. On peut toutefois se demander, et cette question intéresse à un haut degré nos connaissances sur la stabilité du système planétaire, si les expressions générales des éléments elliptiques osculateurs d'une planète contiennent effectivement des termes de la forme (i), ou bien si leur introduction dans les formules ne provient pas uniquement de la marche qu'on a suivie pour l'intégration. Admettons, en effet, que les termes qui ne renferment pas le temps explicitement dans les équations différentielles introduisent, par l'intégration rigoureuse des équations, des termes périodiques dont les arguments varient proportionnellement aux masses perturbatrices : ces termes, quand on développera les intégrales suivant les puissances des masses perturbatrices, feront apparaître dans la solution approchée du problème des expressions de la forme (i).
Dans cet ordre d'idées, en l'absence d'une intégration complète et rigoureuse qui est impossible, il serait très intéressant de chercher à intégrer les équations différentielles dont dépendent les éléments des diverses planètes, en y réduisant les fonctions perturbatrices à leurs parties séculaires, c'est-à-dire aux termes qui ne contiennent pas le temps explicitement. Mais, même dans ce cas, on se butte à des difficultés analytiques qui n'ont pas encore été surmontées ; Lagrange n'a pu résoudre la question qu'en négligeant, dans les parties séculaires des
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. l\OD
fonctions perturbatrices, les termes qui sont du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons mutuelles supposées être, à un moment donné, de petites quantités du premier ordre, comme cela arrive en réalité pour les anciennes planètes.
167. Considérons d'abord la fonction perturbatrice Ro,, relative au mouvement de la planète P, en tant qu'il est troublé par la planète P'. On a vu au n*' 125 que la différence Rq,, — R, ne contient pas de partie séculaire; on peut donc prendre ici Ro,, =R,. D'ailleurs, la formule (37) du n° 123 donne, en ne prenant que la partie séculaire de R, et négligeant dans cette partie les termes du quatrième ordre,
1 2 2 4 ^ ' \ da 1 da?- /
+ - A(') — a —. aP- , , ee'cos(&) — ci').
2 V aa "3. aa^ J
Puisqu'on néglige le quatrième ordre, on pourra remplacer o) par m. On a d'ailleurs
cosJ=: COS9 0039'+ sin9 sin9'cos(9 — 6'),
et l'on pourra prendre, avec la même précision,
4Tn^=4sin2- =2 — 2 cosJ=:/isin'^ - + /isin^ ^ — 2sin9 sin9'cos(9 — 0')
ou même
f^n^ =. tRïig- (f -+- tang^cp'— 2tang9 lang9'cos(9 — 9').
Il convient de transformer les coefficients de e^-\-e'^ et de ee'cos(a) —tu') dans la formule (2) ; on a, en introduisant les notations du Chapitre XVII,
\ oa 2 da^ J da 1 dot.^
a' A<») — a — , a- —^— — feC) — a — «2
da 2 da^ J dot. 2 da^
Remplaçons ^<"' et Z>^" par leurs développements en séries
i..,=..(i)W(-)V-.....[i4^^ii^]'......,
4o6 CHAPITRE XXVI.
et nous trouverons, après des réductions faciles,
oa 2 da^
2 L lk 2.4. ..2i 4.6...(2ï + 2) ^•••J
da 2 c/a^
on en conclut, en se reportant aux formules et notations du Chapitre XVII,
ôa 2 ôa?- ia' 2
da 2 aa^ ia' 2
La formule (2) deviendra donc
Ri— - AW -+- - B(») [e^ + e'2 — tang> — tang^^'-^- 2 tangç tang9' cos (9 — 0')]
7B(2>ee'cos(ci — e').
On obtiendra la fonction perturbatrice R qui doit être substituée dans les équations différentielles en multipliant l'expression (3) de R, par fm', et ajoutant à l'expression obtenue les quantités analogues qui répondent aux actions des planètes P", P'", — Il convient de poser
(^) ^\(o) = Mo.„ gB(»^ = No,., |b(2) = P„,.;
on pourra écrire
(5) j 4- 2]f'w^'^No,v[e2-^ (eM)2— tang^cp tang^cpCv) ^ atangcp tang9(^) cos(ô— 0W)]
[ — 2 ^ f m(W Pp^ ee(v) cos (gt - cj(^) ).
