Nous allons exprimer i)i4'^ par une intégrale définie

Puisque iPo^" est le coefficient de cosi']/ dans le développement de l'expression

la formule (5) du n^ 81 donne

a)>4" =-/ (i + oc-— 2a cos 4')*''' cos i^ d']t ;

cette formule s'applique aussi pour i= o. On aura, en particulier.

*"•=; r — '-^ — rrf+,

% (i + OC-— 2acos4^)^

J^ (i 4- a-— 2a COS 4*)*

En partant de ces expressions, on démontre facilement que b''\ é'\ ... sont infinis pour a = i ; en effet, on trouve, pour cette valeur de a,

' sin -ï-

L'élément différentiel de chacune de ces intégrales est infini à la limite inférieure, et l'application d'une règle bien connue de Calcul intégral montre que les intégrales elles-mêmes sont infinies.

107. Nous allons faire connaître une autre expression de 6^'' par une intégrale définie.

La première des formules (b) nous donne

1 ,,., .ri.3...(2/ — i) I 1 .3. . . (21 + 1) , 1 .3 1 .3. . . (2/ + 3) , "1

- è(') = a' j-^ ^ H }—. { a- -\ 7 —-. T^T-ri a* + . . . h

les coefficients de a", de -a^, ... s'expriment par des intégrales définies, en partant de la formule connue

On trouve ainsi

= a' I sin-'^j; ( I H-- a^ sin^i]; ^ — '-j yJ* sin*(|' + ■ • . ) d'^.

On a d'ailleurs

2 ^2.4 ^ v^i — a^sin^.];'

il vient donc

En comparant les formules (c) et (d), on trouve cette relation intéressante

En faisant dans (f/) i = o et « = i , il vient