CHAPITRE XXVII. — MÉTHODE DE GAUSS
j = 11, pour obtenir toute la précision désirable; on aura donc, en somme, à calculer les composantes de l'attraction d'un anneau elliptique sur douze positions du point P.
On peut, dans les intégrales (21), mettre en évidence l'anomalie excentrique u au lieu de l'anomalie moyenne; on a
</^ = ( I — e cos u ) du := — du . a
On sera donc amené à considérer des intégrales telles que
I f^"" — I y (u) du.
Si l'on donne à u les valeurs équidistantes o, -t^j --,■■•■> les points correspondants de l'orbite de P formeront un polygone inscrit qui différera fort peu d'un polygone régulier; les différences seront en effet de l'ordre de e*, conmie le montrent les expressions
des coordonnées d'un sommet quelconque, rapportées aux axes de l'ellipse. Ces mêmes coordonnées sont égales à
a(cosÇ — esin^C + ...), a\J\ — e^ (sinC + esinÇcosÇ +...);
si donc c'est.à t qu'on attribue des valeurs équidistantes, le polygone inscrit différera plus que précédemment d'un polygone régulier; la différence sera de l'ordre c; aussi préfere-t-on donner des valeurs équidistantes à l'anomalie excentrique.
La métbode de Gauss a fait l'objet d'un assez grand nombre d'études ou d'applications, parmi lesquelles nous mentionnerons :
NicoLAÏ. — Neue Beredinung der Seculardnderungen der Erdhahn {Astronomisclies Jahrbuch, p. 224; 1820).
Clausen. — Alia solutio problematis a celeberrimo Gauss in opère « Detenninatio atlractionis... » tvactati {Journal de Crelle, l, VI, i83o).
Adahs. — On the orbit of tlie november meteors {MonLhly Notices, t. XXVIl).
BouR. — Thèse de doctorat, i855.
Seeliger. — Ueber das von Gauss herriihrende Theoreni die Sdcularstôrungen bctrcffend {Astronomische Nachricliten, t. XCIV, 1879).
G.-W. HiLL. — On G auss' s me thod of Computing secular perturbations, dans le lome I des Astronomical Papers de S. Newcomb, 1882.
0. Callandreau. — Calcul des variations séculaires des éléments des orbites {Annales de l'Observatoire de Paris, l. XVIII, i885).
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE LORSQUE L'INCLINAISON MUTUELLE DES ORBITES EST CONSIDÉRABLE.
190. Le développement usuel de la fonction perturbatrice, étudié dans le Chapitre XVIÏI, suppose la quantité
4/v'sin(u — r') sin(p'— t') . ,J
^ — —^ j^ T 7 t{ sin- -
r--\-r' — 2rr cos(u — v) 2
inférieure à l'unité. J'ai déjà dit que, dans le cas où les planètes considérées P etP' sont Pallas et Jupiter, la condition ci-dessus n'est pas toujours satisfaite; pour la démonstration, je renvoie le lecteur à mon Mémoire Sur les perturbations de Pallas par Jupiter (^Annales de l'Observatoire^ t. XV).
Il faut donc, dans ce cas et dans les cas analogues qui peuvent se présenter pour quelques-uns des astéroïdes, recourir à un autre développement. Le Verrier avait donné quelques indications sur la marche à suivre, dans le tome I des Annales de V Observatoire, p. 33 1-333. En partant de ces indications sommaires, je suis arrivé à trouver la forme analytique générale du développement qu'il convient d'adopter.
Soit R la fonction perturbatrice qui correspond à la planète P; on a, en se reportant aux n°* 117 et 118, dont on conservera les notations,
R =: fm' f i - 4 cos v) = fm' ( ,- " - -Çï cos V^ ,
cos V = (7 — cos((' — t) cos(«'' — t') h- sin(^' — t) sin(p' — t') cosJ
= cos' - cos((^'— t^ — t'-ht) -I- sin^ - cos(p'-f- v — t' — r).
Posons maintenant
i>' — v — z'-hr = .T, v' -\- ç — t' — ~=J»
' COS^ - = jJL, Sin^ - = V, Cl ou fjt. + y = I ;
il viendra
(2) o-= cosV = |jicos^ + y cosj'.
Faisons d'ailleurs
(3) ^= ^__1 = - y .l.(" ) cos n V ;
^ V'/'^4-/''- — 2/t'cOsV "2 ■— ^
A,^"'> sera une fonction homogène Et de degré — i de r et / qui coïncidera avec la fonction A^"^ du n° 104 quand on remplacera r et r' par a et a'.
Toute la question se réduit à trouver l'expression générale du développement de cos/tV suivant les cosinus des multiples de 00 et y, en partant de la formule (2).
Avant de résoudre ce problème, nous allons aborder quelques questions préliminaires.