168. Il faut substituer cette valeur de R dans les équations {h) du n^ 62; la première de ces équations nous donnera
da
ainsi «, a\ a", . . . sont constants; il en sera de même de n, n', n", ... et des quantités Mo,v» No,vet Po,v.
Il convient de faire le changement de variables indiqué au n° 63, en posant
e smxn=: h, e'smm'=h',
eCOS7J5 = l, e'C0SGT'=: /',
( tSiXigc^ sinO =p, tangcp' sin0'=:/)', ...,
( langcpcos9=:^, tang9'cos9' = ^', ....
Les nouvelles variables dépendront des équations différentielles (16) et (19) dun^'ôS; en négligeant dans ces équations les quantités du troisième ordre, ce qui revient à négliger le quatrième dans R, on peut les écrire simplement
l dh j dR dl i (m
\ di na- dl ' dt na? dh '
^ ' h^'—JL^f^ — L^
V dt naP- dq ' dt na?- dp
L'expression (5) de R devient d'ailleurs
(9) ' + ^ f/^ï^">No,v [A' 4- ^'4- (A(^0'+ (iMy^-p^-q^- (pwy~ (7^)2+ 2 (/?/?(^'+<79(^0] ( — 2 2] f /?i<^^ Po,v ( hh('^^ -h //(^) ) .
Il n'y a plus qu'à substituer cette valeur de R dans les équations ( 8) ; si nous posons
nous trouverons sans peine
jl + i (0,0 + (0,2) +. . . I A — [0,1] A'— [o,2]/i" + . .". = 0,
dt
di dl
dl'
4o8 et
/ dp dt
dq dJ
{ djy
dt
dq^ dt
^... \q ~{0,ï)q'—{o,2)q" — ... = o, -h... [/? +(o,l)/?'-+-(o,2)/'+...=:o, +-... \q'—{i,o)q — (ï,2)q"-...= o, -+-... jp'-f-(l,0)/? + (l,2)/>"4-... = 0,
Les quantités (0,1), (0,2), (1,2), . . . , [0,1], [0,2], [1,2], . . . définies par les formules (10) dépendent des masses et des grands axes; ce sont des constantes qui sont positives, parce que, toutes les planètes tournant dans le même sens, /î'p^ est réellement positif; elles vérifient les relations
/n(P' n^P^ ( a^P) y{p,v) — m(^) /i(^) ( aW y- ( v, p ), m(PU(P)(a(P')'[p, v] = /w(''5«("^)(a(^))2[v,p];
on le voit immédiatement en partant des formules (10) et remarquant que Np,v et Pp,v sont des fonctions symétriques de a^P' et a^^'K
Soit N le nombre des planètes; la détermination de e, e', ..., m, m', ... est ramenée à l'intégration d'un système (A) de 2N équations linéaires simultanées du premier ordre, à coefficients constants.
De même, la connaissance de ç, cp', ..., G, 0', ... dépend du système analogue (A').
169. Occupons-nous d'abord du système (A). Posons, pour effectuer l'intégration,
h= — sm{gl~h^), 1= —7^= cos(^i+(3), aymn a^mn
— == sm{gt 4- (3), l'= -7-7-^ cos(^^ + (3),
sjm'n' a' ym'n'
en désignant par g, p, M, M', ... des constantes.
Si nous substituons ces expressions dans les 2N équations (A), nous ne trouverons que N conditions distinctes; en les multipliant respectivement par — asimn, — a' sim' n' , . . . , il viendra
(0,l) + (0.2)+...-ff |M--^;.r.r^[0,l]M^- y [0,2]M^^-... = 0,
aym'n' a"\Jm n"
a'sjm' n' asjmn
a'\lm"n"
ou bien encore
où l'on a posé
(Ao.o-^)M + Ao,,M' + Ao,2M" + ... = o, A,,o M + ( A,,i - ^) M' + A,,2 M" + . . . = o, A2.0 M + A2,i M' + ( A2,2 - ^) M" + . . . = o, ?
