MÉTHODE DE JACOBI
La limite r^ est arbitraire; nous la prendrons égale à la plus petite des deux racines de l'équation
,-, aA:' (x\
(6) 2ai+-^-^=o;
on voit qu'elle sera une fonction des deux constantes a, et ag.
Nous allons former maintenant les équations (c); remarquons que l'on a
à C / ik^ a}. , r dr / ik'^ ol\ dr.
le second membre de cette équation se réduit à sa première partie, parce que le coefficient de ~ s'annule d'après (6) ; on trouvera de même
d f / 2 k' al ^ />'' -^— / 4/ 2a, H fdr-=^a^ i
dr
et les formules (c) deviendront
>'»' dr
.,. a - '- ds /»'• dr
(/) ft = «' . . . . . ,. .
J/^" ds nr dr
Ces équations feront connaître les trois coordonnées polaires r, , v^ et s, en fonction de t et des six constantes arbitraires a,, aa, aj, (3,, Pa» P,v H est inutile de développer les calculs qui nous feraient retomber sur les formules trouvées dans le Chapitre précédent; nous nous bornerons à donner la signification géométrique de chacune de nos six constantes.
La formule {d) montre que r ne peut prendre que des valeurs rendant positif le premier membre de l'équation (6); le maximum r.^ et le minimum r, de r seront les deux racines de cette équation, que Ton peut écrire
2 ai r* H- 2 A:* r — a^=ro;
on en conclut
«1 2ai
Or on a
T\ = a{i — e), ri-=a{i-+- e);
il en résulte
oc
1 = > «3 = A- y/rt ( I — e- ) =: k\/p.
D'après la même formule (d), quand la planète passe à son périhélie, on a
si donc T désigne le temps du passage au périhélie, il viendra
La formule (e) montre ensuite que s doit varier entre des limites telles que la
quantité ag \- soit positive; or, ç désignant l'inclinaison de l'orbite, on sait
que s est compris entre — (^ et + cp ; on aura donc
d'où
La formule (e) donne (32 = ^',, pour s = o; la planète passe alors par un de ses nœuds. Soit 0 la longitude du nœud ascendant; on pourra prendre
Avant d'arriver à la signification géométrique de la constante (B3, introduisons au lieu de s une variable auxiliaire •/], définie par la formule
sin5=:: sincpsiny);
si nous nous reportons à lay?^. i4 et à la formule (e) du n" 32, nous verrons que Y] représente l'arc NM = (^ — 0; c'est ce qu'on appelle Vargument de la latitude; cela posé, on trouve
ds r" cossds /^^ s'mocosn dn
^ cos^9
= (Xz CCS 9 = ks/pcos
/"* cossds /^'
^f~ Jn V^C0S»5 — COS*(jp /
°^i Jo V^^^^^~^^^^9 Jo V^sin''9 cos*Y5
MÉTHODE DE .UCOBI. 1 27
la formule (/) peut donc s'écrire
dr
au périhélie, r= r, ; donc ^g est égal à la valeur correspondante de y], c'est-à-dire à l'argument de la latitude du périhélie; c'est (/ig. i4) la distance angulaire Nil = w — 6 du nœud ascendant au périhélie.
Voici donc finalement le système canonique d'éléments auquel nous sommes
amenés :
!k^ (X2-= k\/pcos(p, ^i — 9, A- = v^-
<X3=k\/p, [33=cj — 0.
Si l'on égale les deux expressions /i(? — t) et nt -i- i — rs de l'anomalie moyenne, on voit que l'on peut écrire aussi
128 CHAPITRE YIII.
