fu. I — • dm

où

u = \/{a — ccy-^ {b—fy-h{c — z)K

En remplaçant dm par p dadbdc, on peut écrire aussi

I X = f ]:j!. / / / j — p da db de,

(i') lY=zfixJlJ ~/ pdadb de,

I Z = l'/x / 1 I ~ 9 da db de.

On doit supposer que p est une fonction connue de a, b, c, F (a, b, c) ; dans les formules (i'), les intégrations s'étendent à toute la masse du corps A.

On est donc ramené au calcul de trois intégrales triples.

On peut faire dépendre la détermination de X, Y, Z de celle d'une seule intégrale triple. Posons, en effet,

OU

JJJ « J J J ^^a-xr-+{b-yy--^{c-zY

les intégrations s'étendant à toute la masse du corps A ; on voit que V sera finalement une fonction de x, y, z; c'est ce que l'on nomme la Jonction potentielle ou simplement le potentiel relatif à l'attraction du corps A sur le point M(a7,7, s). La formule (2) montre que le potentiel représente la somme des éléments de masse du corps divisés par leurs distances au point attiré.

Nous supposerons essentiellement ici (') que le point N est extérieur au corps ou plutôt qu'il ne fait pas partie de la masse du corps; dans ces conditions, les éléments différentiels, dans les formules (i') et (2'), sont toujours finis; X, Y, Z et V sont des fonctions continues et finies de ce, y, z. Cherchons la dérivée partielle de V par rapport à x. Dans la formule (2'), l'élément différentiel reste toujours fini; les limites des intégrations sont indépendantes

de x\ on peut différentier sous le signe / / / ; on trouve ainsi

jm

(3) z= / / / ^^dadbdc.

Or on a

«2 - (a; ay-+ (7 - bY-\- {z — c)\

d'où

dx 2 a' dx u^ '

l'équation (3) donnera donc

En comparant avec (i'), on obtient la première des trois formules suivantes :

Il suffira doMc de déterminer la fonction V pour que X, Y, Z, et par suite l'attraction R, soient connus en grandeur et en direction.

Désignons par r le rayon vecteur ON mené de l'origine 0 des coordonnées au point attiré N, par P la projection de la résultante R sur la direction ON, comptée positivement dans le sens ON et négativement dans le sens contraire.

(1) Une théorie plus complète du potentiel sera donnée dans le lomc 11 de cet Ouvrage.

GÉNÉRALITÉS SUR l'aTTR ACTION. 55

On peut appliquer la première des équations (4) en supposant que, pour un moment, l'axe des x coïncide avec ON; on trouve ainsi la formule

la signification de la dérivée -y^ est la suivante : soient, sur le prolongement

de ON, N' un point infiniment voisin deN, NN'= §/% Vh- §V la valeur du potentiel

pour le point N'; on aura

dV ,. èW ar or

d-Y c)*V d^V 10. Equation de Laplace. — Calculons l'expression y-^ + yi + "t;? ^n

partant de la formule (2'). Nous pourrons différentier deux fois sous le signe / / / ; nous trouverons donc

or on a

d'où

df- ^ ôz^ J J J Xdx'-'^ dy + dz^-J

p da dh de ;

On a donc, pour toutes les valeurs de oc, y, z qui répondent à des points ne faisant pas partie du corps attirant, l'équation remarquable

qui a été découverte par Laplace.

11. Attraction des couches sphériques homogènes. — Considérons une couche sphérique homogène d'épaisseur finie et cherchons son attraction sur un point N ne faisant pas partie de la couche, situé soit à l'extérieur, soit dans l'intérieur de cette couche.

Prenons le centre 0 de la couche pour origine des axes; il est évident a priori que le potentiel V ne doit dépendre que de la distance rdu point N au point 0; d'ailleurs la fonction V doit vérifier identiquement l'équation (G). On aura

les formules suivantes :

âr a?

dV dV dr dV a^ dx dr dx dr r

d^ d^ /^Y ^ /i -^ dx^ dr- \ /■ / dr \ /• /■*

Ajoutons cette expression de . , aux expressions analogues de -r-^ et -pj» et portons dans (6); nous trouverons

d^V 2 ^ dr'^ r dr

d^N dV

OU bien

ou encore

d*Yr

dr- On en tire, en désignant par A et B deux constantes arbitraires,

Détermination des constantes. — Supposons d'abord le point N placé dans l'intérieur de la couche; on devra avoir A = o, sans quoi la formule (7) donnerait V = 00 pourr=o, c'est-à-dire pour le centre do la couche, co qui est impossible, V restant évidemment fini par sa définition même. On aura donc, pour tous les points situés à l'intérieur de la couche,

V = B=:const.,

d'où

dV dV âV

X = 0, Yz=:0, Z = 0.

On a donc ce théorème dû à Newton :

Une couche sphérique homogène n exerce pas d^ action sur les points de son intérieur.