Ao,o-=(o,i) + (0,2) +. . . , A,,i = (1,0)4- (1,2) +.. . ,
La définition précédente de A,,/^ suppose les indices i et k essentiellement différents; si l'on remplace [?', k\ par sa valeur (10), il vient
. ■2.{\/ ni'^'-i m'^'^^ „
on en conclut
(16) A/./, = Aav
Cela posé, considérons le déterminant
Ao,i
Ao,2
An),o
kN-1,1
An-1,2 ••• An i>i —
il est symétrique par rapport à la diagonale, d'après la relation (iG). Si ce déterminant n'est pas nul, la théorie des équations homogènes du premier degré montre que l'on ne pourra satisfaire aux équations (i3) qu'en prenant en même temps
M = M'^M"r:::...=rO,
ce qui ne saurait nous convenir, puisque notre solution (12) disparaîtrait alors.
Pour que cette solution existe, il faut donc que ^vérifie l'équation
Le degré de cette équation est égal au nombre N des planètes; car, dans le produit des termes de la diagonale du déterminant (17) se trouve le terme (— i)^^^ qui ne peut être détruit par aucun autre. Nous représenterons par g^ T. - L 52
4lO CHAPITRE XXVI.
gt, g., ..,, gs~t les racines (le cette équation; ces quantités seront des constantes dont les valeurs dépendront de m, m', ..., /n'^"^', a, a', ..., a'^~"; N— i des équations (i3) détermineront les rapports de N — i des quantités M, M', ... à la jN^iéme. cette dernière sera l'une des constantes arbitraires qui figureront dans la solution (12); l'autre sera ^. A la racine gf correspondront des équations que l'on déduira de (i3) en changeant^, [3, M, M', ... en ^,, ^,, M,, M',, •..; de là une seconde solution renfermant deux constantes arbitraires, p, et l'une des quantités M,, M', On trouvera ainsi N solutions particulières, chacune avec deux
constantes arbitraires; les équations (A) étant linéaires, on aura une nouvelle solution composée avec les précédentes en ajoutant les diverses valeurs de h, l, h', l', — Ce sera donc
ah\lmn =M sin(^-^-t- jS) -}- Mi sin(^if + (3,) -+-. . .4-Mn-] sin(^M i^-f- |3n,), al simn = M cos(^< + (3) •+- M, cos(é'ii -+- Pi) +• • . + Mx,cos(^>'i^+ [3.x i), (^) \ a7iV/?i'/i'=M'sin(^i+ (3) + M; sin(^if + (3,) +• • . + M;^i sin(^N-i^ + Pn-i),
f a'/'\/m'n'— M'cos(^<4-(3) + M'iCOS(^i« 4- j3i) -h. . . + Mn iCOs(^,>'i< + (3j,i),
Cette solution comprend 2N constantes arbitraires et donne les intégrales générales des équations (A).
Remarque. — En différentiant par rapport à g l'expression (17) de G, en
trouve évidemment
aG / ^G ()G
dg ' \c>Ao,o ' (^Ai,,
On en conclut que, si la racine g n'est pas une racine multiple, on ne peut pas
avoir simultanément
JG__ dG
(9Ao,o~''' <?A,,, -'''
Donc les N déterminants que l'on déduit de G en supprimant la ligne et la colonne qui aboutissent à chacun des éléments de la diagonale, ne peuvent pas
être tous nuls en même temps. Supposons par exemple -^^ Jo; alors, en sup-
primant la première des équations (i3), il en restera N — i autres qui détermi-
M' M" neront les N — i inconnues yt' tt' •' car le dénominateur commun de ces
inconnues n'est autre chose que -ri — ' et il est essentiellement différent de
zéro.
