PAR RAPPORT AUX MASSES
163. Il nous sera avantageux d'employer ici la forme symétrique que nous avons donnée dans le Chapitre IV auxéquationsdifférentielles du mouvement des planètes.
Soient x^, y^, z^ les coordonnées rectangulaires héliocentriques de Tune quelconque des planètes, m, sa masse, m^ celle du Soleil; nous avons posé dans le Chapitre IV
(i) ij.Q-=zmo, p., — /n„+ mi + . . . + m,-;
^1 — Xi ; .^2 — X2 -\- ■ — Xj ; ^3= X3 + — Xo-h — Xi ; • • • ;
(2) (71 = y. ; Vi = y2 + --- y. : y., =r y3 -f -— - y^ -\- --y, ; ... ;
z, ; ^2 — Z2 -i- — Zi ; ,33 __. Z3 H-- - Z2 H Zj ; ....
C'est la définition des nouvelles variables x,, y,, z.;
et nous avons trouvé, d'une manière générale, les équations différentielles,
^ IXi de- dyt
u/, d.'^7.i dD
■ /"i — nr -= ^^— •
fjt.,- dt- oii
On peut développer U suivant les puissances et les produits des petites quantités m,, m.,, ...; nous désignerons par U' l'ensemble des termes du premier
ordre; U' proviendra seulement de la première partie de U, savoir f/?2o T^ x-^i
en ayant égard aux formules (2) et (3), et posant
xj + y] + z]=r], on trouve aisément
La différence U — U' sera du second ordre, et il en sera de même de la quantité
(5) V = U-fy /;o(/^^o-^-;«,)^-|-.
j Or on tire de là
et, en portant, dans (4), il vient
idf^x,- „ X/ \i.i \ dW -;/-/T + f(/Wo+ m,) — = — ï— ' d^y, „. . y, (J.: I dV
f d^'/.i „. . z/ fj.f I r}V
Ce sont les équations d'un mouvement elliptique troublé par une force perturbatrice; la fonction perturbatrice est ici
IJ-i-i mi
THÉORÈME DE POISSON. SqS
les fonctions analogues qui correspondent aux divers corps m^ ne diffèrent de R,que par des facteurs constants.
Il est aisé de voir que le petit dénominateur rrii qui figure dans l'expression (7) disparaît dans les seconds membres des équations (6), parce
que les dérivées partielles -^j -^5 y- contiennent précisément ce iacteur; il
nous suffira pQur cela de prouver que -r- s'annule avec //Z/, quelles que soient
les autres masses m^, m^, ....
Remarquons d'abord que, pour rrii = o, x, disparait de la partie
f V m, ( mo 4- nij ) ^^^^ —
de l'expression (5) de Y; il suffit de montrer que la même chose a lieu pour U. Or nous voyons sur les formules (2) que, pour m/ = o, toutes les quantités a::y, sauf a?/, deviennent indépendantes de x^; donc A^j ne contient pas x^ si y est différent de i, et Ay,;t ne contient pas x, si aucun des indices y et k n'est égal à i. Si donc on suppose m^ = o dans l'expression (3) de U, on fait disparaître d'un coup tout ce qui contenait x,.
Il en résulte que si, dans le développement de V suivant les puissances entières et positives de m,, m.,, m.^, ..., on représente un terme quelconque par
ni}mfm)^ ... A,
A ne contiendra que les coordonnées x^, Xj, "s.;,, . . . , y^, yy, y^^, . . . , Z/, Zy, z^, ... des masses m^, rrij, m^, . . . qui entrent en facteur dans ce terme; car autrement,
dV si ce terme contenait par exemple X/, la dérivée -r— ne s'annulerait pas pour
mf = o, quelles que soient /??/, mj, m,/,, ....
164. Gela posé, quand on supprime les seconds membres des équations (6), ces équations représentent un mouvement elliptique dans lequel nous désignerons par ai le demi grand axe, n^ le moyen mouvement, // la longitude moyenne et ti la longitude moyenne de l'époque; nous aurons
nf a] — i'{mo -i- rrii), /,■ = Hi t -f- £,-.
Pour passer du mouvement elliptique au mouvement troublé, nous consci-
d\i d\i chi I . • 1 *• p
verons pour x^, y,, z^, -j-y -^j -t- les mêmes expressions analytiques en lonc-
tion de /,• et des autres éléments; seulement nous prendrons li = friidt -h s,; nous supposerons que l'on fasse de même pour les autres planètes.
