DES CORPS CÉLESTES

13. Nous pouvons maintenant, après les simplifications précédentes, former aisément ces équations.

Prenons trois axes rectangulaires fixes 0^, Gy], Ot; soient, relativement à ces axes, ^o> ^jo» ^o les coordonnées du centre de gravité Mo du Soleil dont la masse sera représentée par m^; désignons par H/, y],, "Ci, rui les quantités analogues relatives au centre de gravité M, de l'une quelconque des planètes ou au centre de gravité de cette planète et de ses satellites, l'indice «prendra les valeurs I, 2, 3, ...,«, n désignant le nombre des planètes; nous représenterons d'une manière générale par A/j la distance des deux points M, et My. Cherchons les équations différentielles du mouvement du point Mo; ce point est soumis à l'action de n forces dirigées suivant les droites MoM,, M0M2, ..., MoM„; la première de ces forces a pour intensité .° '; ses projections sur les axes de coordonnées sont égales respectivement, en grandeur et en signe, à

f/np/ni gi — £n fntonij n^ — ri„ f^V^j Ci — Co A»,, Ao., ' Al, A„., ' A^,, Ao,,

On formera donc aisément l'équation suivante

et deux autres équations toutes pareilles en yj et '(. De même,

Lagrange a donné à ces équations une forme très symétrique en introduisant la fonction

Al, 2

\ni„^m„

que nous écrirons plus simplement

on a du reste

I^lj = a^-EjY-^ (ru- njY+iKi- Kj)\

On peut calculer les expressions des dérivées partielles ~ , . partant de (2) et (3); on trouve aisément

' ^n^j • • ' ■> -T^ 5 en

K,i àlo

d'où

àco Ao,i

àço

^f - f,«om, iL 5" ^. f,n,m, ^^ '•«

après quoi l'équation (1) donnera

A-* , '-'il. ■>

d%dV dt^ "" dlo

On pourra donc donner la forme suivante aux équations différentielles des mouvements des centres de gravité des n + i corps considérés

d'Eo OU dt- dli

d'^Tio (RI dt^ "" drio

dt^ ~~ df\i

~^Co

dl^ dln' '" dt^ - dn,,' -^"dW-dKa

A|,y = (^/- IjY -\- {ru-njy+ {Ki- KjY.

La fonction U est \^ fonction des forces; il est important de remarquer qu'elle ne

de •

contient explicitement ni le temps t ni les composantes -ij^ ••• des vitesses.

La détermination des mouvements de M», M,, ..., M„ dépend de l'intégration du système {a) de 3nH-3 équations différentielles simultanées du second ordre; c'est le problème des n + i corps. Mais il n'a été possible jusqu'ici de faire l'intégration complète que dans le cas de « — i ; le système n'est alors formé que de deux corps, le Soleil et une planète. Dans les autres .cas, même pour le fameux problème des trois corps, malgré les efforts des plus grands géomètres, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales que nous allons faire connaître.

14. Commençons par une remarque sur la fonction des forces U. On a

— \in,

On en conclut

ùn,"-"l'"''~'M,j

dru dc,i ^^ ' A?y

^ (-r d\} d{j\ f V" V 'Eifij — rii Ij

si, dans les termes élémentaires des seconds membres, on cbange « eny et inversement, on voit que ces termes élémentaires sont égaux et de signes contraires. On en conclut donc

et quatre autres relations analogues que l'on obtiendrait par des permutations de lettres.

Cela posé, on tire des équations («), en ayant égard aux formules (4),

dt^

d-'E,i y d^-Ki

ir-i / d--f]i d^li

de- ■' défi

dl-

Occupons-nous d'abord des formules (5); on en déduit, en désignant par «,, h^, c^, a.,, b.^, Co six constantes arbitraires,

( 7 ) a^t-^ a^z=^ nii li, bi t + 6, =: ^ im -ru, c^t + 0^ = ^ nii C/,

d'où

dlc dt

Les formules (b) et (c) sont de la forme

ce sont donc des intégrales du système (a); elles sont au nombre de six et sont connues sous le nom (['intégrales du mouvement du centre de gravité; les formules (7) expriment en effet que le mouvement du centre de gravité des Az 4- 1 points matériels considérés est rectiligne et uniforme.