170. Lagrange a remarqué que, si quelques-unes des racines de l'équation G = o étaient imaginaires, les expressions de h, l, lï , l' , ... contiendraient des exponentielles qui, en croissant indéfiniment, auraient pour effet de rendre les
orbites très excentriques, et de détruire la stabilité du système planétaire. Les planètes connues alors étaient au nombre de six (Herschel n'avait pas encore découvert Uranus) ; les influences de Mercure, de Vénus et de Mars sur Jupiter et Saturne étant faibles, Lagrange a pu remplacer très approximativement l'équation G = o par deux autres, l'une du second degré, l'autre du quatrième. Avec les valeurs numériques dont il disposait pour m, m', ..., a, a' , ..., il trouva que les deux équations ci-dessus avaient leurs racines réelles et inégales. Mais certaines des masses employées étaient entièrement hypothétiques : ainsi, celles de Mercure, de Vénus et de Mars avaient été calculées en partant de leurs volumes et tirant leurs densités d'une loi empirique d'après laquelle les densités des planètes seraient inversement proportionnelles aux grands axes de leurs orbites. On pouvait donc se demander si, avec d'autres données notablement différentes, on trouverait encore seulement des racines réelles : « Il faudrait, disait Lagrange, pouvoir démontrer que, quelles que soient les valeurs des masses, pourvu qu'elles soient positives, les racines de l'équation dont il s'agit sont toujours nécessairement réelles et inégales, et il ne paraît pas impossible de parvenir, par quelque artifice particulier, à résoudre cette question d'une manière générale (*). »
Laplace répondit bientôt au desideratum exprimé par Lagrange ; il prouva en effet que, quelles que soient les données numériques supposées pour les masses et les distances moyennes des planètes au Soleil, l'équation G = o a toujours toutes ses racines réelles, pourvu que les planètes tournent toutes dans le même sens. Nous allons reproduire la démonstration de la Mécanique céleste.
Ajoutons les équations (A), après les avoir multipliées respectivement par mna^h, mna^l, m'n'a'-/i', m'n'a'-l', ... ; nous trouverons
nina- { h -r- -i- l -r -h m' n'a'- h' —, \- l —r- ] -i- . . .
\ dt dt) \ dl dt )
-f- (A/' — Ih') j uina'-\o,\\ — m' n' a''-\\,o\ j h- . . . = o,
OU bien, en vertu de la seconde des relations (n), et remarquant que /f et a sont constants,
(i8) y jm/ja2(/i2 + r")-f-m'/i'a'2(A'2+Z'i)+. . . j ~ o.
On aura donc, en désignant par C une constante arbitraire,
(D) mna}i^1i}-\-l')-^^m'n'n'\h"'-V l'-) ^■ . . . — {\
ou bien
(D, ) mna^e'-v m' n' a''^c"^ \r . ..=:(];
(1) Folr les Mémoires de Lagrange sur les inégalités séculaires des planètes, I. V vl W (](.' ses OE livres.
4l2 CHAPITRE XXYI.
on a ainsi une intégrale des équations (A). On peut l'écrire comme il suit, en prenant la masse du Soleil pour unité,
m sj\ 4- m \ja t- -\- m' y/i -h m' y/a' e'^-\- . . .-= const.,
OU bien, en négligeant m-, m'-, ...,
(D2) m\lae'---~ m' \j a' e''^ -\- . . .= const.
Supposons maintenant que deux des racines de l'équation (B) soient imaginaires, ^ et ^, ; on aura donc
w et cr étant réels, et a- >> o. Si l'on pose
- (Mcos|3 -+- M,cos|3,) = '^l't cosy, - ( Msin[3 + MiSin!3,) — niL siny,
~ — ' (McosjS — M,cos;3,) -- -Olcjcosy,, ^ ^ (Msin;3 — MisinjS,) = ,m,siny,,
on voit aisément que le résultat de la substitution des valeurs (19) de ^- et ^^ dans les deux premières formules (C) est le suivant
ah\i'^i — OU sin {ut -^r 7) (E^' -i-E-"^') 4- OlLi cos (w7 -+- y,){YJ'~- E--^') + M2 sin (^2 <+ (B^) + . . , «/v/"''î = ^'"^cos(»M-7)(E'^'4 E--^0--'^l'^iSin(«^4-y,)(E'^'--E-'0 + M2COs(^2^ + [3.2) + ..-.
DU, ort,, 7 et Y, sont quatre constantes arbitraires qui doivent être réelles pour que h et / le soient aussi. On aura des expressions analogues pour/i', /', h", l" , ... en mettant des accents aux lettres DU, Dli, , y et y, .
Si l'on substitue ces valeurs de h, /, h , l' , ... dans l'équation (D), on trouvera un résultat de la forme
( 20) ( i)XC- -1- Dit \ + Dll'2 + DlL'j^ + . . . ) W' + .%> E^' + !)!> + QE-"' -f- (QE-'-'''= C.