Ayant développé, comme nous l'avons dit, V suivant les puissances des T. - I. 5o
masses,
on substituera dans chaque partie pour x,, y,, z,, Xa, jo, z^, ... leurs valeurs en fonction de /, , 4, ... et des éléments, et l'on développera le résultat en sinus et cosinus d'arcs de la forme a/, -h [^/yH- y4 + . . . , a, j3, y, . . . étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Si a n'est pas nul, le coefficient de
(a/,+ ^Ij-^ y4-+ •••^ contiendra nii en facteur; de même pour p, — Donc
la partie V de V, qui est du second ordre par rapport aux masses, contiendra
au plus deux longitudes moyennes /,, /y, dans chacun des arguments qu'elle
renferme ; la partie V" du troisième ordre en contiendra au plus trois, etc.
Nous aurons, pour déterminer le demi grand axe dans le mouvement troublé,
dui 2 d^i 2 IX,- i d\ 1 ( nii\ I J(V'+V" + ...)
da, 2
î av 2 I d\"
/n„ ôci iiiai nii àSi
dt itiOi
iiitii
dt /liai dsi iiiO-i f^i-i nii dzi iiiai \ l^i-ij ^^i àst
ou bien, en développant et n'écrivant dans le second membre que les termes qui sont des ordres i et 2,
Nous représenterons la valeur d'un élément quelconque dans le mouvement troublé par/?, + 0,/?, -4- o^Pi + • • • , Pi désignant une constante, §,/?,, §2/^/» • • • des fonctions du temps qui soient des ordres respectifs i, 2, ... par rapport aux masses; le demi grand axe dans le mouvement troublé sera représenté en particulier par
«*• + âi «j H- ôj a,- + . , . ;
le moyen mouvement devra également être remplacé par
n,-i- «5,«,4- «52«/ + . . . ; /^/ et ai sont deux constantes liées entre elles par la relation
on doit avoir aussi
{iii + ôi rii 4- ô, Hi + ...)-( a^ + 0, ai -{- ôa a,- + . . . f — f ( «^o + /«i) = nj a] ,
d'où
0, «/= Oi «/,
(9) { ^ 3 Hi 1.5 Hi .
2 di o af
En faisant la substitution indiquée dans les deux membres de l'équation (8),
THÉORÈME DE POISSON. 3ç)S
tant pour les éléments de rui que pour ceux de rrij, et continuant à n'écrire que les quantités des deux premiers ordres, il viendra
dd^ai de. ai 'i \ d\' 21, ^V 2 ^V' i
dt dt njai nii dit niGi int dit nii dsi iiiai
1 j dT 2 i dW^ iiiai iUq dsi niai nii dzt ' '
d'où, en égalant dans les deux membres les termes du premier ordre et ceux du second, et remarquant qu'on a, à cause de (9), o, = 7 o,«/,
it i Cl l 2i il î Ch j
dà^a; 2 I dY'
dt tiiai nii dci
dè^ac 2 I . aV I I aV . 2 1 d\' 21 dy
(11) ' — di- 1 2 -r— (5,«,+ ,
dt tiiat iiii aii riiaf nii ozi iiiat m^ ozi niai nit azt
6, -T— représente la variation de la fonction -r— quand on augmente les éléments
de mi et de rrij de leurs perturbations du premier ordre.
La formule (10) donne, pour les perturbations du premier ordre de a,,
àiai=z / — — dt:
riitti nii J âSf
0, ai = I
/liai nii J
-y- ne se compose que de termes périodiques, et â/«/ n'a pas de partie séculaire; passons à l'examen des perturbations du second ordre ; les deux dernières parties de l'expression (i r) ne pouvant donner que des termes périodiques, nous devons nous borner, dans la recherche des termes séculaires, h
dd^ai 2 I , âV I I dV .
— , — =-" Oi -T 1 r V— à.ai,
dt iiitti iHi âSi 11/ aj nij oSi
Considérons d'abord la dernière partie du second membre; pour obtenir un terme non périodique, il faudra combiner deux termes de -r— et de §,«, dont les arguments contiennent les mêmes multiples des longitudes moyennes; soit
(12) A sin ( a /,• 4- (3 /y ) 4- B cos ( a /,• 4- |3 Ij )
l'ensemble des termes de V qui renferment alj-\-^li\ nous écrirons, suivant les cas, ces deux termes sous l'une ou l'autre dos formes suivantes
Asin4'4- R cos^l/, Csin(4' -t- 0)); en posant
et nous remarquerons que A, B, C et co sont indépendants de £,• et de ij\ ce sont des fonctions des éléments elliptiques autres que £/ et £y. On aura, en réduisante à ces deux termes,
. 9. aOi i r ,, ., 9aC ./, ni
ô , ai = / cos ( di + 0) ) «< = 75 sui ( a It 4- p // -f w ),
-^ irr a C cos ( a // + (3 /y + w) ;
les deux termes considérés donneront donc dans le produit -y- §< ai la partie
■ -, 3 — r sin 2 ( a /,• + ,3 L- + w)
minia,{ixni-^p/ij) 1 y /
laquelle est essentiellement périodique; il nous reste donc seulement, au point de vue auquel nous nous plaçons, à considérer l'équation
, o^ dS.a,- 2 ^V
I at niiiiiai oSi
Soient /?/ et Çi deux quelconques des éléments, autres que £/, du corps m^, pj et çj les éléments correspondants pour m,; posons
Pi — j m dt, Pj — / rij dl,
de manière que
li = p,- H- £,-, Ij = Pj 4- £y ,
dp/ ~ (9s/ ~~ (?// ' dpj ~ ()£y "^ 6>/y '
Nous aurons
Considérons d'abord le terme
nous aurons, en considérant dans les deux facteurs ^jy ^^ fc^a^dtles parties
THÉORÈME DE POISSON
qui dépendent du même argument '\' déjà défini,
as]
■=— a-C sin(4^ 4- w),
/ ^^aidt— ^ r / Sin(a/,-+p/y + W) 6?< = -. '--^ r^:
J ^ miniaiiani-^prij) J "^ ' miniai{ccni-h^ nj)-
Sa^C
(5 p.=i — ^ — - sin2(a/,-4- [3//-t- w),
quantité essentiellement périodique.
