PAR LA MÉTHODE DE JACOBI

41. Ces équations, qui ont été données au n'' 28, peuvent s'écrire

(a) / en posant

ce sont les équations différentielles du mouvement d'un point matériel libre, de masse i, la fonction des forces étant représentée par U.

Si nous nous reportons au n'^ 7 de l'Introduction, nous voyons qu'il nous suffira de trouver une fonction S de t, cc,y, z et de trois constantes arbitraires ol^, aa, ag, vérifiant identiquement l'équation

alors on aura, pour déterminer x, y, z, les formules suivantes :

Pour trouver plus commodément la fonction S, il convient de remplacera?, j, z par les coordonnées polaires r, ç^, s, rayon vecteur, longitude, latitude, au moyen des formules

(0 a;r-: /'cos^ cosPi, / := r C0S5 sin Cj, z-=rsins.

, . dS i

On trouve sans peine que l'équation (b) doit être remplacée par la suivante :

\dr) ^ r^cos's\di^J '^ r'\ds) j r ~^' Cette dernière ne contenant explicitement ni ^ ni ç',, nous ferons

(3) . S = — «1 ^ 4- «2 <'i -H Si,

s, ne renfermant plus explicitement ni / ni ^, ; nous aurons

dt ~ """ dr ^ dr ' âi't ~ ""'' ds~ ds'

et l'équation (2) deviendra

/dSA» \ as J cos's 2*' <^' [IF)"-^ 7^ = — + ^-.-

Il nous reste à trouver une solution de cette équation, fonction de r, s, et d'une nouvelle constante arbitraire ol.^; nous pouvons faire

os ) C0S*5

s'il est possible de vérifier ces relations, l'équation (4) sera elle-même satisfaite. Or on a

as V cos^.9

la première de ces expressions ne dépend que de s, la deuxième que de r; on peut donc prendre

Adoptons zéro et r^ comme limites inférieures des deux intégrales ; nous trouverons, eu égard à la formule (3),

(5) S-^-a»^ + a,c', + y y/aa^^ 2^ ^ c/,- +y \/«3 - ^^ ^^-