CG

G désignant le point où la tangente MX est rencontrée par le rayon CG parallèle à CM; on a, par hvpothèse,

il en résulte donc

R=f.om(^)*.

M. Glaisher montre géométriquement, et l'on peut le faire par un calcul des plus simples, que j^ est une fonction du premier degré des coordonnées rectangulaires du point M ; on voit donc que la force R qui résulte de la remarque de Newton rentre dans la formule (F,).

Enfin, M. Glaisher rappelle que W. Hamilton avait prouvé que, si un mobile est attiré vers un point fixe par une force qui soit directement proportionnelle à la distance comptée du point fixe et inversement proportionnelle au cube de la distance du mobile à un plan fixe, ce mobile décrira toujours une conique; c'est en quelque sorte la réciproque du théorème qui résulte de la remarque de Newton.

Il est inutile d'insister sur la différence de ces résultats, et de la réponse générale donnée par MM. Darboux et Halphen au problème nouveau proposé par M. Bertrand.

6. On vient de voir qu'on peut trouver l'expression de la force capable de produire les mouvements des planètes, quand, au lieu de se donner les trois lois de Kepler complètes, on n'en regarde qu'une partie comme démontrée par l'observation.

M. Bertrand a été plus loin dans cette voie (Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXXVII, 1873) en résolvant le problème suivant :

On considère une planète attirée par le Soleil suivant une force dont V intensité ne dépend que de la distance. On suppose connu ce seul fait : que la planète décrit une courbe fermée, quelles que soient à l'époque initiale la position de la planète et sa vitesse, en grandeur et en direction. On demande de trouver la loi d' attraction d'après cette seule donnée.

Il est entendu toutefois que la vitesse initiale V„ doit être inférieure à une certaine limite.

Le mouvement s'effectue dans un plan passant par le centre 0 du Soleil; il est produit par une force centrale; donc la loi des aires a lieu. Soient r et ô les coordonnées polaires de la planète à l'époque t, l'origine de ces coordonnées étant placée en 0: représentons l'intensité R de la force motrice par

et par k la constante des aires; nous aurons, par une formule connue, en ayant égard à l'intégrale des forces vives et désignant par r^ la valeur initiale de r,

Nous ferons et il viendra d'où

-4Gy-fâ)]-^-^A"