CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES EN COORDONNÉES POLAIRES.

24. Si l'on se reporte aux équations (A) du n° 18, on peut écrire comme il suit les équations différentielles du mouvement de la planète M dont les coordonnées rectangulaires héliocentriques sont x, y, z :

, , d^x dQ ^ d'y d^ ^, d'z d^ ^

dt- ' dx ' dt^ dy df^ dz

OÙ l'on a fait

xœ' -\~ yy' -\- zz'

\l<^'-^'Y-^{y~yY-\-{^'-

oc\ j\ z', r', m' désignent les coordonnées rectangulaires, le rayon vecteur et la masse de l'une quelconque M' des planètes perturbatrices; enfin m,^ -+■ m est la somme des masses du Soleil et de la planète M.

Dans un très grand nombre de questions, il est utile de remplacer les coordonnées rectangulaires x, y, z pai' les coordonnées polaires /•, c, 0; on aura d'abord

(2) a? = /• cos (9 cos (', 7--- /-ces 5 si nr, zz-rsinO-i

rest le rayon vecteur, ç la longitude et 0 la latitude.

Pour trouver les équations différentielles que vérifieront a, r et 0, il n'y a qu'à

appliquer les formules de Lagrange; on aura d'abord à exprimer, à l'aide des nouvelles variables, la quantité

dx\^ fdyy fdzV

on trouve

"^^-^ dt) ~^\dt ) ' \dt) '

--'fT^y— <S'T-'(^-

En appliquant la formule

dt d(]i d(ji

et prenant ^, = /•, q.j, = v, q^ = 0, on obtient les équations chercbées

dt ~ di' '

d ,dO , . ^ .di>^ âa dt dt dt^ dO

25. Nous allons transformer ces équations en introduisant, au lieu de r et 0, les nouvelles variables u et s définies par les formules

(3) u = T> s — iSingO:

- est la projection du rayon vecteur sur le plan des xy; s est la tangente de la

latitude.

Nous trouverons aisément

(4) r^-=:— M-r-, "ïû— '«-3 — h(H .s'j-^-

ar aa a9 du os

Multiplions d'abord par 2r^cos^0^ les deux membres de la deuxième équation (a); il viendra

I di^

2 di> u^ dt 9. on dv

u^ dt dt u} dv dt

d'où, en intégrant et désignant par h^ une constante arbitraire,

/ I ^^y /. r i d^ dv ,^ [ir^Tt)-='''^'J û^-d^di"^''