Or, si la quantité positive t n'est pas nulle, quand t croîtra indéfiniment, le terme en E-"' arrivera à être infiniment plus grand que tous les autres, et comme il croît au delà de toutes limites et que son coefficient CfïL^ -+- mi'^ -i- ... est essentiellement positif si toutes les planètes tournent dans le même sens (auquel cas n, n', ... sont positifs), la relation (20) ne pourra pas être vérifiée. On doit donc avoir a = o, et les racines g et g^ ne peuvent pas être imaginaires.
Si l'on admettait plusieurs couples de racines imaginaires dans l'équation (B), il y aurait d'autres quantités a', a", ... analogues à ct; en supposant
a>cr'>cr">...,
on verra sans peine que le premier membre de l'équation analogue à (20) fini-
rait par grandir indéfiniment avec le terme en E^*^' ; on devra donc avoir a- = o ; on démontrera ensuite que a' = o, —
L'équation générale que l'on obtient en égalant à zéro le déterminant (17) a toutes ses racines réelles, quelles que soient les quantités réelles A,-,,- et A,-^/,; parmi les démonstrations qui ont été données de ce beau théorème, nous citerons celle de M. Sylvester (voir Baltzer, Théorie des déterminants), et celle de Borchardt (Journal de Mathématiques, t. XIII).
171. Voici maintenant comment Laplace prouve que l'équation G = o ne peut pas avoir de racines égales; supposons en effet ^ = ^v Les expressions de h, l, h , /', ... seront de la forme
ahsjrnii-- (0b« + X,) sin(^fH- [3) +¥2 %\x\{g^t -^ ^^) (^0 j a/v/'^ = (^^^-^ '^^1) cos(é'-^ + j3) + M2C0s(^2^4- Ps)
En substituant dans la formule (D), on aura une équation dont le premier membre contiendra un terme prépondérant en t^, avec le coefficient essentiellement positif 5^^+ ^'^ + ...; ce premier membre ne pourra donc pas conserver une valeur constante, et il est impossible que les racines g et g^ soient égales.
Cette démonstration de Laplace prouve seulement que les expressions de A, /, A', /', ... ne peuvent pas contenir le temps en dehors des signes sinus et cosinus, comme le supposaient les formules (21), et qu'elles sont formées par la réunion de termes périodiques; c'est là l'essentiel au point de vue delà stabilité du système planétaire. Mais il n'en résulte pas nécessairement que l'équation G = o ne puisse jamais avoir de racines égales, car on sait aujourd'hui (') qu'il peut arriver dans ce cas que les intégrales générales des équations (A) ne renferment pas le temps en dehors des signes sinus et cosinus.
On peut donc se poser la question suivante :
Pourrait-on disposer des masses des planètes et de leurs distances moyennes au Soleil de manière que l'équation (B) ait des racines égales?
Cela est impossible quand il n'y a que deux planètes. En effet, l'équation (B) se réduit à
Ao.O-A" 'Nn,,
et, pour que ses deux racines soient égales, il faut qu'on ait
( Ao.o — A,,,r ' 1 \,1., r- o;
(') Voir Thomson et Tait, Trcatixe on natural Philo.wphj, i" édit., t. I, Partiel, p. 38i; — E.-J. RouTH, StahiliiY <>f (i f^irr// State of Motion, 1877: — OEuvrex de Lagrange, t. XI, Note V(H de M. G. Darboux.
4l4 CHAPITRE XXVI.
en remplaçant Ao.o, A,,, etAo,, par leurs valeurs qui résultent des formules (lo), (i4) et (i5), il vient
No,) etPo,, étant essentiellement différents de zéro, la condition précédente ne peut pas être remplie; il pourrait en être autrement si les planètes se mouvaient en sens contraire, car alors le produit /i/î' serait négatif.
M. Seeliger a examiné le cas de N — 3 dans le n*^ 2231 des Aslronomische Nachrichten, t. 93, 1878, et il a réussi à prouver directement que, si l'équation G — o avait deux racines égales, une certaine équation de condition
al, m + cl,' m' -+- -X," m" 3= o
devrait être satisfaite, dans laquelle l, l,', a," sont des quantités essentiellement positives; cela est impossible ('). Je ne sache pas qu'on ait encore démontré la même impossibilité pour N >- 3.
