COS^^H-G

sin^O'

sin^^d^

cos'^û?^ F,— E,

sin^^o?! I / E,

^ y„ (G4-G'cos''|4-G"sin20^ ^o (i-^'sin^O^ ^' ^' "^

(G + GQ^ /•" dl r' dl El ,

^ y„ (G4-G'cos2^ + G"sin2^)^ ,7^ (i-Ar^sin^O' ^ " '^^

après quoi les formules (18) donneront les composantes 'de l'attraction exprimées à l'aide des intégrales complètes F, et E, de Legendre.

Ces composantes se trouvent rapportées aux axes principaux du cône : on en déduira facilement les valeurs So, T^ et Wo des composantes de la même attraction par rapport aux axes définis au n** 185. On voit que, dans la solution précédente, il faut calculer la position et la grandeur des axes du cône ayant son sommet au point P et pour base l'ellipse E'; c'est une simple question de Géométrie analytique qui exige, comme on sait, la résolution d'une équation du troisième degré dont G', G" et — G sont les racines. M. Halphen a montré qu'on peutéviter larésolution de cette équation, en introduisant les fonctions elliptiques sous la forme moderne; nous renverrons le lecteur qui désirerait approfondir le sujet au Traité de M. Halphen.

189. n résulte de ce qui précède que, pour chacune des positions du point P,

on est à même de calculer S„,To, Wo;pour obtenir les valeurs (7) d<^ r^ ' " ' on aura à effectuer des intégrations telles que

L'expression analytique de la fonction '^pest très compliquée ; aussi est-on obligé de déterminer numériquement les intégrales ci-dessus, par des formules de quadrature. Supposons la fonction <j/ développée suivant les sinus et cosinus des multiples de t,

( 4^(Ç) r=:«o-t- «iCOSC H- «2COS2Ç +. . .

1 + ^1 sinC + ^2 sin2Ç -f-. . . ;

divisons la circonférence en y parties égales et donnons à (^ les valeurs o, -j-^ ^' •■•' (y ~ 0 ~^j nowA pourrons calculer les valeurs numériques correspondantes de ^('C), 4^0» '!'<» •••> 'j'y-»- Nous aurons les relations

4^0 = ^0 + «1 + «2 + • • • , , 27r 271 , . 2Tr , . 27r

d/. = «0 4- a, ces — - + a» ces 2 -7- + . . . 4- o. sin -^ + 62 sin 2 — - 4- . . . , ^ J J J J

Si nous faisons la somme, nous trouverons, en vertu de formules bien connues,

On a d'ailleurs il viendra donc

Si le développement (22) est assez convergent, j ayant du reste une valeur notable, la somme a^H- a^j -h . . . pourra généralement être négligée, et la formule (23) se réduira à

On obtiendra donc ainsi des valeurs numériques très approchées des intégrales (21), et il aura suffi, pour les obtenir, de déterminer les valeurs numériques des fonctions 'J^('C) qui répondent à j valeurs équidistantes de ^. On trouve que, si P désigne l'une des anciennes planètes, il suffit de prendre T. - I. 56