dw àw\ ( .dw ,dw

-v'6w M XX' -r— r + y y

en portant ces deux dérivées dans l'équation (C), il vient

dx^ dx- df -^ dx dj- "^ dy^

1 3 , -ir / <?^v d^T' \ dsv [ dw dw\-\

Cette équation doit avoir lieu quel que soit t, et en particulier pour t = o, auquel cas, comme on l'a vu, x, j, x', y' peuvent être quatre quantités quelconques, indépendantes les unes des autres. L'équation (D) donnera donc les six équations suivantes :

i 2 tv I .Z'

^ '^"' â^ -^ •>' âT^; - â^ 1,^ âï -^•>' d^

d^iv J^T' \ à^y / div dn'

Les formules (i4) montrent qu'en désignant par a, h, c, /, g, h six constantes arbitraires, w est de la forme

(E) w— ax^-\- 2bxy -\- c/* 4- ifx -\- igy 4- h.

Substituons cette expression dans les relations {i^^), et nous trouverons, après réduction,

{bf - ag) xy 4- (c/ - hg)y^^ {p - ah) x + {/g - bh) y = o, {bg- cf)xy^{ag- bf)x^+{fg-bh)x+{g^ - ch)y = o.

Ces deux équations devant avoir lieu quels que soient x et y, on en conclut (16)

«5' — ^/ = o, bg — cf — o;

( /- — ah =z o, (17) \ g^ —ch—o,

\ fg -bh = o.

On tire des formules (17)

fh{ag-b/) = o, gh{bg — c/) = o;

si donc aucune des quantités/, g, h n'est nulle, les relations (iG) sont une conséquence de (17), et il suffit de vérifier ces dernières.

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 4l

Or l'équation (E) donne ce qui, à cause des formules (17), se réduit à

__ {fœ + gy + hy h

Les formules (6) et (i3) donnent ensuite

(Fi) ^^—mh^' •

c'est une première loi pour la force cherchée; quelles que soient les quantités /, g, h, la trajectoire sera une conique.

Supposons maintenant h—.o; les formules (17) entraînent /= o, ^=0; elles sont alors véritiées, ainsi que les relations (16); on a donc

w^^aa;--\- 2bxy + cj'^,

c'est une autre loi de la force; les constantes a, b, c peuvent être quelconques. Dans le cas où /= o, (16) et (17) donnent

ag=.bgz=z ah =. bh = 0, g^ :=z ch,

d'où

en portant dans la formule (18), il vient

la valeur correspondante de R s'obtient donc en faisant /= o dans la formule (F,). Ainsi il y a deux lois de forces, et rien que deux, qui répondent à la question ; mais les forces R, et R2 contiennent non seulement r, mais encore

l'angle polaire 0 = arctang--

Si l'on veut que ces forces ne dépendent que de r, ce qu'il est naturel d'admettre, on devra faire, dans (F, ), /= ^ -= o, et, dans (Fj), a=: c ai b = o\ on T. - I. 6

trouve ainsi

La première de ces lois est incompatible avec les observations, car, si elle avait lieu, le satellite décrirait toujours une ellipse ayant pour centre l'étoile principale, et cette propriété se conserverait dans l'orbite apparente; or les observations montrent qu'en général cela n'a pas lieu; il ne reste donc que Ro = —~ ou la loi de Newton.

Conclusion au point de vue de l'Astronomie. — On voit par ce qui précède qu'il est impossible de conclure d'une façon rigoureuse que la loi de Newton préside aux mouvements des étoiles doubles; toutefois, cela est très vraisemblable, puisque les autres forces qui pourraient expliquer les mouvements observés seraient telles, qu'à des distances égales une même étoile exercerait sur des masses égales des attractions variables suivant les diverses directions.

Remarque. — Dans les Additions à la Connaissance des Temps de i852 se trouve un Mémoire de jNI. Yvon Villarceau ayant pour titre : Du mouvement des étoiles doubles, considéré comme propre àjournir la preuve de l' universalité des lois de la gravitation planétaire.

M. Villarceau s'était demandé déjà si la force qui produit les mouvements observés dans les étoiles doubles rentre nécessairement dans la loi de Newton; il avait vu que d'autres forces centrales, dépendant des deux coordonnées du satellite, peuvent lui faire décrire une ellipse autour de l'étoile principale; mais il avait laissé subsister dans l'expression de la force les paramètres qui figurent dans l'équation de l'ellipse considérée, et n'avait pu ainsi s'élever aux deux lois générales exprimées par les formules (F,) et (Fj).

Dans un Travail inséré au tome XXXIX des Monthly Notices of the Royal astronomical Society, M. Glaisber a fait observer, à l'occasion des beaux résultats obtenus par MM. Darboux et Halphen, que Newton avait montré {Principes,

Kig. .t

Livre I, scolie de la Proposition XVII) que, si une ellipse E(y%-. 3) est décrite par un mobile M sous l'action d'une force S proportionnelle \\ la distance et dirigée

LOI l)i: L\ GRAVITATION UNIVERSELLE. 4^

constamment vers le centre C de cette ellipse, elle peut être décrite aussi sous l'action d'une autre force R dirigée constamment vers un point fixe 0 choisi à volonté, pourvu qu'entre les intensités R et S on ait toujours la relation

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