Cherchons l'expression analytique de \\\>['\ Posons

d'où

2 008 4" = « -H ^~', 2 C0Si4' = 5'4- J-',

(i — a^)(i — ot.z--'^) ■=. I -I- «^ — 2a cos^l'.

2^2 CHAPITRE XVIT.

La formule (A) deviendra

(i — ocz.)-' (i — az-')-' == - ilH«' -f- - UH" (^ + --')+. . . f i \li>;'' (z' -h ^"0 -+-...

OU bien

Or, le module de z étant l'unité, cx.z et a:;~' ont des modules égaux à a, par suite inférieurs à l'unité; on a donc, en séries convergentes,

.V .v(.v-hi) , , s{s -{- i){s-h9.)...(s -^ i — l) . .

Le coefficient de z' dans le produit de ces deux séries sera, d'après la formule (4)» égal à -itiv"; on trouvera ainsi sans peine

En calculant directement -ii!>y', on voit que la formule précédente s'applique

pour i = o a la condition de remplacer -^ r~ par I unité.

On aura, en particulier,

/!,,., I.3.5...(2/— l) ,r l 2l-hl . 1.3 (2« + l)(2/+3) , "1

I ,., 3.5.7. ..(2/+1) T 3'./+3 , 3.5 (2/4-3U^^/-+-5) , f — c''' =: ^^^ ' a' I -i — - - y.' ~\ — ^ oc* ■

\2 2.4-6.--^^' L 22/-i-2 2.4(2fH-2)(2i-t-4)

On voit que les coefficients des mêmes puissances de a- sont plus grands dans c''^ que dans 6^'^; la convergence de la série qui donne iPoJ'' diminue quand ^augmente.

Pour i=o, il faudra, comme précédemment, prendre égaux à l'unité les coefficients qui précèdent a' dans les seconds membres.

Voyons comment converge la série

«o-H «|-H. • --4- ll„ H-

qui figure dans le second membre de la formule (B). Nous avons

d'où

u„ n-\-ii-\-n-{-i

pour n infini, ce rapport tend vers a^ qui est plus petit que i, et la série est convergente. Tous les termes de cette série étant positifs, la formule (B) montre que i)î>i" croît sans cesse quand a croît lui-même de o à i ; pour a = o, on a d'ailleurs

ill>^°' = 2 et 'ili>^''r=o pour i^u