172. Laplace a tiré de l'intégrale (D,) une conséquence importante au point de vue de la stabilité du système planétaire : puisque tous les termes du premier membre sont de même signe, l'une quelconque des excentricités, e par exemple, ne pourra jamais acquérir une valeur supérieure à celle qui serait
donnée par la formule
mua- e^' zzz C,
d'où
mna- A cause de la petitesse actuelle des excentricités, la constante C a une valeur
(') Le cas de m — o doit être excepté; car alors, d'après la formule (i5), on a
Ao.i = Ai,o — o. .\„ . — A. „ -- o,
et l'équation (B), ([ui se décompose dans les deux siiiviiiiics
g — Ao,() — o,
(^'■ — A|.i)(g- — A2.2) - Ai,2A2,i ^ o,
aura des racines égales si l'on peut déterminer a |)ar la condition
( Ao.o — A,,i )(Ao.o- - A?,2) - Al, 2 Ai^t ^~ o, qui équivaut à
[((.,!), (0,2) -(l,2)j j(o,l) + (<)/^.)- (■'/,!) j — [l,2]['^.,tj r^. O.
Si l'on suppose, par exemple, que les planètes P' et P" soient Jupiter et Saturne, et qu'on remplace a', rt", m' et m" par les valeurs numériques correspondantes, on- trouve que la condition ci-dessus est satisfaite par a — 1 ,85.
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4l3
très petite. Par conséquent, l'excentricité e elle-même restera toujours fort petite, si la masse m correspondante constitue une partie considérable de la somme des masses du système. Mais on ne peut tirer de l'intégrale (D,), aucune conclusion analogue pour les planètes dont les masses sont faibles. Pour savoir si leurs excentricités resteront toujours comprises entre d'étroites limites, il faut avoir recours aux formules (C). On en tire
mncr- e- r:^ IVP -4- M^ -}- M^ + . . . 4- 2 MM, ces [{g ^~gi)t\-^ — ^,]
~h 9.MM.2COs[{g - ff,) t \^ ^ — ^2] + ;
la plus grande valeur de e- répond au cas où tous les cosinus sont égaux à =1= i, de manière que les termes où entrent ces cosinus soient tous positifs; on aura donc
a \/inn
on trouvera ainsi une limite supérieure de l'excentricité e. Cette limite pourrat-elle être réellement atteinte? C'est une question d'analyse indéterminée que nous ne chercherons pas à approfondir. Il paraît vraisemblable qu'on pourra trouver des époques où les différents angles, tels que
approcheront autant qu'on voudra de certains multiples pairs ou impairs de t:; alors e atteindrait sa limite. On n'a pas d'expressions générales des quantités (22), susceptibles d'une discussion analytique, et l'on ne peut se prononcer sur les limites des excentricités qu'après avoir effectué tous les calculs numériques.
173. Nous avons à montrer maintenant comment on pourra calculer les valeurs des 2N constantes qui figurent dans les formules (C), en fonction des données initiales; ces données seront les valeurs e,,, e'^, .. , cr^, cr^,, ... des excentricités et des longitudes des périhélies à l'époque t = o. On en déduira d'abord les valeurs correspondantes A„, /q, /i|,, /,',, ... de h, /, h' , /', ... par les formules
( Ao— ^D sincTo, A'o = e'^ sinGT^, . . . ,
( Iq =:eoCOsnTo, ^0 --eoCOSCJo, ....
Si Ton fait / = o dans les formules (C), il vient
( M sin [3 + Ml sin (3, + . . . -H-- Mn, sin (3n, — al^ \Jinn ,
(24) < M'sin;3+M',sin(3, -f-...-i-M'j,,sin(3x, = a7i;v^/"ÏIV,
4l6 CHAPITRE XXVI.
et
( M cos[3 4- Ml coSjSi + . . . -î- xM.v j sin[3x i = al^ \Jmn,
Nous supposons que l'on a calculé les racines g, gi, ... de l'équation (B) dont tous les coefficients ont des valeurs numériques connues.
