GÉNÉRALITÉS SUR L* ATTRACTION
Supposons, en second lieu, le point N extérieur à la couche : soit r^ le rayon extérieur de la couche; la plus petite valeur de u est /• — r^ et la plus grande r-h r, ; on pourra donc écrire, en désignant par M la masse de la couche,
ou bien
ou encore
/dm r dm f dm
I r , r dm I /'
/ dm < I — < /
dm
Si le point N s'éloigne indéfiniment, rtend vers l'infini; V reste toujours compris entre deux quantités qui se rapprochent indéfiniment de zéro; donc V tend vers zéro. Si, dans la formule (7), on fait r = oc, V = o, il vient B = o ; il en résulte
portons cette valeur de V dans les inégalités (8), et nous aurons
Si nous faisons tendre r vers l'infini, nous voyons que A reste compris entre deux quantités qui tendent vers M; donc A = M, et l'on a, pour tous les points extérieurs à la couche,
la formule (5) donne ensuite
P désigne la projection de l'attraction R sur la direction ON; or, par raison de symétrie, l'attraction est dirigée suivant la droite NO. On a donc
et, par suite.
cette attraction est égale à celle qu'exercerait sur le point N un point matériel de masse M placé en 0. De là ce second théorème, dû également à Newton :
Une couche sphérlque homogène attire les points extérieurs comme si toute sa masse était réunie à son centre.
Ce résultat a encore lieu pour un corps formé de couches sphériques concentriques homogènes, d'épaisseurs quelconques, finies ou infiniment petites, la densité de chaque couche variant d'une manière quelconque, du centre du corps à sa périphérie; carie théorème est vrai pour chacune des couches.
Ainsi le Soleil, les planètes et leurs satellites pouvant être considérés sensiblement comme des corps de la nature supposée ci-dessus, ils attirent à fort peu près les points extérieurs comme si l'on supposait leurs masses réunies à leurs centres de gravité respectifs.
Si nous nous reportons à \^ fig. (3, n*^ 8, en supposant les deux corps composés de couches sphériques concentriques homogènes, et si nous désignons par M< la masse du corps A,, par G, son centre de gravité, par dm la masse de l'élément M, par A la distance MG,, la résultante des attractions exercées sur M par tous les éléments du corps A, sera une force MR dirigée suivant la droite MG,, ayant pour intensité
ifr» f ^ïi dm f M| dm
MU = , = —n— \
MGi ^
on aura {^fig- 8) des forces analogues appliquées aux éléments M', M", ...,
f M, dm'