Nous allons nous occuper maintenant des autres termes de la première ligne de la formule (i4)-
On a les formules connues pour exprimer -^'-^' -4^1 dans leurs seconds
membres figurent les dérivées partielles de R^; en se reportant à (7), on voit
qu'on peut réduire R/ à — Y', quand il s'agit d'obtenir les perturbations du pre-
mier ordre, s, £/, <5,/?/ D'après les formules (/^) du n°62, on aura des expressions de cette forme
— r~ ^^^ ' ' "^s — cit opi
àqt dY'
dt dsi dqi
dt dsi ôpi
G, H, K, . . . sont ici des constantes; quelques-unes d'entre elles peuvent être nulles; on en conclut
^dt^R ~dt-h..., àpi J âçi
dt
âsf
^\Pi
\ âsf J dpi dsidpij dti
h/'— f^dt- -^^ f'^dt \ dzf J âçi '^ d&idqtJ d£i
\dzidpij dqi dîidqij âpi
Or, en réduisant, dans toutes les parties du second membre, \' aux deux mêmes termes Asin<|i -h Bcos'j» considérées plus haut, ce qui est la seule manière d'obtenir un terme séculaire dans les produits tels que -^r^ / -3— dt, ..., on trouve
A ^ àsi J dpi
— — =: (X (Acos J; — IJ sind^), -r— - = - — smO; + -v— cosu;,
dsi ^ • ôpi dpi ' dpi
/-^—dt:= ^ — (A sinJ; 4-BcosJ;),
J dpi oc/>i-^^nj\dpi dpi ^J
-3-5- / -T—dt= ^ — (AsmJ^ + Bcosd;) -T— coso;— -3— sind; ,
àsf J dpi ufii-i-^nj^ ^ \àPi àpt ^J
-z — ^ — I -r-dl^=— ^ — -T— coso» ^— sinù ( AsmJ; + B cosu;).
àeiâpij dsi ccni-h^nj\dpi ^ ôpi 7' ^ ^'
Chacun de ces termes donnerait une partie séculaire
g} /p dX ^ ^>B Y
2 ( a /? / + j3 nj ) \ dpi dpi j '
mais les deux termes en question se détruisent identiquement dans le coefficient de G, au second membre delà formule (i5); on trouvera de même, pour le coefficient de K,
a (dX , dn . \(dX , dn . \ a.ni + ^nj\dpi ^ dpi ^J\drji ^ dqt 7
a (dX , dn . ,\fdX , r)B . A
H ^ — -Y— cosu; ^— sinù ^i— cos'-b c— sind/ =o.
ani-^-i^nj\dqi ^ ()<]i ^ J \Opi ^ dpi 7
Donc les termes de ô, -^r provenant des perturbations du premier ordre des
éléments du corps m^ ne donnent aucun terme séculaire dans^a^,; il nous reste à montrer qu'il en est de même pour les termes analogues provenant du corps rrij.
165. Nous allons donc considérer la seconde ligne de la formule (i4)» et d'abord la partie ;r-;i— ^ipy? '>'% en prenant toujours les deux mêmes termes Asin ']^ ■+■ Bcos'j' de V, on a
d, aj = / -r— dt — — !- yr sin ( a /,• + 3 / • + w),
nij iij aj J 0£j rrij rij aj{(xni-\- prij) ' ■'
A ^, ^f^J A ^, 3{3Ccos(4/ + a))
THEOREME DE POISSON,
et
= — Ga[3sin(4^ + co),
-— — - â, pj z=z — , -—'- ^^ — - sin 2 (a /i + p /y + w),
quantité périodique.
On aura ensuite, sans qu'il soit nécessaire d'expliquer en détail les formules,
dt
dpj ô<jj
a^ dêy oqj
dt dsj ôpj
d'oii
d'où encore
Ol£y .
J àpj J d(]j
