Nous voici donc conduits au problème de Gauss
Calculer l'attraction exercée sur un point P par un anneau elliptique infiniment mince, dans lequel la densité djx' d'un élément quelconque est proportionnelle à l'aire Z' du secteur ayant l'élément pour base et pour sommet l'un des foyers S de l'anneau.
Nous allons exposer la solution simple et élégante que vient de donner M. Halphen dans le tome II de son Traité des /onctions elliptiques.
Soient
P le point attiré ;
E' l'anneau;
a' et b' ses demi-axes;
P' et P', les deux extrémités de V élément d[i.';
A la distance PP';
l'attraction de l'élément sur l'unité de masse placée en P sera fm' -^.-n t^-
Prenons trois axes rectangulaires se coupant en P; soient, relativement à ces trois axes,
Xo, yo, Zo les coordonnées du Soleil S;
x', y', z' celles du point P';
x' -+- d\'y y' + dy, z' + dz' celles du point P', .
Si nous laissons de côté le facteur fm', les composantes de l'attraction suivant les nouveaux axes seront
Tia'b' A»' -Ka'b' A»' iza' b' A^ Soient V le volume du tétraèdre PSP'P',, h la distance du point P au plan de
l'anneau ; on a pour V ces deux expressions
V = ^ [xo {y'dz'-z'dy')-^ y,{z' dx' -^ dz') + z,{^' dy' - y' dx' )];
en les égalant, on aura la valeur de II que l'on portera dans les composantes (8) de l'attraction élémentaire. Si l'on pose ensuite
rx'(y'dz'-z'dv') ^ rf{y'dz'-z'dy') „ f z' (y' dz' - z' dy' ) Px' = j ^^ —' Py=j ^i > P^- j ^3 '
rx'(z'dx'—x'dz') „ ry'iz'dx' -x'dz') ^ fz'iz'dx' — x'dz') ^^^J Â^ ' ^'~J Â^ ' ^'~J Â^ '
rx'(\'dy' — y'dx') „ rf(x'dv'—y'd\') P z> {x' dy' — y' dx' ) '^J Â^ ' '~J Â^ ' ~J Â^ '
OÙ l'on a A^ = x'^ 4- y'^ -+- z'^ et où les intégrations s'étendent à toute l'ellipse, on aura, pour les composantes $^, $y, ^^ de l'attraction exercée par l'anneau sur le point P,
(9) { ^j= 2T:a'b'h ('XoPy + yoQy + ZoRyO,
M. Halphen fait plusieurs remarques au sujet de ces formules ;
a. P^., . . ., R,. sont homogènes et de degré zéro par rapport à x', y', z'; si l'on fait pour un moment
on trouve aisément
r u'dv'
(lo) ( V>x'= / i> Uy— / i' Ui'-
ru'{u'dv'—v'du') ^ rv'{u'dv'—v'du') „ r u'dv' — v'du' H,— / ^-> K,= / g-, K,r= / ~
Z' rfc'
/^ rf«'
y^ U'dv' — V'du'
l'équation du cône ayant E' pour base et P pour sommet est de la forme
donc les intégrales P^., ..., R^,. dépendent uniquement de la forme du cône; elles conserveraient les mêmes valeurs si, le cône restant le même, on remplaçait la courbe E' par une section quelconque du cône.
On peut, en particulier, effectuer les intégrations le long de la courbe C que l'on obtient en coupant le cône par le plan z = i; dans ce cas, u' et v' sont les coordonnées d'un point quelconque de C
b. Les formules (lo) montrent que l'on a identiquement
(11) P,.+ Q,.4-Rz=o.
c. On a aussi
Py— Qx=— / j= 4-const.,
de sorte que, si l'anneau E' est fermé, u' et v' reprenant à la fin de l'intégrale les mêmes valeurs qu'au commencement, on trouve la troisième des relations suivantes; les deux autres s'en déduisent par des permutations de lettres :
(12) Qx = R,, Rx = Pz, P,=Qx.
Dans ce cas général d'un anneau fermé quelconque, les composantes (9) de l'attraction de cet anneau sont les dérivées partielles, prises par rapport à Xo, yo, Zo, de l'expression
(i3) ^— ,^ j,^,^ (x^ P,, -H y2 Qy. + z^R,. 4- ayoZoRy. + aZoXoPz- + 2XoyoQx).
d. Supposons que le cône admette le plan des zx pour plan de symétrie; la courbe C aura un axe de symétrie parallèle à l'axe des x; si l'on compare deux éléments symétriques, on voit que u' et dv' restent les mêmes, tandis que v' et du' changent de signe; si donc on se reporte aux formules (10), on trouvera
Si le cône admet en outre le plan des zy pour plan de symétrie, on aura en
plus
L'expression (i3) se réduit donc à
où il n'y a que deux des intégrales P^., Qy,, R,,. à calculer, à cause de la relation (i i). On a ensuite
<'"> *>=ïï5'é^''»' *'=ï^#*^y»' *-=ï^f5i;7;^«'
et l'on en conclut
Xo yo zq
ce qui montre que l'attraction est située dans le plan
x-o yo zq
dont la position, indépendante de la forme du cône, est entièrement déterminée par les deux points P et S.
188. Les résultats précédents ont lieu quelle que soit la nature de la courbe E'; admettons maintenant que ce soit une ellipse ayant pour foyer le point S. Alors, le cône est du second degré, et, rapporté à ses axes principaux, il aura pour équation
on peut supposer G, G' et G" positifs. En faisant z = i, on aura la courbe G; soit i l'anomalie excentrique d'un point quelconque de cette courbe ayant pour coordonnées u' et {>'; on aura
(17) u'=i/-^cos^, ^-'^W-^sin^.
Les formules (10), (i5) et (17) feront connaître les composantes de l'attraction
Tza'b'h J^ (G-+-G'cos2|4-G"sin20^
