ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES
on est ainsi ramené à un système (B) de 3/z équations différentielles simultanées du second ordre, dans lesquelles la fonction U dépend des nouvelles variables par les formules (C).
23. On aura naturellement quatre intégrales de ce système; elles se déduiront des formules {d) et (/) du n° 14, en ayant égard aux équations (lo) et (12) du présent Chapitre, et remarquant que, d'après les formules (i/j), les
quantités
/^X\^ fd\y /(ŒV-
^dZ ^dY „^X ^dZ ^dY ^d\ dt dt dt dt dt dt
sont des constantes. On trouvera ainsi, en désignant par «', , Z>'j, c'^, K^ quatre constantes arbitraires.
zr
\i.i '\ dt dt
nii Z/ -r- — X
dt dt
Zd ^i ''''y' dt •^' dt
(F) .„; = 2^'".P)"-Ct)V(§y]-.U.
On voit que, non seulement les équations différentielles ont une forme plus simple, mais aussi les quatre intégrales connues, quand on emploie les nouvelles variables X/, y,, z, au lieu des anciennes xi^y^, z^.
Il nous reste enfin à indiquer comment, en supposant effectuée l'intégration du système (B), on trouvera les coordonnées des planètes rapportées au Soleil ; les formules (4) répondent à la question; elles donnent en effet
I x^ — Xj, j\ — yi, ^1 — Zi,
in\ nii m,
^2=X24-— X,, j2 = y2+7-yi, ^2 = 2,-1- -- z,,
Fi f^i y-i
^3— X3 4- — -X2+ -— Xi, j3:zry3+ --y^^f- ~-yi, ^3 — Z34- — Z2-i 1 Z„
La considération des équations (B) peut être utile dans certaines recherches théoriques, comme nous aurons occasion de le montrer dans la suite de cet Ouvrage.
