ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

22. Nous allons former enfin les équations différentielles dont dépendent nos nouvelles variables; nous emploierons pour cela les formules de Lagrange.

Les relations (5) expriment les coordonnées de tous les points du système en fonction des variables indépendantes X, Y, Z, x,, y,, z,, x., . . ., z,^; soit ^^^

l'une quelconque de ces variables, q^^= -~j ; on aura

d / dT\ dT dU

dt\dqkj àqu Orjk

La fonction T est donnée par la formule (lo).

11 faut remarquer que U, qui, d'après les équations («) du n*' 13, ne contenait que les différences \i—\j, t^i— rij, ti—'Cj des coordonnées, ne dépendra pas de X, Y, Z, mais seulement de x,, Xa, . . ; y,, y^. • . ; z,, z.., ... ; cette fonction ne contiendra pas non plus le temps explicitement.

Prenons d'abord

nous aurons

dT ^, d\

l^.-^'^^^^'^'dT'

dT d\]

dqk àq,,

donc la formule (i3) donnera

d'où, en désignant par a, [3, y, a', p', y' six constantes arbitraires,

(i4) X-a^-t-a', Y-=|3^+(3', Z =-. yZ-h y';

on retrouve ainsi le théorème connu pour le mouvement du centre de gravité d'un système soumis seulement aux actions mutuelles de ses points. Faisons ensuite

nous aurons, en partant de (lo),

dXi (J-i (j.,- dt

dT

et la formule (i3) donnera

/jL/i d^^Xi d\}

[j-i dt- àXi

Il viendra donc, pour les équations différentielles cherchées,

IXi dt- 0\i

^1 dt' àyi

Up d-Zi âV

IXi dt' azi

a, d'Xi dU \

]u.2 di' o\2 J

u, d'Yo d\} \

^2 dlr ()\-.y

dt' aZî

pL, = mo H- '«1 ;

/^2-- /«o-f //ij^/^ï^;

On voit que ces équations possèdent maintenant la symétrie demandée.

Il convient de voir quelle sera, d'une manière générale, la composition de U à l'aide des nouvelles variables.

En ayant égard à l'expression connue do U en fonction des A,,,- et aux relations (5), on trouvera aisément les formules suivantes

u = fmoK^-f-

^0,1 ^0,2 Af^^i

Al,,

Ao^,-xî + y?^-z^

XsH ^X

X2+ —xi -t- y2-H— ^ji + Z2+ — Zi ,

y3+"-y2+-— yil -h (^3-!- — "z^-h — z,

H-i fil / \ fX2 p.,

Z2 — 77 Zi ; ,

+ Iy3+^'y2-!ryi)'+(z3 4-^z2

Ar,= X,-