GG

Nous arrivons donc à cette conclusion que, si l'on transporte au point G, parallèlement à elles-mêmes, toutes les attractions exercées sur les divers éléments de A par les divers éléments de A,, la résultante ^ sera dirigée suivant la droite GGi et aura une intensité déterminée par la formule (9).

Si donc la figure et la constitution des corps A, A,, Ao, ... étaient celles qu'on a supposées plus haut, on pourrait faire abstraction des dimensions de ces corps et les remplacer par des points matériels G, G,, Go, ..., de masses M, M,, Ma, ..., s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton; et, pour avoir les équations différentielles des mouvements des centres de gravité des corps considérés, il suffirait d'écrire les équations différentielles des mouvements d'autant de points matériels de masses données, soumis à leurs attractions mutuelles s'exerçant conformément à la loi de Newton.

On formera ces équations différentielles dans le Chapitre suivant.

Mais, en réalité, les corps célestes ne sont pas rigoureusement sphériques; bien que les observations n'aient pu nous révéler encore un aplatissement sensible dans le Soleil ni dans un certain nombre de planètes, la Géodésie nous a appris à mesurer l'aplatissement de la Terre; il suffit de regarder Jupiter et Saturne dans une lunette, sans faire aucune mesure, pour voir que ces corps s'éloignent notablement de la forme sphérique.

La réduction des corps célestes à leurs centres de gravité respectifs n'est donc qu'une approximation ; fort heureusement, une circonstance particulière rend cette approximation très voisine de la réalité; cette circonstance est que les dimensions des corps célestes sont très petites par rapport aux distances qui les séparent les uns des autres; nous allons développer ce point dans l'article suivant.

12. Attraction d'un corps sur un point éloigné. ~ Soit le corps A (y?^. 9)

dont on cherche l'attraction sur un point matériel N dont la distance GN = rau

(ÎO CHAPITRE II.

centre de gravité G est très grande par rapport aux dimensions du corps. Nous prendrons le point G pour origine des coordonnées et nous ferons passer l'axe GX par le point N; désignons par M l'un quelconque dm des éléments de masse du corps, par a, h, c ses coordonnées, par r' la distance GM, par u la distance MN et enfin par V le potentiel relatif à l'attraction du corps sur le point N. Nous aurons

■ay-i-b^

,Ji

lar -\- /•'

lar —

D'après l'hypothèse, quel que soit le point M à l'intérieur ou sur la surface du corps A, le rapport - est très petit, et il en est de même, a fortiori, du rapport -; nous allons considérer - et - comme de petites quantités du premier ordre suivant les puissances desquelles nous développerons l'expression de donnée ci-dessus. Nous trouverons aisément, en négligeant le troisième ordre,

d'où, en multipliant par dm et intégrant pour tous les points du corps A,

V= ^ fdm + -^ fadm+-^ f{3a- — r'^) dm -^ . . . .

Or, si M désigne la masse du corps, on a

/ dm = M ;

puisque l'origine des coordonnées coïncide avec le centre de gravité, on a aussi

/ a dm = o ,

et il en résulte

r ir^ J ^ '

GÉNÉRALITÉS SUR l'aTTRACTION. 6i

OU encore, en remplaçant a^ par r'- — (^^ + c^).

(lO)

V=^ 4-~ fr'^'dm-^^ nb'^^c')dm-\-...

Désignons par I le moment d'inertie du corps par rapport à la droite GN et par A, B, C les moments d'inertie principaux de ce corps relatifs à son centre de gravité G; on a, comme on le voit aisément,

d'ailleurs

f{b^^c^)dm = l:

la formule (lo) donnera donc

,, MA + B-t-G — 31

Soient a, [B, y les angles que fait la droite OG avec les axes principaux d'inertie du point G; on a, par un théorème bien connu,

I = A cos^a + B cos2(3 + C cos^y = (A — C) cos^a + (B — G) cos2[3 + G; la formule (ii) pourra donc s'écrire

M (A — G) (i — 3 cos^a) + (B — G) (i — 3 cos^jS)

OU encore, en désignant par r[ la plus grande valeur de r' le long de la surface du corps,