Passons maintenant aux équations (6), multiplions-les par dt, intégrons-les et désignons par a^, b^, c\ trois nouvelles constantes arbitraires; nous trouverons

/ X? / dt,i dm

'•' " 2é '"■ V"7iï ~ ^' lu

Ces trois nouvelles intégrales sont les intégrales des aires; elles expriment que la somme algébrique des aires décrites par les projections sur cbacun des plans

coordonnés des rayons menés de l'origine aux n -\- i points considérés est proportionnelle au temps.

Multiplions enfin les équations (a) respectivement par 2-^> ^"^' ^^^

2^, . . ., ajoutons-les et remarquons que la fonction U ne contenant explicitement que les quantités H», y]o, ^oî H,, ..., on a

'cït ~ dî^, ~dt ()r,o dt dt^ dt dçi dt "^ ' "' nous trouverons

/ dh d^U , dn, d^-n, <o r/^Ço\ ^ / dl, d-^l, \ d\}

ou bien

'd^J d-nf , d^f\ d\}

dt 2à "^' \ dt'' ' dt' ' dt"^ ) "~ ^ ^<

On peut intégrer après avoir multiplié par dt, et l'on trouve, en désignant par h une constante arbitraire,

c'est une nouvelle intégrale, l'intégrale desjorces vives.

Les dix intégrales {b), (c), {d), (/) sont les seules intégrales rigoureuses que l'on ait pu obtenir jusqu'ici.

15. Nous allons obtenir une formule dont Jacobi a tiré des conséquences intéressantes (Vorlesungen liber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi, herausgegeben von A. Clebsch, p. 26-3o).

On déduit des équations (a) la formule suivante

or, U étant, par sa définition même, une fonction bomogène et de degré — i des quantités Ho, yio, 'Co. ^,, •••, on a

^(^'■^•-'■'^'■â^-^^'^j=~^' ce qui permet d'écrire ainsi la relation précédente

V (yd^li d'm ^ ^^CA TT

En rapprochant cette formule de l'équation (/), on en déduit

ou bien

cl ^ [. dlj dfii d^i\ jr ^ ^,

ou encore

Si l'on désigne par pi la distance du point M, à l'origine des coordonnées, on aura donc

d^ y iHi p?

11 est possible de transformer le premier membre de cette équation de manière à n'y introduire que les distances mutuelles A/^y des points matériels, au lieu de leurs distances à l'origine des coordonnées.

On a, en effet, ces identités bien connues et d'ailleurs faciles à vérifier

2] mi 2] nii ^' — (21 "^i ^'•)'= YiYé "^' "^J ^ ^'' + ^y — 2 ^i ^y)' 2] mi^mifij—i^^ lUi-n^'^^'Y^ mimj{-nJ-}-n]—2r}rnj),

2] 'fii 2 '"'■ ^'- - {H "'' ^')' =^ 2]I] ^*' '"y ( ^f + Cy — 2 Ki Cy ) ;

en les ajoutant, on trouve

( = HH '«/ '«y [a- - ^jy+ {-n, - vîy)^+ (Ki - Cy)'-]

ou bien, en ayant égard à la signification de pi et de Aij et tenant compte des équations (7),

2] mi 2 nh Pf =^^ "^i '"y ^Jj -^ {^it -\~ a^Y -{- {b^t -^ b,Y + {cyl -\- c^y- .

Tirons de là ^ rriip'j pour le porter dans la formule (8), et il viendra

, \d-'^^n^lmJ^lJ ]

^O CHAPITRE lîl.

d'où, en désignant par A' une nouvelle constante arbitraire,

d"^ V /«( /fij ^J j

ou bien

Il importe de remarquer que cette équation ne contient que les distances mutuelles des points matériels pris deux à deux et leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps.

Si l'on nomme p'- la distance du point M, au centre de gravité du système, on tire aisément de l'équation (9) la formule

2]^ /», nij IJj z= ^ m, ^ m,pr,

de telle sorte que l'équation (10) peut aussi s'écrire

dt*

16. Les observations astronomiques ne nous font pas connaître les mouvements absolus des planètes, mais seulement leurs mouvements relatifs par rapport au Soleil; il importe donc de former les équations différentielles dont dépendent les mouvements relatifs; c'est ce qui va nous occuper maintenant.

