SUR LA MÉTHODE DE GAUSS POUR LE CALCUL DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

Gauss a publié en 1818 un Mémoire remarquable ayant pour titre : Delerminatio attraclionis quam in punctum quod^>is posidonis data exerceret planeta si ejus massa per totam oibitam ratione temporis quo siiigulœ partes describuntur uniformiter esset dispertita (Gauss, Werke, t. III, p. 33 1). Ce Mémoire fournit un mode de calcul des inégalités séculaires autre que celui que nous avons indiqué et qui, dans certains cas, peut seul être employé. Aussi croyons-nous ne pouvoir nous dispenser d'en exposer les points fondamentaux; mais il nous faut commencer par résoudre une question préliminaire.

185. Reprenons les formules (A) du n° 6î2; on peut les transformer très utilement en y introduisant les projections de la force perturbatrice sur trois axes

rectangulaires, aux lieu et place des dérivées partielles -j-, -^) — Le résultat est très simple quand on prend pour ces trois axes : le prolongement du rayon vecteur de la planète troublée, la perpendiculaire menée à ce rayon vecteur dans le plan de l'orbite, du côté où croissent les longitudes, et enfin la normale au plan de l'orbite dirigée vers son pôle boréal. Soient ïm'S, fm'T, fm'W les projections de la force perturbatrice sur ces trois axes; ses projections sur les axes

de coordonnées sont -p? -r-j -p- On trouvera, par le théorème des projections et à l'aide des formules de la Trigonométrie sphérique,

- — , -r— r= S (cosu cosô — sinu sin^cosy) -+- T(— sinu cosO— cosu sin0cos9)4-Wsinôsincp,

Jl fit' ij JU

(1) { T. — ; -,- = S (cosj sinô + sinucosôcos©) + T (— sinu sin9+ cos-jcos0coscp) — Wcos5sin<p, ■„ — ;-v-=Ssmusm9 -t-lcosusm© H-Wcos©,

OÙ l'on a désigné par u la distance de la planète à son nœud ascendant, c'està-dire l'argument de la latitude.

Soit 0- l'un quelconque des éléments elliptiques; on aura

d<7 dx da âv da dz da

Les valeurs de ^> -^ et — seront tirées des formules du mouvement elliptique, savoir :

X =: /-(cosu cosô — siny sin9 COS9), y:= /'(cosu sinô + sinu cosô COS9 ), ^ = /• sinu sincp, u =z nr — 9 -\- w,

(3) < u — e sin u := nt -h e — gt, rr=a(i — ecosu) =

I + e cosM^

Les dérivées relatives à 9 se calculent sans difficulté; pour celles qui se rapportent à 6, il faut remarquer que ô figure explicitement dans les formules et implicitement par u; on aura ensuite

dus dj de

Enfin les dérivées relatives à a, e et £ s'obtiendront aisément, en remarquant que l'on a

dr r da a

dj

dr

de ~

acosvv,

dj 2 4- e cos w .

-r- ■= r- — Sin M',

de ï~ e^

dr

ae

dj a- y/i — e^

de 0

de '" r»

Nous ne faisons pas varier a dans nt -}- 1 — ts, parce que nous supposons qu'on mette dans les formules fndt au lieu de nt. Ayant donc -^j .— et y par le calcul précédent, les formules (i) et (2) feront connaître les dérivées -r-- Voici

les résultats auxquels on arrive, après des réductions faciles,

fm' da a

3r Wr sinu,

ïm' d(f

i dR Cl m 2 + ecosw'

;; — ; -T— = — ^a cos w -h l — /• sin w,

f m de I — e^

I (?R j, ae

fm' de "~ \/i — e^

i dR <a

■X ; -^r^r =— 2 f/- SID^- — W Sltt© /'COS'J,

fm' dd 2 ^

sin w + T — y/i — e^

I dR fm' dny

î ^ fm' de

Il n'y a plus qu'à porter ces expressions (4) dans les formules (h) du n°62. On trouve aisément, en remplaçant f par ->

2m' na^ /„ . , rj, P\

da dt

de m,'

dt \-\- m

rf(p m' na

sincp

dt

dO ~di

dijs

nà^\/i — e^ [S sin<p -f-T(cosw + cosw)], Wrcosu,

Wr sinu,

o dB m'

e-y- = 2e sm^ - -r H nci.

dt 2 dt \ -\- m

y/i — e^ — ScoSMP' + T (i + - ) sinw

de di

naSr

dt ^ 2 dt

Si l'on ajoute au second membre de la dernière de ces équations la quantité

on aura la valeur de

3 r n da , rdn ,

/ -dt ^=-[- I -r-dt,

2j a dt J dt '

- I ndt),

de d

dt-^"'-=^dt^'

c'est-à-dire de la dérivée de la longitude moyenne.