M' M" N — I des équations (i3) donnent les rapports-^? -r^, ■■•; en changeant
dans ces équations ^' en ^,, on aura de même les rapports vp? ^j •••5 et ainsi
de suite, de telle sorte que les N équations (24) contiennent au premier degré les N inconnues Msinjî, M<sin^,, . . . , M,,, sin^^^-i î de même, on a le système (:2:5) pour déterminer les N inconnues M cos[3. M, cosP<, ..., M^-, cos(3j,,. Nous allons établir des relations qui rendront très facile la résolution des équations précédentes. Reprenons la première des formules (i3) et celle qu'on en déduit par le changement de ^ en ^, ,
( Ao.o - é' ) M + Ao,, M' + Ao,2 M" + . . . = o , (Ao,o — é'i)Mi+Ao,,M; 4-Ao,2M';+...= o;
on en déduit, par l'élimination de A^ „.
(26) (^-,-^-)MMr-=Ao,,(MM', -M'Mi) + Ao,,(MM'; -M"MO+. • • •
La seconde des formules (i 3) et les suivantes donnent de même
, ^ i (é^,-^)M'M;=A,,o(M.M'-MM',)4-A,,2(M'M;-M"M;)+...,
Si l'on ajoute les équations (26), (27),-... et que l'on ait égard à la relation (iG), il Vient
{é,u~ ff){MM, + M'M\ + . . .) = 0.
On peut supprimer le facteur gt — g qm est différent de zéro, et l'on trouve ainsi, en supposant maintenant que g et ^, représentent deux racines quelconques gr et g^ de l'équation (B), la relation
dans laquelle ret^ désignent deux indices différents quelconques de la série o, 1,2, ..., N — I.
Cela posé, si l'on ajoute les équations (24) après les avoir multipliées par les facteurs M^, M^., M'., ... et qu'on fasse de même pour les équations (25), on trouve, en ayant égard à la condition (28),
(M;.4-M;^+M7+. ..)sini3,.— a/«ov//«^M,.+ a'A;v^wVM;, + . . .,
( M,'; -f- m;.^' -i- m;.- -h . . . ) cos [3,. = «/„ y^^^ m,. + «' /; \j/n'n' m;. + . . . ,
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. l\l'J
ce que l'on peut écrire ainsi
. ]vi'.
ah^s/mn + «'/«'<, y/m' n' -~ -+-...
M;-sin(3,=. /m;.\^ /m;
gIq ymn + a' l\ \/ m' n' ~- +
M,.cosp,^ Tm^V TM^X^
Les rapports ^> rp' • •■ sont connus par ce qui précède; ils seront donnés par la résolution de N — i des équations
^0,0— .-T/-^ Ao,i t/ -1- Ao,.2 ^ + O,
L'ensemble des calculs numériques à exécuter correspond donc :
i" A la résolution de l'équation (B) du degré N;
2° A la résolution des N systèmes d'équations du premier degré àN— i inconnues, que l'on déduit de (F) en attribuant à l'indice ries valeurs o, 1,2,..., N-i.
Après quoi la solution sera fournie par les formules (C) et (E).
174. Il est souvent possible d'avoir une donnée importante sur la manière dont varient les longitudes cr, trr', ... des périhélies.
Les deux premières des formules (C) peuvent, en effet, s'écrire
a\Jmne%\nm=i ^S M/sin(^-,-f + (3,), 1=0
a\/mnecosxs=z >^ M,cos(^,'^4- j3,).
On en conclut, en désignant par y l'un des nombres O, i, 2,..., N— i, a \fmn e sin (gt — gjt — (3y) — ^ M,sin [(i', — gi) t 4- [3, ~ (3y],
( 29 ) a sjmn. ezo^{m — gjl — ^j) — My 4- ^^ M/ cos [( gi — gj) / -f- p/ — (3y ] ;
dans le second membie, la valeur /est maintenant exceptée de celles que doit prendre l'indice i,
4l8 CHAPITRE XXVI.
Supposons que la valeur absolue de M^ soit supérieure à la somme des valeurs absolues de M, M,, ..., My,, My^,, ..., M^, ; la formule (29) montre que cos(gt — gjt ~- ^j) ne pourra jamais s'annuler quel que soit t. On pourra donc poser
(3o) w — kTi-^gjt-\- (3y + j,
la valeur deu ne pouvant qu'osciller entre ~ - ei -^r - ; kiz ^ gj^+ ^j sera donc
la valeur moyenne de cr, dont le moyen mouvement sera, par suite, égal à^^; GT oscillera autour de cette valeur moyenne et l'écart sera compris entre les
limites et H
La formule (29) donne ensuite
( i)^av/m/iecosu = My4- 2] M/COs[(^,— ^y) t + (3, — jSy];
le signe du second membre est celui de My; cosu est essentiellement positif. Donc, l'entier k pourra être pris égal à zéro si My est positif et égal à i si My est négatif.