Menons par le point Mo, centre de gravité du Soleil, trois axes Mo^r, M„j, M(,5 parallèles aux axes fixes; soient, relativement à ces axes qui sont mobiles mais conservent une direction invariable, a?,, y,, ^,; oc.,, y.,, z-.,; ..., ^„, y„, ^« les coordonnées des centres de gravité des n autres corps. Nous poserons en même temps

MoMi — r, = Ao,,, MoM2--r2 = Ao.î,

Enfin nous aurons les relations

■ni

(•0 ^2 = Ho + a.-2,

L'équation (i) donnera

La relation

ik = ^0 + ^k

nous montre d'abord que x,, ne sera introduit que par ^a; on aura donc La même relation nous donne

OU, en ayant égard à la formule (12),

~dF' ~ 'dF ~ 2d /■? ''

les équations (a) nous donnent du reste, si nous tenons compte de (i3), Il viendra donc

d^œ/c I ô\Ji

^'■+^ dt^ ~ nik dxk 2d rf '

Il convient de mettre à part dans U les termes qui contiennent m^ en facteur ; on trouve aisément

(.5) u = f2^+fi;2"^fj-^=f'".2;^+u'.

en posant

dans cette formule, les indices i ety ne peuvent plus prendre la valeur zéro. On trouve immédiatement »

0 ^ îUi î-k x/,

•T — > — ^= /il/,, -r — = — nii. —^ ;

l'équation (1/4) pourra donc s'écrire

dt^ r). ^nà /■;? m,, ôXk

Les mouvements relatifs des centres de gravité des n corps considérés, par

n2 ' CHAPITRE III.

rapport au Soleil, dépendront donc des ?>n équations différentielles suivantes

ig)

de-

âxi

dl]'

dt'

dzi

d-Xi

dt^

OÙ l'on a

On voit que le nombre des équations différentielles {g) est inférieur de trois unités à celui des équations (a); il y aura donc dans les intégrales générales six constantes de moins que dans celles des équations («); ces constantes sont précisément celles qui figuraient dans les intégrales du mouvement du centre de gravité.

17. On ne connaît que quatre intégrales des équations {g)\ elles correspondent aux intégrales {d) et (/) du n" 14; nous allons les déduire de ces dernières.

Dans les formules (7), remplaçons ^/, yj/, ti par leurs valeurs (11), et nous trouverons

d'où

tîo =

rt, / + a, = ?o(/no + 2] ^i) -+- 2 '"' ^"

a^l -\- a^ — V m, Xi

6, f 4- ^2 — 2 m, yi

mn d^i

Cl ^ 4- C2 — 2] W2/ Zi

mo + 2] '^z dt

Y^ dzf

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 'j3

En faisant la même substitution dans les formules (/) et (//), il viendra

dE l dnl d^\

dxj dyf dzf

'd¥ ^ 1n^ "^ 'dt''

dt ^

dt ^^~dt'' '''•

i;-(>^^ë--t)-§i;-^''-ti;--

et deux autres formules analogues relatives à h^ et ^3*, l'indice i doit recevoir partout les valeurs i, 2, ..., n, n désignant le nombre des planètes.

Il suffit maintenant de porter les expressions (16) dans les formules (17) et (18). On trouve, après quelques réductions,

y w . L ' ' ' \^^ ' dt ) \j^ ' dt j \^mi ' dt)

dz-i dy^

~ ^' 'dt^

en introduisant la fonction U' par la formule (i5) et changeant de constantes, on trouve les quatre intégrales sous la forme suivante :

2/ dz, dvi

dzj

•\^ X71 azi v^ v^ rt

dj\ dt

. , v^ / dxj dz

dx,-

«fr,- dxi

V* V '^>'/ V^ V^ dx

On peut écrire ces intégrales d'une manière un peu différente; on vérifie en effet aisément qu'en changeant encore une fois de constantes et posant

on a

^' fit