,, Mr /A — G I — Scos^a B — G I — 3cos2(3\ //-'A^ "l

Quand il s'agit de l'attraction d'un corps céleste sur un point très éloigné,

la formule (12) se réduit à fort peu près à V = — ? à cause d'abord du petit facteur (^) j et ensuite parce que les quantités „ ,^ , -j^rrr sont petites aussi,

car ces quantités seraient nulles si le corps considéré était composé de couches sphériques concentriques homogènes, hypothèse peu éloignée de la réalité. On pourra donc, le plus souvent, se borner à

d'où, relativement à un système quelconque d'axes G^, Gj, G^ se coupant en G, en désignant par x, y, z les coordonnées du point N relatives à ces axes,

^ „ dY fuM / œ

dx r^ \ /

et des expressions analogues pour Y et Z; le corps A attire donc à très peu près le point N comme si toute sa masse M était réunie à son centre de gravité G.

Pour "nous faire une idée de la grandeur du coefficient de l—j dans la formule (12), supposons que le corps A soit un ellipsoïde homogène de révolution autour du diamètre auquel correspond le moment C et aplati suivant cet axe; on aura, comme on sait, en désignant par c' le rayon polaire et remarquant que r[ = a' est le rayon équatorial,

B tzr A = M = -,

et la formule (12) donnera

, Mf a'''—c"',^ , , ,. Ja'Y "1

^ = 7 [' "^ xoa'^ - ""^^ "^ "^ ^ ^^^ *^ - ^^ ^ (7 J "^ • • • J

ou encore, avec une précision suffisante, en supposant petit l'aplatissement £ = — -, — de l'ellipsoïde,

V=^[,+ I.(,-3cos.,)(2;)V...].

Remarque I. — Dans le cas où l'on considère l'attraction exercée par une

planète sur un point d'une autre planète, le rapport -7 est très petit, et l'on peut toujours se borner à

Mais il n'en est plus ainsi pour l'attraction exercée par la Terre sur la Lune; — est environ g^; pour l'attraction de Jupiter sur son premier satellite, — =^;

s'il s'agit enfin de Saturne et de son premier satellite, on a ^ = v C'est donc

GÉNÉRALITÉS SUR l'aTTRACTION. 63

seulement dans l'étude des mouvements des satellites qu'il y aura lieu de compléter l'expression approchée — du potentiel.

Remarque IL — Le système solaire se compose de planètes isolées et de systèmes secondaires formés chacun d'une planète et de ses satellites; les centres de gravité de ces systèmes partiels sont très éloignés les uns des autres relativement aux distances respectives des corps de chacun d'eux; si donc on considère le potentiel relatif à l'attraction d'un de ces systèmes sur un point très éloigné, on pourra appliquer la formule (12) et la remplacer simplement

par V = — > à cause de la petitesse du facteur ( — j ; mais cette réduction sera

moins approchée qu'elle ne l'était dans le cas d'un des corps célestes, parce que

les quantités -ri-Tr ^^ ^ .,./ ne sont plus très petites. On voit donc que les

centres de gravité des planètes isolées et ceux des systèmes secondaires se meuvent à fort peu près comme si toutes leurs masses étaient réunies à leurs centres de gravité, ces divers centres s'attirant mutuellement deux à deux suivant la loi de Newton.

Nous pourrons donc introduire une simplification importante et considérer le système solaire comme formé d'un nombre limité de points matériels de masses données s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton et correspondant : le premier au Soleil, le deuxième à Mercure, le troisième à Vénus, le quatrième à l'ensemble de la Terre et de la Lune, le cinquième à l'ensemble de Mars et de ses satellites, etc.

Quand on connaîtra le mouvement du centre de gravité d'un système secondaire et les mouvements relatifs dans ce système, il sera aisé d'en déduire le mouvement de la planète correspondante; ainsi la théorie générale fera connaître d'abord le mouvement du centre de gravité de la Terre et de la Lune; on déterminera ensuite le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, et c'est alors seulement qu'on sera à môme de calculer complètement le mouvement de la Terre.