Donc, si le cas en question est réalisé, le périhélie tournera toujours dans le même sens, sauf les oscillations; si ce cas n'a pas lieu, on ne peut pas dire d'avance le sens du mouvement du périhélie.
Supposons maintenant que la même chose ait lieu pour une autre planète, la seconde par exemple, et que la valeur absolue de M', soit supérieure à la somme
des valeurs absolues de M', M',, . . . , My,, M}^, M|,,, y étant le même que
précédemment; on aura de même
(3i) xs'=k'ii-\-gjt + i^j^^j',
la valeur absolue de u' étant inférieure à -• On tirera des formules (3o) et (3i)
CT — tct' — ( /.■ — A' ) TT + u — u' ;
donc la valeur moyenne de rn—xn' sera égale à {k — k')T^; d'après ce qui précède, elle sera nulle si My et 31} sont de même signe, et égale à ti si My et My sont de signes contraires.
175. Les intégrales (C) peuvent donner, à la rigueur, toutes les circonstances des variations des éléments e, xs, e' , m', ... ; mais elles sont d'une discussion difficile à plusieurs égards. On peut trouver N intégrales distinctes des équations (A), ne contenant pas explicitement le temps t, mais seulement les excentricités et les positions relatives des périhélies pour l'époque t. L'intégrale (D) est dans ce cas ; c'est l'une de celles que nous allons faire connaître.
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4l9
Remarquons que les équations (C) ne diffèrent des équations (24) et (23) qu'en ce que h^, l^, h^, l'^, ... sont remplacés par h, l, h' , l' , ... et M^sin^^, M^cosp,. par M^sin(^;./ -{- ^;.) et M^cos(^^^ + (3^). On pourra donc appliquer les formules (E) en y faisant les changements indiqués ci-dessus, ce qui donnera
Ml
ah\Jmn 4- a' h' \Jm' a' j-p +
]yj'
al\Jmit H- a' L' \/m' n' ^-
M,.cos(^^-,.i4- (3,.)=
Si l'on ajoute ces équations après les avoir élevées au carré, le temps disparaît, et il reste l'intégrale
( ah \Jmn 4- a' h' \J m' 11' ^ -1- . . . ) 4- ( «/ \Jmn -h a' i \jm! n' ^ H- ... 1
dans laquelle M^ est la constante arbitraire ; les valeurs des rapports —, ^^ • • •
sont déterminées par les formules (F) en fonction des données a, a', ...,
m, m', ... et ne contiennent rien d'arbitraire. L'intégrale précédente peut
s'écrire
/]yi'\2 _______ j^'
mna^e^-hm'n'a'^e'^i —] 4-...-+- 2i/mm' nn' aa' :;r^ee'cos(GT — Gy')4-. • .
il n'y figure plus que les positions relatives des périhélies. Si, entre les N intégrales (G), on élimine les N— i différences
on tombera sur une intégrale indépendante des périhélies, et qui devra coïncider avec (D,).
Les intégrales (G) permettent de calculer directement les valeurs des excentricités qui répondraient à un état déterminé des positions relatives des périhélies, sans avoir à se préoccuper de l'époque à laquelle le phénomène peut arriver.
176. Venons maintenant à l'intégration des équations (A') ; nous poserons, en gardant les mêmes lettres M, M', . . . , ^ et ^, afin de ne pas trop multiplier les notations,
asj.
^=z sin(^i + (3), q
a sj nin
En substituant dans (A'), il viendra
on a fait
d'où
(iC)
On posera
A,,oM -+- (A,,, -+- g) M'+ . . . — o,
Ao,o= (o,i) + (o,2) +. . . , A,,, = (i,o) + (l,2)+...,
«'^■^V^An*/') /*(/■■)
afv/m^'^m''^)
A/,^--= AA-,i.
Ao,o+ S Ao,i Ai,o Ai^j + é"