Les formules (A) sont très importantes, surtout quand on veut obtenir les valeurs variables des éléments à l'aide de quadratures mécaniques, car il est possible d'obtenir les valeurs numériques des quantités S, ï et W, dans une pre- T. - I. . 55

mière approximation, à l'aide des coordonnées (3) du mouvement elliptique, et il n'en est pas de même des formules (A) du n*" 62 où figurent les dérivées dR dR da de

De plus, ces mêmes formules {X.) mettent bien en évidence les influences des trois composantes S, T, W de la force perturbatrice sur les divers éléments. Les explications élémentaires données par J. Herschel et M. Airy des principaux effets de la force perturbatrice ne sont, au fond, qu'un commentaire des formules en question.

Enfin nous remarquerons les relations suivantes, que l'on déduit immédiatement des équations (A),

d\Jp m' I

dt 1 -h m

( \/p?ï" + ^*"'^^'= ^^ ,-!!!— Vf r;

Id^- . , dB^ m'

dt^ ^ dl- 1 + m y/,

elles donnent des expressions très simples pour la dérivée de la racine carrée du paramètre et pour la vitesse du pôle boréal de l'orbite, dans sa trajectoire sur la sphère de rayon i ayant son centre au centre du Soleil.

186. La fonction perturbatrice R se compose de deux parties qui correspondent aux attractions de la planète P' sur la planète P et sur le Soleil ; nous avons dit au n*' 125 que cette seconde partie ne donne pas de termes séculaires quand on ne considère, comme nous le faisons ici, que les perturbations du premier ordre par rapport aux masses. Nous pourrons donc nous borner à la première partie de R; dès lors, S, T, W seront les projections, sur les trois axes définis

plus haut, d'une longueur ^ portée sur la droite PP'. Les expressions de ces

trois projections pourront être développées suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes 'C et ^', et si, dans les formules (A), on

remplace sin^p, costi^, cosm, r, -> -> rsinu et rcosu par leurs développements

périodiques relativement à ^, on aura, pour la dérivée d'un élément quelconque a, une expression de la forme

(5) -^= k^,^-\-^ki,vZQ%{i'C,-\-i''Cj-^q)\

les seconds membres de ces équations ont, du reste, déjà été obtenus dans le Chapitre XX. On en conclut, dans la première approximation,

<7--const. -4- Ao,o^4- yi -^ ^— ^ sin(fÇ + i'XJ ^-q)-,

si les moyens mouvements ne sont pas exactement commensurables, on n'aura jamais m + î'w'— o, et A^^ot constituera toute l'inégalité séculaire de l'élément Œ. Le calcul des inégalités séculaires est donc ramené à celui des coefficients Ao,o que nous désignerons par \-£^\ ; nous tirerons de l'équation (5),

Nous appliquerons cette formule aux cinq éléments e, ç, 0, rrr, £, puisque le sixième a n'a pas d'inégalités séculaires, et nous poserons, pour abréger,

TrfÇ' = T.,

'^|'%VrfÇ'=W.;

nous trouverons alors

tdel na^sli — e^ i C"^^

[-r- = , — / Wo/COSu<^C>

sin9 -7- = ^ — / WoTsinuc??,

Nous serons donc ramenés, d'une part au calcul de S^, To, Wq par les formules (6), et d'autre part au calcul des diverses intégrales qui figurent dans les seconds membres des équations (7).

Concevons que l'on répartisse la masse de la planète P' tout le long de son orbite, de manière à former un anneau, la quantité ci[k' distribuée sur l'élément ds' étant proportionnelle au temps dt que la planète emploie à décrire cet élément; on aura

et la première des formules (6) donnera

io=y*srfpi'.

fm'SdiL' est la projection, sur le rayon vecteur r, de l'attraction exercée sur la planète P par l'élément d^t.' ; fm'/S di^x' sera la projection sur la même droite de l'attraction résultante exercée sur la planète P par l'anneau elliptique infiniment mince considérée plus haut. Donc f m'So, fm'T^ et îm'Wo ne sont autre chose que les projections de cette attraction résultante.